2022-2023学年九年级（上）期末数学试卷
题号 得分 一 二
三 总分 第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 正方形的面积𝑆与边长𝑡的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 抛掷1枚质地均匀的骰子，出现6点向上
B. 某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖 C. 三角形的外心一定在三角形的外部 D. 三角形的内心一定在三角形的内部
4. 下列各点中不在抛物线𝑦=𝑥2−6𝑥−1上的点是( )
A. (0,−1) B. (1,−6) C. (−1,−8) D. (2,−9)
5. 若𝑚为方程𝑥2+𝑥−3=0的解，则𝑚2+𝑚−5的值为( )
A. 3 B. −3 C. −2 D. 2
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6. 2019年末，一种由新型冠状病毒感染导致的肺炎在全世界迅速蔓延．某地某时段有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传播后，共有196人患了新冠肺炎．设每轮传染中平均一个人传染了𝑥个人，列方程为( )
A. 1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=196 C. 𝑥(1+𝑥)2=196
B. 𝑥+𝑥(1+𝑥)=196 D. 以上方程都不正确
7. 如图，在⊙𝑂中，弦𝐴𝐶//半径𝑂𝐵，∠𝐵𝑂𝐶=50°，则∠𝑂𝐴𝐵的度数为( )
A. 25° B. 50° C. 60° D. 30°
8. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为( )
A. 2 B. √3𝜋
69
1
C. √3𝜋 D. 3√3
𝜋
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 一个长方形的长和宽相差3𝑐𝑚，面积是10𝑐𝑚2，求这个长方形的长和宽分别是______． 10. 同时掷两枚质地均匀的骰子一次，则两枚骰子点数相同的概率等于______．
11. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数是______ 度． 12. 已知函数𝑦=−2𝑥2−𝑥+4，当𝑥 ______时，𝑦随𝑥增大而增大．
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13. 如图，在边长为4的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，先以点𝐴为圆心，𝐴𝐷的长为半径画弧，再以𝐴𝐵边的中点为圆心，𝐴𝐵长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______(结果保留𝜋)．
三、解答题（本大题共12小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题6.0分)
用配方法解方程：2𝑥2−6𝑥+1=0． 15. (本小题6.0分)
一个直角梯形的下底比上底长2𝑐𝑚，高比上底短1𝑐𝑚，面积是8𝑐𝑚2.求这个梯形的高． 16. (本小题6.0分)
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，将△𝐴𝐶𝐵绕点𝐶按顺时针方向旋转𝑛度后，得到△𝐷𝐶𝐸，点𝐷刚好落在𝐴𝐵边上．求𝑛的值．
17. (本小题6.0分)
𝐴𝐸的延长线和△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂相交于点𝐷，𝐷𝐸=𝐷𝐵． 如图，点𝐸是△𝐴𝐵𝐶的内心，求证：
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18. (本小题6.0分)
点𝑀(𝑥,𝑦)可以在数−1，0，1，2中任意选取．试用列表法求点𝑀在第二象限内的概率． 19. (本小题6.0分)
要设计一幅如图所示的图案，其中有两横两竖的彩条，且横、竖彩条的宽度比为3：2.已知该图案的长为40𝑐𝑚，宽为30𝑐𝑚，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留根号)．
20. (本小题6.0分)
分别把带有指针的圆形转盘𝐴、𝐵分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示).欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘． (1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率； (2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
21. (本小题7.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=18，𝐵𝐶=36，动点𝑀从点𝐴开始沿边𝐴𝐵向终点𝐵以每秒2个单位长度的速度移动，动点𝑁从点𝐵开始沿边𝐵𝐶以每秒4个单位长度的速度向终点𝐶移动，𝑁分别从点𝐴、𝐵同时出发，如果点𝑀、那么△𝑀𝐵𝑁的面积𝑆随出发时间𝑡(𝑠)如何变化？写出𝑆关于𝑡的函数关系式及𝑡的取值范围．
