北京市2021年中考数学试题(含答案)

2018 年北京中考数学试题

一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）

第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 ．．1. 下列几何体中，是圆柱的为

2. 实数a , b , c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

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（A） a ＞4

a  c＞0

（B） c  b＞0（C）ac＞0 （D）

x  y  3 3. 方程式 的解为



3x  8 y  14

x  1

x  2 （C） 

y  1

（A）  

y  2

 x  1 （B） 

y  2

（D）

 x  2 

y  1

4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相当于 35 个标准足球场的总面积。已知每个标准足球场的面积为7140m，则 FAST 的反射面总面积约为 （A） 7.14 103 m2

2

（B） 7.14 104 m2 （C） 2.5105 m2

（D）

2.5106 m2

5. 若正多边形的一个外角是60o ，则该正多边形的内角和为

（A）

0o

（B） 0o

（C） （D）

0o

900o

1

 a2  b2  a 6. 如果a  b  2 3 ，那么代数式 b   a  b 的值为  2a

（A） 3

（B）2 3 （C）3 3

（D）

4 3

7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y （单位：m）与水平距离 x （单 位：m）近似满足函数关系 y  ax2  bx  ca  0。下图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

（ A ） 10m （ B ） 15m

（ C ） 20m

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（D）22.5m

8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：

①当表示天安门的点的坐标为0,0，表示广安门的点的坐标为 6, 3时，表示左安门的点的坐标为5,6；

②当表示天安门的点的坐标为0,0，表示广安门的点的坐标为12, 6时， 表示左安门的点的坐标为10,12；

2

③当表示天安门的点的坐标为1,1，表示广安门的点的坐标为11, 5时，表示左安门的点的坐标为11,11；

④ 当 表 示 天 安 门 的 点 的 坐 标 为 1.5,1.5 ， 表 示 广 安 门 的 点 的 坐 标 为

16.5, 7.5时，表示左安门的点的坐标为16.5,16.5,。

上述结论中，所有正确结论的序号是 （ A ） ① ② ③ （D）①②③④

二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 右图所示的网络是正方形网格，BAC 或“＜”）

DAE 。（填“＞”，“＝”

（ B ） ② ③ ④ （ C ） ① ④

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10. 若 x 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 是a ， b ， c 。

。

11. 用一组a , b , c 的值说明命题“若a＜b ，则ac＜bc ”是错误的，这组值可以

   

12. 如图，点 A ， B ， C ， D 在⊙ O 上， CB  CD , CAD  30, ACD  50,

则ADB 。

13. 如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F ，

3

若 AB  4 ， AD  3，则CF 的长为 。

14. 从甲地到乙地有 A，B，C 三条不同的公交线路。为了解早高峰期间这三条线

路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了 500 个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 早高峰期间，乘坐

（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，

高途课堂整理 从甲地到乙地“用时不超过 45 分钟”的可能性最大。 15. 某公园划船项目收费标准如下：

船型 两人） 90 四人） 100 六人） 130 每船租金（元/小 时） 的总费用最低为

150 某班 18 名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为 1 小时，则租船元。

16. 2017 年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新

效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第 22，创新效率排名全球第

。

两人船（限乘 四人船（限乘 六人船（限乘 八人船（限乘 八人）

三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6

分，第 27,28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

4

17. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。

已知：直线l 及直线l 外一点 P 。

求作：直线 PQ ，使得 PQ ∥ l 。作法：如图，

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①在直线l 上取一点 A ，作射线 PA ，以点 A 为圆心，AP 长为半径画弧，交 PA 的延长线于点 B ；

②在直线l 上取一点C （不与点 A 重合），作射线 BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 BC 的延长线于点Q ；

③作直线 PQ 。所以直线 PQ 就是所求作的直线。

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明。

证明：∵ AB ， CB ，

∴ PQ ∥ l （

）（填推理的依据）。

18.计算 4sin45°+(π-2)°- 18 +∣-1∣ 3 x + 1 > x − 1

19.解不等式组： x+9

2 > 2x20.关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0.

(1)当 b=a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况;

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b 的值，并求此时方程的根 .

21.如图，在四边形 ABCD 中，AB//DC，AB=AD，对角线 AC，BD 交于点 O，AC 平分

5

5

∠BAD，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若 AB= 5，BD=2，求 OE 的长 .

22. 如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP，CD. (1)求证:OP⊥CD;

(2)连接 AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA = 70°，OA=2，求 OP 的长.

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23.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=(x>0)的图象 G 经过点 A(4，1)，直线

x

k

L:y =x+b 与图象 G 交于点 B，与 y 轴交于点 C

4

1

(1)求 k 的值;

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA， OC，BC 围成的区域(不含边界)为 w.

①当 b=-1 时，直接写出区域 W 内的整点个数;

②若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围

ˆ24.如图，Q 是AB与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，P 是弦 AB 上一动点，ˆ连接 PQ 并延长交AB于点 C，连接 AC.已知 AB=6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm， P，C 两点间的距离为 y1cm，A，C 两点间的距离为 y2cm.

6

6

小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1,y2，随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整:

(1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1,y2 与 x 的几组对应值;

X/cm y1/cm y2/cm 0 5.62 5.62 1 4.67 5.59 2 3.76 5.53 5.42 3 4 2.65 5.19 5 3.18 4.73 6 4.37 4.11

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(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x， y1)并画出(x，y2)函数 y1，y2 的图象;

(3) 结合函数图象， 解决问题: 当△ APC 为等腰三角形时， AP 的长度约为cm.

25.某年级共有 300 名学生.为了解该年级学生 A，B 两门课程的学习情况，从中随机抽取 60 名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据(成绩) 进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.A 课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成 6 组:40≤x<50，50≤x<60，60≤ x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100):

7

b.A 课程成绩在 70≤x<80 这一组的是:

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5

78.5 79 79 79 79.5

众数 84.5 83 c.A，B 两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:

课程 A B 平均数 75.8 72.2 中位数 m 70 高途课堂整理

根据以上信息，回答下列问题:

(1)写出表中 m 的值;

(2)在此次测试中，某学生的 A 课程成绩为 76 分，B 课程成绩为 71 分，这名学 生成绩排名更靠前的课程是

(填\"A\"或\"B\")，理由是

, (3)

假设该年级学生都参加此次测试，估计 A 课程成绩跑过 75.8 分的人数. 26.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=4X+4 与 x 轴 y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y=ax2+bx-3a 经过点 A 将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)求抛物线的对称轴;

(3)若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围

27.如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点(不与点 A，B 重合)，连接 DE， 点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG，过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH. (1)求证:GF=GC;

(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明.

8

28.对于平面直角坐标系元 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义:P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的\"闭距离\"，记作 d(M，N) . 已知点 A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2). (1)求 d(点 0，△ABC);

(2)记函数 y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的图象为图形 G.若 d(G，△ABC)=1，直接写出 k 的取值范围;

(3)⊙T 的圆心为 T(t，0)，半径为 1.若 d(⊙T，△ABC)=1，直接写出 t 的取值范围.

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