第三章 空间向量与立体几何 单元测试
(时间：90 分钟 满分：120 分) 第Ⅰ卷(选择题，共 50 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分． 1．以下四组向量中，互相平行的组数为 (
)
①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③ a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)
A．1 组 C．3 组
B．2 组 D．4 组
1
解析： ∵②中 a＝2b，∴a∥b；③中 a＝－ 3b， ∴a∥b；而①④中的向量不平行． 答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为 (
)
①|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件；②若 a∥b，则存在唯一的 → 实数 λ，使 a＝λb；③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP
＝
→ → →
2OA－2OB－OC，则 P，A，B，C 四点共面；④若 { a，b，c} 为空间的一组 基底，则{ a＋b，b＋c，c＋a} 构成空间的另一组基底；⑤ |(a·b) ·c|＝|a| ·|b| ·|c|.
A．2 个 C．4 个
B．3 个 D．5 个
解析： ①|a|－|b|＝|a＋b|? a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时|a|－|b|＝|a＋b| 不一定成立， 故不正确； ②b 需为非零向量， 故不正确；③因为 2－2－1≠1， 由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积 的性质知，不正确．
答案：C
1
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3．如图，已知四边形 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，连接 AC，BD， PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是
→ → → → A. PC与BD B. DA与
PB
→ → → → C.PD与AB D.PA与
CD
(
)
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a，b，PA 长为 c，则 A(0,0,0)，B(b,0,0)， D(0，a,0)，C( b，a,0)，P(0,0，c)．
→ → → →
则PC＝(b，a，－c)，BD＝(－b，a,0)，DA＝(0，－a，0)，PB＝(b,0， → → → →
－c)，PD＝(0，a，－c)，AB＝(b,0,0)，PA＝(0,0，－c)，CD＝(－b, 0,0)．
→ →
∴PC·BD＝－b
2
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＋a2 不一定为 0.
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2
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→ → → → → → DA·PB＝0，PD·AB＝0，PA·CD＝0. 答案：A
4．已知向量 e1、e2、e3 是两两垂直的单位向量，且 a＝3e1＋2e2－e3，b 1
＝e1＋2e3，则(6a) ·
2b 等于(
A．15 C．－3 1
解析：(6a) ·
1
)
B．3 D．5
＋2e2－e3) ·(e1＋2e3)＝9|e1|
2
2b ＝3a·b＝3(3e
－6|e3|2＝3.
答案：B
5．如图， AB＝AC＝BD＝1，AB? 面 α，AC⊥面 α，BD⊥AB，BD 与 面 α成 30°角，则 C、D 间的距离为 (
A．1 C. 2 →
|CD |
→ → →
＋AB＋BD| 2＝|CA
→
) B．2 D. 3
→ → → → 解析：
| | | ·AB＋2AB·BD 2＝|CA 2＋|AB 2＋|BD 2＋2CA
→
→
→ → →
＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2× 1× 1× cos120°＝2.∴|CD|＝ 2.
答案：C
6．已知空间三点 O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线 OA 上有一点 H
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满足 BH⊥OA，则点 H 的坐标为( )
3
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A．(－2,2,0)
1 1
C. － ， ，0
2 2
B．(2，－2,0) 1 1 D. ，－ 2 2 ，0
→
解析： 由OA＝(－1,1,0)，且点 H 在直线 OA 上，可设 H(－λ，λ，0)， →
则BH＝(－λ，λ－1，－1)．
→ →
又 BH⊥OA，∴BH·OA＝0， 即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
1 1 1 即 λ＋λ－1＝0，解得 λ＝ ，∴H － ，
，0 . 2
2 2 答案：C
7．已知 a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量 a＋b 与a－ b 的夹角是(
A．90° C．30°
)
B．60° D．0°
解析：(a＋b) ·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝ 0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案：A
8．已知 E、F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1 的中点，则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 (
2 A. 3 5 C. 3
2
B. 3 2 3 D. 3
)
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4
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解析： 以 D 为坐标原点，以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z轴建 1 1 立空间直角坐标系， 如图．则 A(1,0,0)，E ，1，0 ，F 0，1， ，D1(0,0,1)，
2
2
→
→
1
，1，0 . l 所以AD1＝(－1,0,1)，AE＝ －
2
设平面 AEFD1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
－x＋z＝0， →
n·AD1＝0，
? x 则
→ － n·AE＝0， ＋y＝0.
2
∴x＝2y＝z.取 y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面 ABCD 的一个法向量为 u＝ 2 5
(0,0,1)，∵cos〈n，u〉＝ 3，∴sin〈n，u〉＝ 3 .
