中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：”三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ）．A.B.C.D.里里里里9.如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时线段为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ 的长度随时间变化的关系图象，其中点）．yx图A.B.C.D.O图10.如图，在正方形过点分别作①、≌，中，点是的垂线，分别交上一动点(不与、重合)，对角线、；③于点、，交、；④于点、，相交于点，，下列结论：；⑤点在；②两点的连线上．其中正确的是（ ）．3
A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤二、填空题（本大题共8小题，共28分）11.年月秒，则日时分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于用科学记数法表示为 ．12.分解因式： ．13.某校女子排球队队员的年龄分布如下表：年龄人数则该校女子排球队队员的平均年龄是 岁．14.已知一次函数”）．的图象经过点，两点，则 （填“”或“15.如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．16.如图，为平行四边形， ．、、边上一点，、分别为的面积分别记为、、，上的点，且．若，则，4
17.如图，在作⊙的一条切线中，（其中点，为切点），则线段，⊙的半径为，点是长度的最小值为 ．边上的动点，过点18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线过于点则作轴的垂线交双曲线于点，过，过和双曲线作轴的垂线交直线于点，，在直线上取一点，记为，过，作轴的垂线交双曲线，若，作轴的垂线交直线于点，依次进行下去，记点的横坐标为 ．三、解答题（本大题共7小题，共62分）19.请完成下列各题．（1）计算：（2）先化简，再求值： ．，其中 ，．20.5
如图，在，中，以．为直径的⊙交于点，弦交于点，且，（1）求证：是⊙的切线．的长度．（2）求⊙的直径21.如图，处是一钻井平台，位于东营港口的北偏东托艇从出发，自西向东航行至时，改变航向以每小时的北偏西方向，则从到达需要多少小时？方向上，与港口相距海里的速度沿海里，一艘摩方向行进，此时位于北22.东营市某中学对年月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．作业情况非常好较好一般不好 频数 频率不好一般非常好较好6
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样共调查了多少名学生？（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上．（3）若该中学有名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？，），本“较好”（记为（4）某学习小组名学生的作业本中，有本“非常好”（记），本“一般”（记为），这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．23.口罩共年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：价格元只项目成本售价型号甲乙4（1）若该公司三月份的销售收人为（2）如果公司四月份投入成本不超过万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．24.如图，抛物线连接，直线的图象经过点与轴交于点，与，交轴于点、（点在点左侧），上方的抛物线交于点，与交于点．（1）求抛物线的解析式及点、的坐标．（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．25.7
如图，在等腰三角形，连接，点、中，、分别为、，、，点的中点．、分别在边、上，图
（1）观察猜想图中，线段（2）探究证明把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、、，判断的形状，、的数量关系是 ，的大小为 ．并说明理由．图
（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值．【答案】1.C解析:的倒数是：故选．．8
