三年级奥数第21讲-对应解题(教)

学科教师辅导讲义

学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 教学目标 授课日期及时段 T同步课堂 年 级：三年级 辅导科目：奥数 课 时 数：3 学科教师： 第21讲-对应解题 P实战演练 S归纳总结 找准题目中的对应关系，用对应法解决数学问题。 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 1、“对应”是解决数学问题时常用的一种方法。有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是变化的，为了使变化的数量看的更清楚些，可以把已知条件按照他们之间的对应关系排列出来，进行观察和比较，从而找到解题方法，这种解题方法叫“对应法” 2、应用“对应法”解题时可以通过对应比较，分析对应的未知量变化的情况，设法消去其中的一个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成较简单的题目，以便于解答。 典例分析 例1、奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。问1千克梨和1千克荔枝各多少元？ 【解析】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 4千克梨＋5千克荔枝=58元 （1） 6千克梨＋5千克荔枝=62元 （2） 比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等， （2）式比（1）式多了6－4=2千克梨， 也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷2=2元， 那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。 例2、王老师到体育用品商店为学校买球，计算了一下，要买5个足球和3个篮球需要付244元；而买2个足球和3个篮球只需付139元．请你算算，足球和篮球每个各多少元？ 【解析】为了便于观察分析，我们按数量之间的对应关系，把条件排列出来 5个足球，3个篮球——共244元， ① 2个足球，3个篮球——共139元． ② 比较对应排列的条件，就能清楚地看出， ①与②中的篮球数量相同，所以①比②所付的钱多105元， 是由于足球数多出3个，也就是3个足球共需105元， 这样就可以求出每个足球多少元，并求出每个篮球多少元。 解： 足球价格为(244 -139)÷(5-2)=105÷3=35(元)， 篮球价格为 (139 - 35×2)÷3=69÷3=23（元）． 答：每个足球35元，每个篮球23元． 想一想如果①式条件改为“买5个足球和4个篮球共需付267元”，②式条件不变，这题又该如何解答？ 分析： 排列条件： 5个足球，4个篮球——共267元， ① 2个足球，3个篮球——共139元， ② 如果两次购买的足球数或篮球数相同问题就好解决了．那么，在保证基本数量关系不变的情况下，怎样使足球数或篮球数转化成相同呢？可以采用把每组足球数、篮球数、钱数都同时扩大相同倍数的方法． 解法一：把①式中的足球数、篮球数、钱数都扩大2倍；把②式中的足球数、篮球数、钱数都扩大5倍， 5×2个足球，4×2个篮球——共267×2元， 2×5个足球，3×5个篮球——共139×5元， 即： 10个足球，8个篮球——共534元， 10个足球，15个篮球——共695元． 这样，足球数已转化为相同的了．于是，我们可解得篮球价格，进而求出足球价格， 篮球价格为：(139×5- 267×2)÷(3×5-4×2)=23(元)， 足球价格为：(139 - 23×3)÷2- 70÷2—35(元). 解法二 能不能使篮球数相同呢？请同学们按照上述方法自己完成解答过程． 解法三 观察①和②，发现此题两次的足球、篮球的总个数都是7个，可以先求出7个足球和7个篮球的总钱数，再求出1个足球和1个篮球共需钱数，最后分别求出它们的价格． 由于 (267 +139)÷7—406÷7=58(元)， 重新排列条件： 2个足球，2个篮球——共58×2=116（元）， 2个足球，3个篮球——共139元， 篮球价格为 139 - 58×2=23(元)， 足球价格为 58 – 23=35(元)． 答:每个足球35元，每个篮球23元． 例3、张云买了 4本练习本和2支钢笔，共用去12元，李华买了同样的4本练习本和3支钢笔，一共用去17元，钢笔和练习本单价各是多少元？ 【解析】可由条件中找出对应的数。 张云：4本练习本＋2支钢笔=12元。 李华：4本练习本＋3支钢笔=17元。 将对应的量及变化情况进行比较可发现， 李华比张云多用去5元，是因为李华比张云多买了1支钢笔， 由此可得钢笔为每支5元。 再代入上式可以求出练习本的单价。 例4、美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔，付款44.4元；第二天买了同样的5盒彩笔和3支毛笔，付款79.6元，求每盒彩笔和每支钢笔各多少元？ 【解析】由条件找出对应的关系。 3盒彩笔＋1支毛笔=44.4元 5盒彩笔＋3支毛笔=79.6元 但是在这两种买法中，彩笔的数量与毛笔的数量均为不相同， 我们要设法将其中一个量转化为相同的。 将第一个式子中的每个数据扩大3倍为： 9盒彩笔+3支毛笔=133.2元。 5盒彩笔+3支毛笔=79.6元。这样就回到了例1的思路，得解。 例5、 用一根绳子测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米，问绳子长多少米？井深多少米？ 【解析】两折时多5米，总长多5×2=10米； 三折时少4米，总长少4×3=12米。 三折与两折的差也就是井的深度。 两折时绳长＝2个井深＋多5×2 三折时绳长＝3个井深－少4×3 比较两组得到：1个井深＝（10+12）＝22米。 例6、王航准备购买练习本、铅笔、橡皮三种学习用品。