人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》章末练习题卷（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 下列各式中，最小值为 2 的是 ( )
2. 下列函数中最小值为 4 的是 ( )
3. 已知集合 𝐴={𝑥∣ 𝑥2−𝑥−2<0}，𝐵={𝑥∣ 1<𝑥<3}，则 𝐴∩𝐵= ( )
4. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为 𝑥，𝑦，𝑧，且 𝑥<𝑦<𝑧，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元 /m2）
分别为 𝑎，𝑏，𝑐，且 𝑎<𝑏<𝑐，在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 ( )
5. 下列不等式一定成立的是 ( )
6. 不等式 6𝑥2+𝑥−2≤0 的解集为 ( )
21
A． {𝑥∣−≤𝑥≤} ∣321C． {𝑥∣∣𝑥≥2}
21
B． {𝑥∣𝑥≤−或≥} ∣322D． {𝑥∣∣𝑥≤−3}
A． 𝑥+(𝑥<0)
𝑥
1
B． 1+(𝑥≥1)
𝑥
1
C． √𝑥+
4√𝑥−2(𝑥>0) D．
𝑥2+4√𝑥2+3
A． 𝑦=𝑥2+2𝑥+4 C． 𝑦=2𝑥+22−𝑥
B． 𝑦=∣sin𝑥∣+∣sin𝑥∣ D． 𝑦=ln𝑥+ln𝑥
4
4
A． {𝑥∣ −1<𝑥<3}
C． {𝑥∣ 1<𝑥<2} B． {𝑥∣ −1<𝑥<1} D． {𝑥∣ 2<𝑥<3}
A．𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧 B．𝑎𝑧+𝑏𝑦+𝑐𝑥 C．𝑎𝑦+𝑏𝑧+𝑐𝑥 D．𝑎𝑦+𝑏𝑥+𝑐𝑧
A． lg(𝑥2+)>lg𝑥(𝑥>0)
4B． sin𝑥+sin𝑥≥2(𝑥≠𝑘π,k∈𝐙) C． 𝑥2+1≥2∣𝑥∣(𝑥∈𝐑) D． 𝑥2+1>1(𝑥∈𝐑)
1
1
1
1
7. 已知集合 𝑀={𝑥∣ 𝑥2−3𝑥−28≤0}，𝑁={𝑥∣ 𝑥2−𝑥−6>0}，则 𝑀∩𝑁 为 ( )
A． {𝑥∣ −4≤𝑥<−2或3<𝑥≤7} B． {𝑥∣ −4<𝑥≤−2或3≤𝑥<7} C． {𝑥∣ 𝑥≤−2或𝑥>3} D． {𝑥∣ 𝑥<−2或𝑥≥3}
1
8. 已知关于 𝑥 的不等式 (𝑎𝑥−1)(𝑥+1)<0 的解集是 (−∞,−1)∪(−2,+∞)，则 𝑎 等于 ( )
9. 不等式 6𝑥2+𝑥−2≤0 的解集是 ( )
10. 如果 𝑎<0，𝑏>0，那么下列不等式中正确的是
二、填空题（共6题）
11. 已知直线 𝑎𝑥+𝑏𝑦=1 经过点 (1,2)，则 2𝑎+4𝑏 的最小值为 ．
12. 不等式 (𝑥−3)(𝑥+5)<0 的解集为 ．
13. 当 𝑥>0 时，𝑓(𝑥)=𝑥2+1 的最大值为 ．
14. 设 𝑎,𝑏∈𝐑，则“(𝑎−𝑏)⋅𝑎2<0”是“𝑎<𝑏”的 条件．
15. 一元二次不等式恒成立问题．
（1）𝑥∈𝐑，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0(𝑎≠0) 恒成立的充要条件是： 且 ． （2）𝑥∈𝐑，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥0(𝑎≠0) 恒成立的充要条件是： 且 ． （3）𝑥∈𝐑，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐<0(𝑎≠0) 恒成立的充要条件是： 且 ． （4）𝑥∈𝐑，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≤0(𝑎≠0) 恒成立的充要条件是： 且 ．
（5）𝑥∈𝐑，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0 恒成立的充要条件是：𝑎=𝑏=0 且 𝑐>0 或 且 ． （6）𝑥∈𝐑，𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐<0 恒成立的充要条件是：𝑎=𝑏=0 且 𝑐<0 或 且 ．
2
2𝑥
A．2 B．−2
C．−2
1
D．2 1
A． {𝑥∣ −≤𝑥≤}
3
2
21
B． {𝑥∣ 𝑥≤−或𝑥≥}
3
2
21
C． {𝑥∣ −2≤𝑥≤3}
12
D． {𝑥∣ 𝑥≤−2或𝑥≥3}
12
A．𝑎<𝑏 11
B．√−𝑎<√𝑏
C．𝑎2<𝑏2
D．∣𝑎∣>∣𝑏∣
16. 已知关于 𝑥 的不等式 𝑎𝑥2+2𝑥+𝑐>0 的解集为 (−3,2)，则不等式 −𝑐𝑥2+2𝑥−𝑎>0 的解
集为 ．
三、解答题（共6题）
3𝑥2+𝑥−2≥0,
17. 解不等式组 {4𝑥−3
≥0.