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22. (本小题8.0分)
∠𝐴=30°，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=20，一块三角形材料如图所示，用这块材料剪出一个矩形𝐶𝐷𝐸𝐹，其中𝐷、𝐸、𝐹分别在𝐵𝐶、𝐴𝐵、𝐴𝐶上． (1)若设𝐴𝐸=𝑥，求𝐴𝐹(用含𝑥的代数式表示)；
(2)要使剪出的矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积最大，点𝐸应选在何处？
23. (本小题8.0分)
如图，已知二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+√3的图象经过原点𝑂(0,0)，𝐴(2,0)． (1)写出该函数图象的对称轴；
(2)若将线段𝑂𝐴绕点𝑂逆时针旋转60°到𝑂𝐴′，试判断点𝐴′是否为该函数图象的顶点？
24. (本小题8.0分)
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂分别与𝐵𝐶，𝐴𝐶交于点𝐷，𝐸，过点𝐷作⊙𝑂的切线𝐷𝐹，交𝐴𝐶于点𝐹． (1)求证：𝐷𝐹⊥𝐴𝐶；
(2)若⊙𝑂的半径为4，∠𝐶𝐷𝐹=22.5°，求阴影部分的面积．
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25. (本小题8.0分)
如图，⊙𝑂的直径𝐴𝐵=12𝑐𝑚，𝐴𝑀和𝐵𝑁是它的两条切线，𝐷𝐸与⊙𝑂相切于点𝐸，并与𝐴𝑀交于𝐷，交𝐵𝑁于𝐶．
(1)若𝐴𝐷=4𝑐𝑚，求𝐵𝐶的长；
(2)设𝐴𝐷=𝑥，𝐵𝐶=𝑦，求𝑦与𝑥的函数关系式； (3)若梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为78𝑐𝑚2，求𝐴𝐷的长．
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答案和解析
1.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：𝐶．
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2.【答案】𝐵
【解析】解：边长为𝑡的正方形的面积𝑆与边长𝑡的函数关系𝑆=𝑡2， 故选：𝐵．
根据正方形的面积𝑆与边长𝑡的函数关系𝑆=𝑡2，可得答案．
本题考查了函数的定义图象，理解题意得出相应的函数关系式是解题关键．
3.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴、抛掷1枚质地均匀的骰子，出现6点向上，是随机事件，故A不符合题意； B、某种彩票的中奖率为1%，购买100张彩票一定中奖，是随机事件，故B不符合题意； C、三角形的外心一定在三角形的外部，是随机事件，故C不符合题意； D、三角形的内心一定在三角形的内部，是必然事件，故D符合题意； 故选：𝐷．
根据概率的意义，随机事件，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与圆心，逐一判断即可解
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答．
本题考查了概率的意义，随机事件，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与圆心，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】𝐶
【解析】解：当𝑥=0时，𝑦=𝑥2−6𝑥−1=−1； 当𝑥=1时，𝑦=𝑥2−6𝑥−1=−6； 当𝑥=−1时，𝑦=𝑥2−6𝑥−1=6； 当𝑥=2时，𝑦=𝑥2−6𝑥−1=−9，
所以点(0,−1)、(1,−6)、(2,−9)都在抛物线𝑦=𝑥2−6𝑥−1上，而点(−,−8)不在抛物线𝑦=𝑥2−6𝑥−1上． 故选：𝐶．
分别计算出自变量为0、1、−1、2的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
5.【答案】𝐶
【解析】解：根据题意得𝑚2+𝑚−3=0，即𝑚2+𝑚=3， ∴𝑚2+𝑚−5=3−5=−2． 故选：𝐶．
由方程的解的定义可得𝑚2+𝑚=3，代入待求代数式即可得．
本题主要考查一元二次方程的解及代数式的求值，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
6.【答案】𝐴
【解析】解：∵每轮传染中平均一个人传染了𝑥个人，且开始时有一个人患了新冠肺炎， ∴第一轮传染中有𝑥人被传染，第二轮传染中有𝑥(1+𝑥)人被传染． 根据题意得：1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=196． 故选：𝐴．
由每轮传染中平均一个人传染了𝑥个人，可得出第一轮传染中有𝑥人被传染，第二轮传染中有𝑥(1+𝑥)人被传染，结合“某地某时段有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传播后，共有196人患了新冠
