最新中考抛物线典型试题分类综合精讲精练
1如图，抛物线与x轴交于A〔-1，0〕、B〔3，0〕两点，与y轴交于点C〔0，-3〕，设抛物线的顶点为D。〔1〕求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
〔2〕以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
〔3〕探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？假设存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。
2如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A〔﹣3，0〕，B〔1.0〕，C〔0，﹣3〕．
〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设点P为第三象限抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？假设存在，请直接写出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．
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3如图，一次函数y=- 二分之一x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x+bx+c过A、B两点． 〔1〕求这个抛物线的解析式；
〔2〕作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
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〔3〕在〔2〕的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
4直线y=二分之一x+1与y轴交与点A，与x轴交与点D，抛物线y=二分之一x2+bx+c与直线交与A,E两点，与x轴交与B,C两点，且点B的坐标为【1,0】
【1】求抛物线的解析式；
【2】动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
【3】请你在抛物线的对称轴上找一点M，使丨AM-MC丨的值最大，求出点M的坐标。
5如图，直线y=分别与x轴、y轴交于点C和点D，一组抛物线的顶点A1，A2，A3，…，An，依次是直线CD上的点，这组抛物线与x轴的交点依次是B1，B2，B3，…，Bn-1，Bn，且OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn，点A1坐标〔1，1〕，那么点An坐标为〔2n-1，n〕．
6抛物线P：y=ax+bx+c〔a≠0〕与x轴交于A、B两点〔点A在x轴的正半轴上〕，与y轴交于点C，如图矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上局部点的横坐标对应的纵坐标如下：
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求A、B、C三点的坐标；
〔2〕假设点D的坐标为〔m，0〕，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值围
7如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴，垂足为D．
〔1〕求点A、B的坐标和AD的长；〔2〕求过B、A、D三点的抛物线的解析式．
8如图，动圆A始终经过定点B〔0，2〕，圆心A在抛物线 y= x上运动，MN为⊙A在x轴上截得的弦〔点M在N左侧〕
〔1〕当A〔2 √2，a〕时，求a的值，并计算此时⊙A的半径与弦MN的长．
〔2〕当⊙A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？假设改变，举例说明；假设不变，说明理由．〔3〕连接BM，BN，当△OBM与△OBN相似时，计算点M的坐标
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9如图，抛物线m：y=ax+b〔a＜0，b＞0〕与x轴于点A、B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．假设四边形AC1A1C为矩形，那么a，b应满足的关系式为 A. ab=-2B. ab=-3C. ab=-4D. ab=-5
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10如图，Rt△OAB的顶点A〔-2，4〕在抛物线y=ax上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，那么点P的坐标为 A. 〔 √2， √2〕B. 〔2，2〕C. 〔 √2，2〕D. 〔2， √2〕
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11如图，菱形ABCD的边长为2√3，点A在x轴的负半轴上，点B在坐标原点，点D的坐标为〔- √3，3〕，抛物线y=ax+b．〔a≠0〕经过AB、CD两边的中点． 〔1〕求这条抛物线的函数解析式；
〔2〕将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移，过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF，设菱形ABCD平移的时间为t秒〔0＜t＜3〕，是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？假设存在，求出t的值，假设不存在，请说明理由．
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12如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．且A〔3，0〕，D〔-1，0〕，E〔0，3〕．
〔1〕求点B的坐标；〔2〕探究：坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度〔0＜t≤3〕时，△AOE与△ABE重叠局部的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式，并指出t的取值围
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13：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B，OB=3，tan∠OAB= ，将∠OBA对折，使点O的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交x轴于点C，
〔1〕求过A、B、C三点的抛物线解析式；〔2〕假设抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由；
〔3〕假设点Q是抛物线上一个动点，使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形，直接写出Q点坐标．
14如图，二次函数y=ax+bx+c的图象的顶点C的坐标为〔0，﹣2〕，交x轴于A、B两点，其中A〔﹣1，0〕，直线l：x=m〔m＞1〕与x轴交于D． 〔1〕求二次函数的解析式和B的坐标；
〔2〕在直线l上找点P〔P在第一象限〕，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标〔用含m的代数式表示〕；
〔3〕在〔2〕成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 ．
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15，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．假设以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如下图的平面直角坐标系，点B在第一象限．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处． 〔1〕求点C的坐标；
