维普资讯 http://www.cqvip.com ・３６・ 重庆 《数学教学通讯））２００２年第１Ｏ期（总第１５５期） 有关复数问题的解题镱略 （成都东方双语学校 ６１０１００） 张 勇 邓元林 复数是中学数学的主要内容之一，由于它 ２一 ３ ｚ ｘｉ＝ 高度体现了数与形的结合及转化，并且与三角、 ［、／／了ｙ一１＋（￣／了一ｙ）ｉ］ｉ 函数、解析几何有着紧密的联系，从而用复数的 所以．… ．《ｆ ２一 ：Ｙ一 方法解题已成为常用的手段．但由于学生很难 【 ＝ｖ厂 Ｙ一１ 从实数的定势思维中一下子跳人复数集，因而 对复数的有关概念不深刻；公式、定理的应用， ｉ｛ ＝＝：—１＋ｖ厂 一丁 学生有一个由浅入深的渐进过程．因此在复数 解得 Ｉ １＋ｖ厂 的教学与复习中，注意引导学生作好与其它概 ｌＹ — 一 念，公式、定理的有机联系和综合应用，是培养 所 ： ＋ ， 学生思维能力的重要手段与内容．下面总结有 关复数的解题技巧． １＋ｖ厂 ．ｖ厂了一１． 。一— 一十— 一 １ 基本运算技巧 ＝ｃ。ｓ争 ｉｎ詈， 例１ （成都市２００１届第一次诊断性检测 题，１９） 所以（ ） 。一ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ｕ ｕ 已知复数 一２一 ３ ＋ｘｉ， ｚ一￣／３ Ｙ １ 一１＋（￣／广丁一ｙ）ｉ（ ，Ｙ∈Ｒ），若Ｉ Ｉ—Ｉ Ｉ， 一一 一Ｔ 且ａｒｇ ＝吾，求（半） 的值． ２ 关于“１”的技巧 解：因为Ｉ Ｉ—Ｉｚ Ｉ，ａｒｇ 一 ７１－， 例２ 已知ｆ ｆ一１，求ｆ 一 一１ ｆ的最 大值． 所以 １＝ ｌ ． 解：设 —ｃｏｓ０＋ｉｓｉｎ０ 简析：例８中“一边”指的是ＡＢ或ＡＤ；例 一ｋ一２—０②．（１）当ｋ为何值时，方程①有 ９中“与ＡＣ所在直线相交”包括“与线段ＡＣ相 实数根；（２）略．（盐城市２００１年中考题） 交”或“与线段ＡＣ的延长线相交”两种情况；例 例１２ 已知三角形两边长为３、４，要使 １Ｏ中“当点尸运动到Ｐ 与腰垂直的位置时”， 这个三角形是直角三角形，求出第三边的长． 这句话中的“腰”指的是ＡＢ或ＡＣ． （杭州市１９９８年中考题） ５ 利用思维定势的消极影响设计多解问题 简析：例１１易受一元二次方程的影响而忽 视当ｋ一０时，方程也有实根；例１２易受勾３股 例１１ 已知关于 的方程ｋｘ。一２（ ＋ ４弦５的影响而忽视４也可为斜边． １）五＋ｋ一１—０（Ｄ与 一（２ｋ一１）ｚ＋ｋ 维普资讯 http://www.cqvip.com 《数学教学通讯｝２００２年第ｌＯ期（总第１５５期） 则ｌ 一 —ｉ ｌ—ｌ 一 — ・三ｌ—ｌ ｌ ・ｌ —ｉ一三ｌ—ｌ ２ｉｓｉｎＯ一１ ｌ一、／／丁 ■ ≤ ５． 