𝑥−3
11
18. 围建一个面积为 360 平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其
他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 米的进出口，已知旧墙的维修费用为 45 元/米，新墙的造价为 180 元/米，设利用的旧墙的长度为 𝑥（单位：米）．
(1) 若旧墙长度大于 2 米，试确定 𝑥 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用； (2) 若旧墙长度大于 2 米且小于等于 20 米，试确定 𝑥 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，
并求出最小总费用．
19. 解下列不等式：
(1) 2𝑥2−3𝑥−2>0； (2) 𝑥2−3𝑥+5>0； (3) −6𝑥2−𝑥+2≥0； (4) 2𝑥2−4𝑥+7<0．
20. 如图，矩形草坪 𝐴𝑀𝑃𝑁 中，点 𝐶 在对角线 𝑀𝑁 上．𝐶𝐷 垂直 𝐴𝑁 于点 𝐷，𝐶𝐵 垂直 𝐴𝑀 于点
𝐵，∣𝐶𝐷∣=∣𝐴𝐵∣=3 m，∣𝐴𝐷∣=∣𝐵𝐶∣=2 m，设 ∣𝐷𝑁∣=𝑥 m，∣𝐵𝑀∣=𝑦 m．求这块矩形草坪 𝐴𝑀𝑃𝑁 面积的最小值．
21. 一元二次不等式恒成立的含义是什么？
3
22. 解答：
(1) 𝑎<𝑏<0，求证：𝑎<𝑏；
(2) 已知 𝑎>𝑏，<，求证：𝑎𝑏>0．
𝑎
𝑏1
1
𝑏
𝑎
4
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】C
【知识点】均值不等式的应用
2. 【答案】C
【解析】对于A，𝑦=𝑥2+2𝑥+4=(𝑥+1)2+3≥3，当且仅当 𝑥=−1 时取等号，所以其最小值为 3，A不符合题意；
对于B，因为 0<∣sin𝑥∣≤1，𝑦=∣sin𝑥∣+∣sin𝑥∣≥2√4=4，当且仅当 ∣sin𝑥∣=2 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为 4，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 𝐑，而 2𝑥>0，𝑦=2𝑥+22−𝑥=2𝑥+2𝑥≥2√4=4，当且仅当 2𝑥=2，即 𝑥=1 时取等号，所以其最小值为 4，C符合题意；
对于D，𝑦=ln𝑥+ln𝑥，函数定义域为 (0,1)∪(1,+∞)，而 ln𝑥∈𝐑 且 ln𝑥≠0，如当 ln𝑥=−1，𝑦=−5，D不符合题意． 【知识点】均值不等式的应用
3. 【答案】C
【解析】因为集合 𝐴={𝑥∣ 𝑥2−𝑥−2<0}， 所以集合 𝐴={𝑥∣ −1<𝑥<2}， 又因为 𝐵={𝑥∣ 1<𝑥<3}， 所以 𝐴∩𝐵={𝑥∣ 1<𝑥<2}．
【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算
4. 【答案】B
【解析】采用特值法进行求解验证即可，若 𝑥=1，𝑦=2，𝑧=3，𝑎=1，𝑏=2，𝑐=3，则 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=14，𝑎𝑧+𝑏𝑦+𝑐𝑥=10，𝑎𝑦+𝑏𝑧+𝑐𝑥=11，𝑎𝑦+𝑏𝑥+𝑐𝑧=13．由此可知最低的总费用是 𝑎𝑧+𝑏𝑦+𝑐𝑥． 【知识点】余弦定理