〔2〕假设抛物线y=ax+bx〔a≠0〕经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
〔3〕假设上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由
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16如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(-2，0)，点B坐标为〔0，2〕，点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x+mx+n的图象经过A，C两点.〔1〕求此抛物线的函数表达式；〔2〕求证：∠BEF=∠AOE；〔3〕当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
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17如图，抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A〔﹣1，0〕，C〔2，3〕两点，与y轴交于点N．其顶点为D．(1〕抛物线及直线AC的函数关系式；〔2〕设点M〔3，m〕，求使MN+MD的值最小时m的值；〔3〕假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由；〔4〕假设P是抛物线
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上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值
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17解：〔1〕由抛物线y=﹣x+bx+c过点A〔﹣1，0〕及C〔2，3〕得， ，解得。∴抛物线的函数关系式为。
设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A〔﹣1，0〕及C〔2，3〕得 ，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。〔2〕作N点关于直线x=3的对称点N′，
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令x=0，得y=3，即N〔0，3〕∴N′〔6， 3〕由得
D〔1，4〕。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，那么，解得。
∴故直线DN′的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M〔3，m〕在直线DN′上时，MN+MD的值最小，∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。
〔3〕由〔1〕、〔2〕得D〔1，4〕，B〔1，2〕，①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E〔2，3〕。②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E〔x，x+1〕，那么F〔x，〕。又∵BD=2
∴假设四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。∴，即。
假设，解得，x=0或x=1〔舍去〕，∴E〔0，1〕。假设，解得，，∴E或E。 综上，满足条件的点E为〔2，3〕、〔0，1〕、、。
〔4〕如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q〔x，x+1〕，那么P〔x，﹣x+2x+3〕。 ∴。 ∴ 。 ∵，
∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。
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解：假设a=-1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=-x+1． 令x=0，得：y=1．∴C〔0，1〕． 令y=0，得：x=±1． ∴A〔-1，0〕，B〔1，0〕， ∵C与C1关于点B中心对称，
∴抛物线n的解析式为：y=〔x-2〕-1=x-4x+3； 令x=0，得：y=b．∴C〔0，b〕．
令y=0，得：ax+b=0，∴x=±√-ba，∴A〔-√-ba，0〕，B〔√-ba，0〕， ∴AB=2√-ba，BC=OC+OB=b-
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b a
A1C是矩形，必须满足AB=BC， ∴2
1
√-ba
=b
2
- b
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a b a 〕=b2
-
b a
，
∴ab=-3．
∴a，b应满足关系式ab=-3． 应选B．
意知：OB1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=2， 故点A1的横坐标为：1=2×1-1， 点A2的横坐标为：3=2×2-1， 点A3的横坐标为：5=2×3-1， …
依此类推，点An的横坐标为：2n-1，代入直线y=
1 2 x
+ 1 2 中， 得：
1 2
〔2n-1〕+
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1 2 =n-
1 2 +
1 2
=n，
故An〔2n-1，n〕．
解：〔1〕∵y=- 1 2
x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A〔0，2〕，B〔4，0〕…〔1分〕
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将x=0，y=2代入y=-x+bx+c得c=2…〔2分〕
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将x=4，y=0代入y=-x+bx+c得0=-16+4b+2，解得b= 7 2
，
2
∴抛物线解析式为：y=-x+ 7 2
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x+2…〔3分〕
〔2〕如答图1，设MN交x轴于点E， 那么E〔t，0〕，BE=4-t． ∵tan∠ABO= OA OB = 2 4 = 1 2
，
∴ME=BE•tan∠ABO=〔4-t〕× 1 2 =2- 1 2
t．
又N点在抛物线上，且x2
N=t，∴yN=-t+ 7 2
t+2，
∴MN=y2
N-ME=-t+
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11
7 2
t+2-〔2- 1 2
t〕=-t+4t…〔5分〕
∴当t=2时，MN有最大值4…〔6分〕
〔3〕由〔2〕可知，A〔0，2〕，M〔2，1〕，N〔2，5〕．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…〔7分〕 〔i〕当D在y轴上时，设D的坐标为〔0，a〕
2
由AD=MN，得|a-2|=4，解得a1=6，a2=-2，
从而D为〔0，6〕或D〔0，-2〕…〔8分〕
〔ii〕当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点， 易得D1N的方程为y=- 1 2
x+6，D2M的方程为y= 3 2
x-2，由两方程联立解得D为〔4，4〕…〔9分〕故所求的D点坐标为〔0，6〕，〔0，-2〕或〔4，4〕
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