所以ｌ 一 一１ ｌ 一、／， ． 说明：先用公式ｌ ｌ 一 ・三，将１化为 ・ ，从而使得计算简化． 错解：若用不等式ｌ ＋ ｌ≤ｌ ｌ＋ｌ ｌ 求最大值． 则有ｌ 一 一１ ｌ≤ｌ ｌ＋ｌ ｌ＋１—３， 在这里复数一１，一 ， 。所对应的向量不可能 同向，所以等号“一”不能成立，在用不等式求 最值时一定要注意“等号”是否能取到． ３ 关于方程有实根的问题 例３ 已知关于ｚ的二次方程ｚ ＋ ｚ＋ １＋２ｉ一０有实根，则ｌ ｌ的最小值． 解：设方程的实根为ｋ，则ｋ ＋ｐｋ＋２ｉ一０ 显然走≠ｏ，所以 一二 ，从而 ＩＰ ｌ一√ 一√走ｚ＋嘉＋２ ＿＿－●＿＿＿＿＿＿＿－＿＿●－。＿－●●。。。。。。。。。●。。。。。。。。。。。。。。。—— ≥√２＋２ ５ 当ｋ 一参时，即ｋ一± 时， ＩＰ ｌｍ－ｎ一 √２＋２ ． 说明：虚系数的二次方程是否有实根，不能 用判别式来判定． ４ 关于旋转的问题 ｃｌ Ｂ 例４ 如图１，复平面 内，已知等边三角形顶点所 １ １．／ 表示的复数分别是２， 厶 ＋ ／－ ｉ，求第三个顶点所表 图ｌ 示的复数．（１９８７年文科高考题） 解： 一Ａ－－￣［ｃ。ｓ（±詈）＋ ｎ（±詈）］ ＿［（ ＋ ｚ］・ｃｏｓ詈 ｉｎ詈］一 重庆 ・３７・ （一 千 ３）＋（ 千 ） 而 一 一 一 一 所以ＺＣ—ＺＡ＋（一 ３千丢）＋（孚千 旦） 所以ｃ点对应复数为 １一，或２ ｉ 说明：向量旋转时要注意向量的顶点，此题 的左边为 ，而不是 ． ５ 整体性技巧 例５ 设复数 和 满足关系式Ｚ１三 ＋ Ａｚ ＋Ａｚ 一０，其中 为不等于零的复数，证 明： （１）ｌ ＋Ａ ｌ・ｌ ＋Ａ ｌ—ｌ ｌ； ｃ２ ｛ 一ｌ ｛ ｌ ｃ ９８７年高考理 科试题） 分析：因为ｌ ・ ｌ—ｌ １．１ ｌ，欲证 ｌ（ ＋ ）（ ２＋ ）ｌ—ｌ ｌ 即证ｌＺ１Ｚ２＋Ａｚｌ＋Ａｚ２＋Ａ ｌ—ｌ ｌ 这里只要证Ｚ１Ｚ。＋Ａｚ ＋Ａｚ 一０，根据已 知条件： Ｚ１Ｚ。＋Ａｚ ＋Ａｚ２—０，从而可得以下证 明． １＋Ａ ｌ ｌ ＋Ａ ｌ—ｌ ＋Ａ １．１ ＋Ａ ｌ —ｌＺ１Ｚ２＋Ａｚｌ＋Ａｚ２＋ ｌ—ｌ ｌ ． 从这一证明可以发现（ ＋ ）（三 ＋ ） 一ＡＡ—ｌ ｌ ， 而（２）小题左边分母 ＋Ａ乘以（三 ＋ ） 后即为ｌ ＋Ａｌ 于（２）小题的证明如下： ２ｌ＋Ａ （ ｌ＋Ａ）（ ２＋Ａ） ２＋Ａ （ ２＋Ａ）（ ２＋Ａ） ｌ ｌ ｌ ＋Ａ ｌ ｌ 。＋Ａ ｌ ｌ ＋Ａ ｌ ｌ ＋ ｌＡ 一—］ 干— ｌ ＋ ｌＡ 一 一 ｌ 。＋ ｌＡ １ ＋Ａ １ 一ｌ 干 ｌ’ 说明：根据题目结构，从整体性出发比设出 复数的代数式、三角式解得更简洁．