2.C3.B解析:，故显示的结果是．故选．4.A解析:根据题意：∵∴∵∴故选．5.D解析:开关，，，、同时闭合个开关，，三种可能，，平分，．，．．则有闭合若使灯泡同时发光时只有闭合．故使灯泡同时发光的概率为：故选．6.B解析:由图象知：开口向下，∴与轴的交点在轴正半轴，∴∵对称轴为∴，∴；；，∴；，故选项说法正确；，，，，∵图象过点∴9即∴，，，故选项说法错误；，，故选项说法正确；结合抛物线的对称性可知，∴当对称轴为∴当故选．7.D解析:∵半径为的圆的面积为扇形铁皮的面积为，时，，开口向下，时，随的增大而减小，故选项说法正确．，∴扇形铁皮的面积占圆面积的∴扇形铁皮的弧形部分周长为∴圆锥的底面半径为故选：．8.B解析:设第一天的行程为里，由题意得：，，，解得：．（里）．故第三天走的路程为故选．9.C解析:过点作于点里．，10图根据图象可知点在运动时，由逐渐减小至的距离为，再逐渐增大至，即，，，即点到，的距离分别为由勾股定理可知∴故选．10.B解析:∵四边形∴在和中，，∴≌，是正方形，，．，点到边故①正确；∴∵正方形又∵∴且中，，∴四边形∴∴又∵，，，，，为矩形，，中，，，，同理，，11∴故②正确；∵四边形∴在∴故③正确；∵∴为等腰直角三角形，而，中，，，是矩形，，不一定等于，不一定是等腰直角三角形，故④错误；连接，，如图所示，在中，，，在中，，，∴同理在正方形，，中，，，，，，，和中，，∴∴∴在∴≌，12∴∵∴，，共线，，，，共线，∴⑤正确；综上，正确的有①②③⑤．故选．11.解析:．故答案为：12.解析:．故答案为：13.解析:根据题意得：（岁），故答案为：14.解析:把，，解得代入，，，所以，．．．．15.解析:根据题意：．，13
16.解析:过点作交于点，∵四边形∴∴∴四边形∴∴∵∴∴∴∴∵∴，，，≌，，为平行四边形，与四边形，，，，，且相似比为，，≌均为平行四边形，，，，，．故答案为：17.解析:连接，，．14∵∴∴∴当∵为过作圆的切线，，，最小时，最小，是直角三角形，，为上的动点，，，最小为，．．，∴∴∴此时故答案为：18.解析:对于直线对于双曲线∵设∴可知，，，，∴发现∴为周期为，，，，的周期数列，的横坐标为即为即为，且，，，，，15∵∴故答案为：．19.（1）（2）解析:（1）原式．（2）原式． ；．．， ，当原式20.（1）证明见解析．（2）解析:（1）∵∴∴∵∴∵∴为⊙的直径，是⊙的切线．，，，，，，，，．，时，．（2）如图，连接16∵∴又∵∴即∴为⊙的直径，，，，，，的长度为．从而⊙的直径21.解析:如图，过点作小时．于点，北由题意得：∴在∴在∴∴中， 中， ，，，，，，，．（小时），小时．名学生．作业情况非常好较好一般频数 频率∴从到达需要22.（1）本次抽样共调查了（2）17不好（3）该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约（4）列表如下：名．第二次第一次，，，，，，，，，，，，（两次都是“非常好”作业本）解析:（1）由题意可知，作业情况“不好”的频数为∴本次抽样调查总人数为：（2）由知，抽样总人数为人，．，占比为：，人．∴作业情况“非常好”的频数为：“较好”的频率为：“一般”的频数为：“一般”的频率为：∴图表为：作业情况非常好较好一般不好（3）由，，，，频数 频率知，作业情况“非常好”和“较好”频率和为：，名．∴估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生共有（4）列表法，列表如下：18第二次第一次，，，，，，，，，，，，∴可知总情况为种，两次抽到的作业本都是“非常好”的有种，．万只和万只．∴（两次都是“非常好”作业本）23.（1）甲、乙两种型号口罩的产量分别为（2）从而安排生产甲种型号的口罩万元．解析:万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润．最大利润为（1）设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是根据题意得：解得：则，，万只和万只．，万只．则甲、乙两种型号口罩的产量分别为（2）设甲种型号口罩的产量是万只，则乙种型号口罩的产量是根据题意得：解得：，，万只．设所获利润为万元，则由于此时，所以随的增大而增大，即当，万只，乙种型号的口罩万只时，获得最大利润．最大利润为，时，最大，从而安排生产甲种型号的口罩万元．24.（1），，．．（2）存在，最大值为，的坐标为解析:（1）把代入得：，解得，19∴抛物线的解析式为令∴，，可得：．，，，（2）如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点，∴∴∵直线∴∴设将，，与轴交于点，，所在直线的解析式为、代入上述解析式得：，解得：，，，则，其中，，，时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为．，，，则，∴设∴∴∵∴当的解析式为25.（1）相等 ; （2）（3）解析:（1）∵点和点分别是线段和线段的中点，．是等边三角形，证明见解析．20∴∵点和点∴∵∴即∴∵∴∴∵∴∴，分别是线段，，，和线段，，，的中点，，，，，，，，．（2）如图，图由旋转可得又∴∴∵点∴∴同理可证∴，、是≌，分别为、，，．．的中点，，的中位线，且且．．，．21∴，∴，．∴是等边三角形．，即，从而，．．（3）根据题意得：的面积所以面积的最大值为22
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