5. 【答案】C
【解析】 𝑥=2 时，A中的不等式不成立；𝑥=2 时，B中的不等式不成立；𝑥=1 时，D中的不等式不成立；选C．
【知识点】均值不等式的应用
6. 【答案】A
5
1
π
4
4
4
【解析】因为 6𝑥2+𝑥−2≤0⇔(2𝑥−1)⋅(3𝑥+2)≤0，
21
所以原不等式的解集为 {𝑥∣−≤𝑥≤}． ∣32
【知识点】二次不等式的解法
7. 【答案】A
【解析】因为 𝑀={𝑥∣ −4≤𝑥≤7}，𝑁={𝑥∣ 𝑥<−2或𝑥>3}， 所以 𝑀∩𝑁={𝑥∣ −4≤𝑥<−2或3<𝑥≤7}． 【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算
8. 【答案】B
【解析】根据不等式与对应方程的关系知 −1，−2 是一元二次方程 𝑎𝑥2+𝑥(𝑎−1)−1=0 的两个根，
所以 −1×(−)=−，
2𝑎所以 𝑎=−2．
【知识点】二次不等式的解法
9. 【答案】A
【知识点】二次不等式的解法
10. 【答案】A
【知识点】不等式的性质
二、填空题（共6题） 11. 【答案】 2√2
【解析】因为直线 𝑎𝑥+𝑏𝑦=1 经过点 (1,2)， 所以 𝑎+2𝑏=1，
则 2𝑎+22𝑏≥2√2𝑎⋅22𝑏=2√2𝑎+2𝑏=2√2（当且仅当 𝑎=2𝑏 时取等）．
【知识点】均值不等式的应用
12. 【答案】 (−5,3)
【知识点】二次不等式的解法
13. 【答案】 1
【解析】因为 𝑥>0， 所以 𝑓(𝑥)=𝑥2+1=
12𝑥
2
1𝑥+𝑥1
11
≤2=1，
2
当且仅当 𝑥=𝑥，即 𝑥=1 时取等号．
6
【知识点】均值不等式的应用
14. 【答案】充分非必要
【解析】由 (𝑎−𝑏)⋅𝑎2<0⇒𝑎≠0 且 𝑎<𝑏，所以充分性成立；由 𝑎<𝑏⇒𝑎−𝑏<0，当 𝑎<𝑏 时 ⇒(𝑎−𝑏)⋅𝑎2≤0，必要性不成立． 【知识点】不等式的性质、充分条件与必要条件
15. 【答案】 𝑎>0 ； 𝑏2−4𝑎𝑐<0 ； 𝑎>0 ； 𝑏2−4𝑎𝑐≤0 ； 𝑎<0 ； 𝑏2−4𝑎𝑐<0 ； 𝑎<
0 ； 𝑏2−4𝑎𝑐≤0 ； 𝑎>0 ； 𝑏2−4𝑎𝑐<0 ； 𝑎<0 ； 𝑏2−4𝑎𝑐<0
【知识点】二次不等式的解法
16. 【答案】 (−2,3)
【解析】因为不等式 𝑎𝑥2+2𝑥+𝑐>0 的解集为 (−,)，
32所以 −=−+，=−，解得：𝑎=−12，𝑐=2，
𝑎
3
2
𝑎
6
2
1
1
𝑐
1
11
故不等式 −𝑐𝑥2+2𝑥−𝑎>0 即 −2𝑥2+2𝑥+12>0， 故 𝑥2−𝑥−6<0，解得：−2<𝑥<3． 故不等式的解集是：(−2,3)． 【知识点】二次不等式的解法
三、解答题（共6题）
𝑥≤−1或𝑥≥3,3𝑥2+𝑥−2≥0,23
17. 【答案】 {4𝑥−3⇒{⇒𝑥≤−1或3≤𝑥≤4或𝑥>3． 3≥0𝑥≤或𝑥>3𝑥−3
4
2
所以原不等式组的解集为 (−∞,−1]∪[3,4]∪(3,+∞)． 【知识点】分式不等式的解法、二次不等式的解法
18. 【答案】
(1) 设矩形的另一边长为 𝑎 米，
7
23