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肺炎”，即可得出关于𝑥的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】𝐴
【解析】解：∵∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝑂𝐶=50°， ∴∠𝐵𝐴𝐶=25°， ∵𝐴𝐶//𝑂𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵=25°， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，
∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵=25°， 故选：𝐴．
∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵=25°，由圆周角定理求得∠𝐵𝐴𝐶=25°，由𝐴𝐶//𝑂𝐵，由等边对等角得出∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵=25°，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】𝐶
【解析】 【分析】
本题考查几何概率的求法，属于中档题．
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．
√32
边长为𝑎的正三角形的面积为：求三角形内切圆的半径应构造特殊𝑎；
4
的直角三角形求解． 【解答】
解：∵如图所示的正三角形， ∴∠𝐶𝐴𝐵=60°， 设三角形的边长是𝑎， ∴𝐴𝐵=2𝑎， ∵⊙𝑂是内切圆，
1
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∴∠𝑂𝐴𝐵=30°，∠𝑂𝐵𝐴=90°， ∴𝐵𝑂=𝑡𝑎𝑛30°𝐴𝐵=则正三角形的面积是
√36√3𝑎，
√32，而圆的半径是，面积是12𝑎2， 𝑎𝑎46𝜋
因此概率是𝜋𝑎2÷√3𝑎2=√3𝜋．
12
4
9
故选：𝐶．
9.【答案】5𝑐𝑚，2𝑐𝑚
【解析】解：这个长方形的长是𝑥𝑐𝑚，则宽为(𝑥−3)𝑐𝑚，根据题意得出： 𝑥(𝑥−3)=10，
解得：𝑥1=−2，(舍去)，𝑥2=5， 则宽为5−3=2(𝑐𝑚)， 故答案为：5𝑐𝑚，2𝑐𝑚．
分别表示出长方形的长与宽，进而利用长方形面积公式求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用已知表示出长与宽进而求出是解题关键．
10.【答案】6
【解析】解：列表得：
(1,6) (1,5) (1,4) (1,3) (1,2) (1,1) (2,6) (2,5) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1) (3,6) (3,5) (3,4) (3,3) (3,2) (3,1) (4,6) (4,5) (4,4) (4,3) (4,2) (4,1) (5,6) (5,5) (5,4) (5,3) (5,2) (5,1) (6,6) (6,5) (6,4) (6,3) (6,2) (6,1) 1
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种， 所以两枚骰子点数相同的概率为故答案为：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
1
6636=，
16第10页，共19页
本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】180
【解析】解：设母线长为𝑅，底面半径为𝑟，
∴底面周长=2𝜋𝑟，底面面积=𝜋𝑟2，侧面面积=𝜋𝑟𝑅， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2𝜋𝑟2=𝜋𝑟𝑅， ∴𝑅=2𝑟， 设圆心角为𝑛，有∴𝑛=180°．
根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 本题利用了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．
𝑛𝜋𝑅
180
=2𝜋𝑟=𝜋𝑅，
12.【答案】<−4
【解析】解：∵𝑦=−2𝑥2−𝑥+4中，对称轴为𝑥=−2𝑎=−2×(−2)=−4，开口向下， ∴当𝑥<−时，𝑦随𝑥增大而增大． 故答案为：<−．
4首先确定二次函数的对称轴，然后据对称轴及开口方向判断其增减性即可． 此题考查了二次函数的性质，利用顶点坐标公式求得对称轴是解决问题的关键．
1
14
𝑏
−1
1
1
13.【答案】2𝜋
【解析】解：根据题意得，𝑆阴影部分=𝑆扇形𝐵𝐴𝐷−𝑆半圆𝐵𝐴，
90𝜋⋅42
∵𝑆扇形𝐵𝐴𝐷==4𝜋
360𝑆半圆𝐵𝐴=2⋅𝜋⋅22=2𝜋，
1
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∴𝑆阴影部分=4𝜋−2𝜋=2𝜋． 故答案为2𝜋．
根据题意有𝑆阴影部分=𝑆扇形𝐵𝐴𝐷−𝑆半圆𝐵𝐴，然后根据扇形的面积公式：𝑆=𝑛𝜋𝑅和圆的面积公式分360别计算扇形和半圆的面积即可．
𝑛𝜋𝑅
𝑅为圆的半径)，此题考查了扇形的面积公式：其中𝑛为扇形的圆心角的度数，或𝑆=𝑙𝑅，𝑆=360，22