答案：C
9．在三棱锥 P-ABC 中，△ABC 为等边三角形， PA⊥平面 ABC，且 PA ＝AB，则二面角 A-PB-C 的平面角的正切值为 (
A. 6
6 C. 6
B. 3 6
D. 2
)
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5
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解析： 设 PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 B(0,2,0)，C( 3，1,0)，P(0,0,2)， →
∴BP＝(0，－2,2)， →
BC＝( 3，－1,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 PBC 的一个法向量．
→ BP·n＝0， →
BC·n＝0，
－2y＋2z＝0， 即
3x－y＝0.
则
3
令 y＝1，则 x＝ ，z＝1.
3 3
即 n＝ ，1，1 .
3
易知 m＝(1,0,0)是平面 PAB 的一个法向量． 7 m·n 则 cos〈m，n〉＝ ＝ 7 . |m||n|＝
21 1× 3 ∴正切值 tan〈m，n〉＝ 6. 答案：A
6
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3 3
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→ → →
10．已知 OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点 Q 在直线OP 上 → → 运动，则当QA·QB取得最小值时，点 Q 的坐标为 (
1 3 1 A. 2 ， 3
， 4 4 4 8 C. ， ， 3 3 3
)
1 3 3 ， ， 4 B. 2 2 4 4 7
D. ， ， 3 3 3
→
解析： ∵Q 在 OP 上，∴可设Q(x，x,2 x)，则QA＝(1－x ,2－x,3－2x)， →
QB＝(2－x,1－x,2－2x )． → → ∴QA·QB
＝6x2－16x＋10，
→ →
∴x＝ 4
3
时，QA·QB
最小，
4 4 8 时这Q
3 ， 3 . ， 3 答案： C
第Ⅱ卷 (非选择题，共 70 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
11．已知 a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝 角，则x 的取值范围是__________．
解析： 因为 a 与 b 的夹角为钝角，于 －是
1＜cos〈a，b〉＜0，因此 a·b
＜0，且 a 与 b 的夹角不为 π，即 cos〈a，b〉≠－1.
5
解得 x∈ －2， ，＋∞ .
3 ∪ 3 5 5
∪ ，＋∞ 3
3 答案： －2，
5
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7
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1 12．如图所示，已知正四面体 A-BCD 中，AE＝4AB， DE 和 BF 所成的角的余弦值为 __________．
→
→ →
→ → 1
解析：ED＝EA＋AD ＋AD
＝ ，
4BA
→ → → →
→ 1
BF＝BC＋CF＝BC
4CD ＋ ， → →
→ → cos〈ED，BF
ED·BF 〉＝ → →
|ED | ·|BF |
→ → → 1
→ ＝
4BA＋AD 1
→ →
4CD
1
→ 4BA
1 ＋AD
4 CD
1
CF＝
4CD，则直
线
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·BC
＋
→ 2
·
BC ＋
2
4 ＝13.
答案：
4 13
13．已知 a＝( x,2，－4)，b＝(－1，两两垂直，则 (x，y，z)＝__________.
8
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y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c WORD格式
－x＋2y－12＝0，
解析： 由题意知
x－4－4z＝0， －1－2y＋3z＝0，
解得 x＝－64，y＝－26，z＝－17. 答案：(－64，－26，－17)
14．已知空间四边形 OABC，如图所示，其对角线为 OB、AC，M、N → → → 分别为 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且＝3GN，现用基向量 OA
、 MG
→ → → → → → →
OB、OC表示向量 OG，并设OG＝x·OA＋y·OB＋z·OC，则 x、y、z 的和为 __________．
→ → → → → →
解析：OG＝OM＋MG ＝
1 3 1 3
→ 1
1
→ → ＝
2
1
2OA 4MN 2OA
＋ ＝ ＋
4 － ＋
2OA＋OC
2CB
→ → → → → → → →
3 3 3 3 1 3 3 OA 8OA 4OC 8OC 8OA 8OB＋ 8OC － ＋ ＋ － ＝ ＋ ，
8OB
1 3 3 ∴x＝ ，y＝ ，z＝ 8. 8 8
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7
∴x＋y＋z＝
8.
7
答案： 8
三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分．
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15．(12 分)已知 a＝(1,2，－2)． (1)求与 a 共线的单位向量 b；
(2)若 a 与单位向量 c＝(0，m，n)垂直，求 m、n 的值． 解：(1)设 b＝(λ，2λ，－2λ)，而 b 为单位向量，
2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1. ∴|b|＝1，即 λ
1 ∴λ＝±
3.(4 分)
1 2 2 1 2 2 ∴b＝ ， ，－ ， 3 .(6 分) 3 3 3 3 3 或 b＝ －
，－
1× 0＋2m－2n＝0， a·c＝0，
? (2)由题意，知 2＋n2＋02＝1， |c|＝1，
m
m＝
解得
n＝
2 2 m＝－ ， ， 2 2 或 (12 分) 2 2 ，
n＝－ 2
2 .