则 𝑦=45𝑥+180(𝑥−2)+180⋅2𝑎=225𝑥+360𝑎−360． 由题可知 𝑥𝑎=360，得 𝑎=所以 𝑦=225𝑥+ 𝑦=225𝑥+
3602𝑥
3602𝑥
360𝑥
，
−360(𝑥>2)，
−360≥10440．
3602𝑥
当且仅当 225𝑥=
时，等号成立．
即当 𝑥=24 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元． (2) 由（Ⅰ）知 𝑦=225𝑥+
3602𝑥
−360 在 2<𝑥≤20 上单调递减，即当 𝑥=20 时，修建围墙
的总费用最小，最小总费用是 10620 元． 【知识点】均值不等式的实际应用问题
19. 【答案】
(1) 方法一：原不等式可化为 (2𝑥+1)(𝑥−2)>0， 即 (𝑥+2)(𝑥−2)>0，
1
所以不等式的解集为 {𝑥∣𝑥<−或𝑥>2}， ∣2
1
方法二：因为 𝛥=(−3)2−4×2×(−2)=25>0，
所以方程 2𝑥2−3𝑥−2=0 有两个不同实根，分别是 −2，2， 所以原不等式的解集为 {𝑥∣ 𝑥>2或𝑥<−2}．
(2) 因为 𝛥=(−3)2−4×1×5=9−20<0，且其对应函数的图象开口向上， 所以 𝑥2−3𝑥+5>0 的解集为 𝐑．
(3) 方法一：原不等式可化为 6𝑥2+𝑥−2≤0， 即 (2𝑥−1)(3𝑥+2)≤0， 可化为 (𝑥−2)(𝑥+3)≤0，
21所以原不等式解集为 {𝑥∣∣−≤𝑥≤}．
3
2
1
2
1
1
方法二；原不等式可化为 6𝑥2+𝑥−2≤0， 因为 𝛥=12−4×6×(−2)=49>0，
所以方程 6𝑥2+𝑥−2=0 有两个不同实根，分别是 −3，2，
21所以原不等式的解集为 {𝑥∣−≤𝑥≤}． ∣32
2
1
(4) 因为 𝛥=(−4)2−4×2×7=−40<0，且其对应函数的图象开口向上，
8
所以不等式 2𝑥2−4𝑥+7<0 的解集为 ∅． 【知识点】二次不等式的解法
20. 【答案】由题意 ∠𝑁𝐶𝐷=∠𝐶𝑀𝐵⇒=
3𝑥
2𝑦
⇒𝑥𝑦=6，𝑆矩形𝐴𝑀𝑃𝑁=(𝑥+2)(𝑦+3)=𝑥𝑦+3𝑥+
2𝑦+6=12+3𝑥+2𝑦≥12+2√3𝑥⋅2𝑦=24． 当且仅当 3𝑥=2𝑦，即 𝑥=2，𝑦=3 时取得等号． 则这块矩形草坪 𝐴𝑀𝑃𝑁 面积的最小值为 24 m2．
【知识点】均值不等式的应用
21. 【答案】当一元二次方程无根时，一元二次函数的图象恒位于 𝑥 轴的上方或者下方，此时，可
以理解为一元二次不等式恒大于零或者小于零，特别地，如果 𝑎 为参数，需要讨论 𝑎=0 时是否成立．
【知识点】二次不等式的解法
22. 【答案】
(1) 由于 𝑎−𝑏=因为 𝑎<𝑏<0，
所以 𝑏+𝑎<0，𝑏−𝑎>0，𝑎𝑏>0， 所以
(𝑏+𝑎)(𝑏−𝑎)
𝑎𝑏1
1
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏2−𝑎2𝑎𝑏
(𝑏+𝑎)(𝑏−𝑎)
𝑎𝑏
=，
<0，故 𝑎<𝑏．
(2) 因为 𝑎<𝑏， 所以 𝑎−𝑏<0，即 所以 𝑏−𝑎<0， 所以 𝑎𝑏>0．
【知识点】不等式的性质
1
1
𝑏−𝑎𝑎𝑏
<0，而 𝑎>𝑏，
9
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