2
1
𝑙为扇形的弧长，𝑅为半径．
14.【答案】解：原方程可化为𝑥2−3𝑥=−2，
𝑥2−3𝑥+=−+， (𝑥−)2=， ∴𝑥−2=±2， ∴𝑥1=
3+√7，𝑥223
√71
941294
3274=
3−√7． 23274【解析】利用配方法得到(𝑥−)2=，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(𝑥+𝑚)2=𝑛的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
15.【答案】解：设这个梯形的高为𝑥 𝑐𝑚，则上底为(𝑥+1)𝑐𝑚，下底为(𝑥+1+2)𝑐𝑚，
根据题意得：(𝑥+1+𝑥+1+2)𝑥=8，
2整理得：𝑥2+2𝑥−8=0，
解得：𝑥1=2，𝑥2=−4(不符合题意，舍去)． 答：这个梯形的高为2𝑐𝑚．
【解析】设这个梯形的高为𝑥𝑐𝑚，则上底为(𝑥+1)𝑐𝑚，下底为(𝑥+1+2)𝑐𝑚，利用梯形的面积计算公式，结合梯形的面积是8𝑐𝑚2，可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及直角梯形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
1
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16.【答案】证明：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，
∴∠𝐴=60°，
∵△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶按顺时针方向旋转𝑛度后，得到△𝐷𝐸𝐶，点𝐷刚好落在𝐴𝐵边上， ∴𝐶𝐴=𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐷=𝑛°， ∴△𝐴𝐶𝐷为等边三角形， ∴∠𝐴𝐶𝐷=60°， 即𝑛的值为60．
【解析】如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，将△𝐴𝐶𝐵绕点𝐶按顺时针方向旋转𝑛度后，得到△𝐷𝐶𝐸，点𝐷刚好落在𝐴𝐵边上．求𝑛的值．
此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】证明：∵点𝐸是△𝐴𝐵𝐶的内心，
∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶， 由圆周角定理得，∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐸𝐵， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐵．
【解析】根据内心的概念得到∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶，根据圆周角定理得到∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐷，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可．
本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．
18.【答案】解：列表如下：
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𝑥 𝑦 −1 0 1 2 (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) −1 0 1 2 共有16种等可能的结果，其中点𝑀在第二象限内的结果有2种，即(−1,1)，(−1,2)， ∴点𝑀在第二象限内的概率为
216=8．
1
(−1,2)，【解析】列表得出共有16种等可能的结果，其中点𝑀在第二象限内的结果有2种，即(−1,1)，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：设竖彩条的宽度为2𝑥 𝑐𝑚，则横彩条的宽度为3𝑥 𝑐𝑚，
根据题意得：(40−2×2𝑥)(30−2×3𝑥)=(1−)×40×30，
4整理得：2𝑥2−30𝑥+25=0，
解得：𝑥1=15−5√7，𝑥2=15+5√7(不符合题意，舍去)，
22∴3𝑥=3×
15−5√721
=
45−15√7，2𝑥2=2×
15−5√72=15−5√7．
答：横彩条的宽度为
45−15√7𝑐𝑚，竖彩条的宽度为(15−5√7)𝑐𝑚． 2【解析】设竖彩条的宽度为2𝑥 𝑐𝑚，则横彩条的宽度为3𝑥 𝑐𝑚，根据彩条所占面积是图案面积的四2𝑥中，分之一，可得出关于𝑥的一元二次方程，解之即可得出𝑥的值，将其符合题意的值，代入3𝑥，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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20.【答案】解：
(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种情况，所以欢欢胜的概率是
1
1
612
=；
12
(2)由(1)得乐乐胜的概率为1−=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．