16．(12 分)如下(左)图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6， D，E 分别为 AC、AB 上的点，且 DE∥BC，DE＝2，将△ADE 沿 DE 折起 到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD，如下(右)图．
(1)求证：A1C⊥平面 BCDE；
(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小．
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10
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解：(1)∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC. ∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面 A1DC. ∴DE⊥A1C. 又∵A1C⊥CD，
∴A1C⊥平面 BCDE.(4 分)
(2)如图所示，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系A1(0,0,2 3)，D(0,2,0)，M (0,1， 3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
→ → 设平面 A1BE 的法向量为 n＝(x，y，z)，则＝0，n·BE＝0.
→
又A1B＝(3,0，－2 3)， →
BE＝(－1,2,0)，
∴
3x－2 3z＝0， －x＋2y＝0.
令 y＝1，则 x＝2，z＝ 3，∴n＝(2,1， 3)． 设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ.
11
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C－xyz，则 n·A1B
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→
∵CM＝(0,1， 3)，
→
n·CM
∴sinθ＝|cos〈n，CM〉|＝|
|＝
→
|n| ·|CM |
π
∴CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 9.(12 分)
17．(12 分)如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂 直，AB＝ 2，AF＝1，M 是线段 EF 的中点．
→
4
2 ＝ 2 . 8× 4
(1)求证：AM∥平面 BDE；
(2)试在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF 与 CD 所成的角是 60°.
解：(1)证明： 如图，建立空间直角坐标系． 设 AC∩BD＝N，连接 NE，
12
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2 2 N 则， ，0 ，E(0,0,1)， 2 2 → 2 2 ∴NE＝ － ，－ ，1 .
2 2
2 2 又 A( 2， 2，0)，M ， ，1 ， 2 2
→ 2 2 ∴AM＝ － ，－ ，1 .
2 2 → →
∴NE＝AM，且 NE 与 AM 不共线． ∴NE∥AM.
又 NE? 平面 BDE，AM?平面 BDE， ∴AM∥平面 BDE.(6 分) (2)设P(t，t,0)(0≤ t≤
2)，
→ →
PF＝( 2－t， 2－t,1)，CD＝( 2，0,0)． 则
→ →
又∵PF与CD所成的角为60°.
| 2－t · 2| 2－t
1
＝ 2
2＋ 2－t 2＋1· 2 ，
3 2 2
解之得 t＝ ，或 t＝
2 (舍去)．
2 故点 P为AC 的中点． (12 分)
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13
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18．(14 分)如图，在圆锥 PO 中，已知 PO＝ 2，⊙O 的直径 AB＝2，
︵
C 是AB的中点，D 为 AC 的中点．
(1)证明：平面 POD⊥平面 PAC； (2)求二面角 B-PA- C 的余弦值．
解： (1)证明：如图所示，以 O 为坐标原点， OB，OC，OP 所在直线 分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)， 1 1
， C(0,1,0)，P(0,0， 2)，D －
，0 . 2 2
→ → 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 POD 的一个法向量，则由 n1·OD＝0，n1·OP ＝0，
14
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1 (4 分) 1
－ 1＋ 2y 得
2x 1＝0，
2z1＝0.
∴z1＝0，x1＝y1.
取 y1＝1，得 n1＝(1,1,0)．
→ → 设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 PAC 的一个法向量，则由 n2·PA＝0，n2·PC 0，
－x2－ 2z2＝0， 得
y2－ 2z2＝0. ∴x2＝－ 2z2，y2＝ 2z2， 取 z2＝1，得 n2＝(－ 2， 2，1)． ∵n1·n2＝(1,1,0) (－ ·
2， 2，1)＝0，
＝
∴n1⊥n2.从而平面 POD⊥平面 PAC.(8 分) (2)∵y 轴⊥平面 PA B.
∴平面 PAB 的一个法向量为 n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面 PAC 的一个法 向量为 n2＝(－ 2， 2，1)．
设向量 n2 和 n3 的夹角为 θ，
2 10 则 cosθ＝ ＝ ＝ 5 .
|n2| ·|n3| 5
由图可知，二面角 B-PA- C 的平面角与 θ相等，∴二面角 B-PA-C 的余 10
弦值为 5 .(14 分)
n2·n3
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