22
【解析】(1)列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；
(2)由(1)进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可．
如果一个事件有𝑛种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件𝐴出现𝑚种结果，那么事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=𝑛，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
𝑚
21.【答案】由题意出发时间为𝑡(𝑠)，
则𝐵𝑀=18−2𝑡，𝐵𝑁=4𝑡，
∴△𝑀𝐵𝑁的面积𝑆随出发时间𝑡(𝑠)的解析式为：𝑆=−(18−2𝑡)𝑥4𝑡=−4𝑡2+36𝑡， 由−4𝑡2+36𝑡>0得，0<𝑡<9．
【解析】根据题意表示出𝐵𝑀，𝐵𝑁的长，进而得出△𝑀𝐵𝑁的面积𝑆随出发时间𝑡(𝑠)的函数关系式． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出𝐵𝑀，𝐵𝑁的长是解题关键．
22.【答案】解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°，∠𝐶=90°，𝐴𝐸=𝑥，
∴𝐸𝐹=𝑥，
根据勾股定理得：𝐴𝐹=√3𝑥； 2故答案为：√3𝑥；
212
(2)∵四边形𝐶𝐷𝐸𝐹是矩形， ∴∠𝐴𝐹𝐸=90°，
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∵∠𝐴=30°， ∴𝐸𝐹=2𝐴𝐸=2𝑥，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐵=20， ∴𝐵𝐶=2𝐴𝐵=10，
根据勾股定理得：𝐴𝐶=√202−102=10√3， ∴𝐶𝐹=𝐴𝐶−𝐴𝐹=10√3−2𝑥， ∴𝑆矩形𝐶𝐷𝐸𝐹=𝐶𝐹⋅𝐸𝐹=𝑥(10√3−
12
√3
√3
11
1
2
𝑥)=−
√3
4
(𝑥−10)2+25√3，
∴当𝑥=10时，矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积最大，
即当点𝐸为𝐴𝐵的中点时，矩形𝐶𝐷𝐸𝐹的面积最大．
【解析】(1)在直角三角形中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出𝐸𝐹，再利用勾股定理表示出𝐴𝐹即可；
(2)利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出𝐵𝐶，进而利用勾股定理表示出𝐴𝐶，由𝐴𝐶−𝐴𝐹表示出𝐶𝐹，根据𝐶𝐹与𝐸𝐹乘积列出𝑆与𝑥的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出面积的最大值，以及此时𝑥的值即可．
此题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+√3的图象经过原点
𝑂(0,0)，𝐴(2,0)． 解得：ℎ=1，𝑎=−√3， ∴抛物线的对称轴为直线𝑥=1；
(2)点𝐴′是该函数图象的顶点．理由如下： 如图，作𝐴′𝐵⊥𝑥轴于点𝐵，
∵线段𝑂𝐴绕点𝑂逆时针旋转60°到𝑂𝐴′， ∴𝑂𝐴′=𝑂𝐴=2，∠𝐴′𝑂𝐴=60°， 在𝑅𝑡△𝐴′𝑂𝐵中，∠𝑂𝐴′𝐵=30°， ∴𝑂𝐵=2𝑂𝐴′=1，
1
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∴𝐴′𝐵=√3𝑂𝐵=√3， ∴𝐴′点的坐标为(1,√3)，
∴点𝐴′为抛物线𝑦=−√3(𝑥−1)2+√3的顶点．
(1)由于抛物线过点𝑂(0,0)，𝐴(2,0)，【解析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线𝑥=1； (2)作𝐴′𝐵⊥𝑥轴于𝐵，先根据旋转的性质得𝑂𝐴′=𝑂𝐴=2，∠𝐴′𝑂𝐴=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得𝑂𝐵=𝑂𝐴′=1，𝐴′𝐵=√3𝑂𝐵=√3，则𝐴′点的坐标为(1,√3)，根据抛物线的顶
2点式可判断点𝐴′为抛物线𝑦=−√3(𝑥−1)2+√3的顶点．
2
本题考查了二次函数的性质：二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的顶点坐标为(−𝑏,4𝑎𝑐−𝑏)，对
1
2𝑎4𝑎
称轴直线𝑥=−
𝑏
，二次函数𝑦2𝑎
=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象具有如下性质：①当𝑎>0时，抛物
𝑏
时，𝑦随𝑥的增大而减小；𝑥2𝑎
线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的开口向上，𝑥<−
𝑏
2
>−
𝑏
时，𝑦随𝑥的增2𝑎
大而增大；𝑥=−时，𝑦取得最小值4𝑎𝑐−𝑏，即顶点是抛物线的最低点．②当𝑎<0时，抛物线
2𝑎
4𝑎
𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的开口向下，𝑥<−时，𝑦随𝑥的增大而增大；𝑥>−时，𝑦随𝑥的增大
2𝑎2𝑎而减小；𝑥=
2𝑏4𝑎𝑐−𝑏
，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质． −2𝑎时，𝑦取得最大值4𝑎
𝑏𝑏
24.【答案】(1)证明：连接𝑂𝐷，
∵𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑂𝐷𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵， ∴𝑂𝐷//𝐴𝐶， ∵𝐷𝐹是⊙𝑂的切线， ∴𝐷𝐹⊥𝑂𝐷， ∴𝐷𝐹⊥𝐴𝐶． (2)解：连接𝑂𝐸，
∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，∠𝐶𝐷𝐹=22.5°， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=67.5°，
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∴∠𝐵𝐴𝐶=45°， ∵𝑂𝐴=𝑂𝐸， ∴∠𝐴𝑂𝐸=90°， ∵⊙𝑂的半径为4，
∴𝑆扇形𝐴𝑂𝐸=4𝜋，𝑆△𝐴𝑂𝐸=8， ∴𝑆阴影=4𝜋−8．
(1)连接𝑂𝐷，【解析】易得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑂𝐷𝐵，由𝐴𝐵=𝐴𝐶，易得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，等量代换得∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐴𝐶𝐵，利用平行线的判定得𝑂𝐷//𝐴𝐶，由切线的性质得𝐷𝐹⊥𝑂𝐷，得出结论；
(2)连接𝑂𝐸，利用(1)的结论得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=67.5°，易得∠𝐵𝐴𝐶=45°，得出∠𝐴𝑂𝐸=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
25.【答案】解：(1)过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹，如图：
∵𝐴𝑀，𝐵𝑁，𝐶𝐷是⊙𝑂的切线，
∴∠𝑀𝐴𝑂=∠𝑁𝐵𝑂=90°，𝐴𝐷=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐶𝐸， ∴四边形𝐴𝐵𝐹𝐷是矩形，
∴𝐵𝐹=𝐴𝐷=4𝑐𝑚，𝐷𝐹=𝐴𝐵=12𝑐𝑚，
设𝐵𝐶=𝐶𝐸=𝑡 𝑐𝑚，则𝐶𝐷=𝐶𝐸+𝐷𝐸=(𝑡+4)𝑐𝑚，𝐶𝐹=𝐵𝐶−𝐵𝐹=(𝑡−4)𝑐𝑚， 在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐹中，𝐶𝐹2+𝐷𝐹2=𝐶𝐷2， ∴(𝑡−4)2+122=(𝑡+4)2， 解得𝑡=9， ∴𝐵𝐶的长为9𝑐𝑚；
(2)过𝐷作𝐷𝐺⊥𝐵𝐶于𝐺，如图：
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同(1)可得，𝐷𝐺=𝐴𝐵=12𝑐𝑚，当𝐴𝐷=𝑥 𝑐𝑚，𝐵𝐶=𝑦 𝑐𝑚时， 𝐶𝐺=𝐵𝐶−𝐵𝐺=(𝑦−𝑥)𝑐𝑚，𝐶𝐷=𝐶𝐸+𝐷𝐸=(𝑥+𝑦)𝑐𝑚， 在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐹中，𝐶𝐺2+𝐷𝐺2=𝐶𝐷2， ∴(𝑦−𝑥)2+122=(𝑥+𝑦)2， 化简得𝑦=(𝑥>0)；
𝑥(3)设𝐴𝐷=𝑥 𝑐𝑚，由(2)可知𝐵𝐶=𝑐𝑚，
𝑥∵梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为78𝑐𝑚2， ∴∴
(𝐴𝐷+𝐵𝐶)⋅𝐴𝐵
2(𝑥+𝑥)×12236
36
36
=78，
=78，
整理得𝑥2−13𝑥+36=0， 解得𝑥=4或𝑥=9，
经检验，𝑥=4和𝑥=9都是原方程的解， ∴𝐴𝐷的长为4𝑐𝑚或9𝑐𝑚．
【解析】(1)过𝐷作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶于𝐹，由𝐵𝑁，𝐶𝐷是⊙𝑂的切线，得∠𝑀𝐴𝑂=∠𝑁𝐵𝑂=90°，𝐴𝐷=𝐷𝐸，𝐵𝐶=𝐶𝐸，故四边形𝐴𝐵𝐹𝐷是矩形，有𝐵𝐹=𝐴𝐷=4𝑐𝑚，𝐷𝐹=𝐴𝐵=12𝑐𝑚，设𝐵𝐶=𝐶𝐸=𝑡𝑐𝑚，可得(𝑡−4)2+122=(𝑡+4)2，即可解得𝐵𝐶的长为9𝑐𝑚；
(2)过𝐷作𝐷𝐺⊥𝐵𝐶于𝐺，𝐵𝐶=𝑦𝑐𝑚时，当𝐴𝐷=𝑥 𝑐𝑚，在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐹中，有(𝑦−𝑥)2+122=(𝑥+𝑦)2，故𝑦=
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(𝑥𝑥>0)；
36
36
(3)设𝐴𝐷=𝑥 𝑐𝑚，可知𝐵𝐶=𝑐𝑚，根据梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为78𝑐𝑚2，得(𝑥+𝑥)×12=78，即可解
𝑥2得𝐴𝐷的长为4𝑐𝑚或9𝑐𝑚．
本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，梯形的面积，反比例函数等知识，解题的关键是掌握切线长定理，能用勾股定理列方程解决问题．
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