如果购买铅笔3支、练习本7本、橡皮1个共用6.90元；如果购买铅笔4支、练习本10本、橡皮1个共用9.50元。那么购买铅笔1支、练习本1本、橡皮1个共用多少元？ 【解析】这里只需求出铅笔1支、练习本1本、橡皮1个共用的钱， 所以可以设法根据对应关系，使两个等式中三种学习用品数量的差都是1。 将3支铅笔＋7本练习本＋1个橡皮＝6.90元”中每个数据扩大3倍； 将4支铅笔＋10本练习本＋1个橡皮＝9.50元”中每个数据扩大2倍。 可得： 9支铅笔＋21本练习本＋3个橡皮＝20.7元 8支铅笔＋20本练习本＋2个橡皮＝19元 对应的数据相减，就可以求出结果。 例7、学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各多少元？ 【解析】我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 3个足球＋4个排球=190元 （1） 6个足球＋2个排球=230元 （2） 我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减， 都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。 再观察我们可以发现：如果把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元， 然后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了6个，也就多了380－230=150元， 也就是6个排球是150元，一个排球为150÷6=25元，那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元。 例8、商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，黄气球和红气球共29只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？ 【解析】根据题意，我们可以列出下列关系式： 红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1） 蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2） 黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3） 我们可将（1）＋（2）＋（3），即21＋28＋29=78只，这里包含有2倍红气球的个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个数， 由此，可得出三种气球的总只数：78÷2=39只。 然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出黄气球的只数：39－21=18只； 同理可求出红气球的个数是39×28=11只，蓝气球的个数是39－29=19只。 例9、 三年级三个班种了一片小树林，其中72棵不是一班种的，75棵不是二班种的，73棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？ 【解析】72棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树72棵； 75棵不是二班种的，说明一班和三班共种75棵； 73棵不是三班种的”，说明一班和二班共种73棵。 这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（72＋75＋73）÷2=110棵。 用110－72=38棵就是一班种的棵数，110－75=35棵就是二班种的棵数，110－73=37棵就是三班种的棵数。 例10、已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？ 【解析】根据题意列出等式： 13李=2苹＋1桃 （1） 4李＋1苹=1桃 （2） 把（2）式代入（1）式得：13李=2苹＋4李＋1苹 即9李=3苹，即3李=1苹 （3） 把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃 即：7李=1桃 P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 ➢ 课堂狙击 1、学校图书馆买来一批新书，每班借5本，则多10本；每班借7本，则少20本．一共买来多少本新书？ 【解析】为了清楚地看懂题意，我们把题目中给出的两组对应关系排列在一起： 每班借5本——多10本； 每班借7本——少20本． 两种借法的总数相差20+ 10=30（本），且两种借法每班相差7-5 = 2（本）， 所以每班相差7-5 =2（本）与20 +10=30(本)相对应． 解班级数为： (20 +10)÷(7-5)=15（个）， 买来的新书有： 5×15 +10=85(本)， 或 7×15 – 20=85（本）． 答一共买来85本新书。 2、为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子3折时，绳子比井深还长出6米，当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米，你能算出井深与绳子的长度吗？ 【解析】在题目的条件中，“将绳子3折时，绳子比井深还长出6米”， 实际上是指绳子的长度比井深的3倍还多6×3—18(米)． 而“当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米”， 指的是绳子的长度比井深的4倍还多2×4=8（米）． 排列出题设中给出的条件： 绳子3折——井深的3倍——多出6×3=18(米)； 绳子4折——井深的4倍——多出2×4=8（米）． 这样，就可以求出井深与绳长． 解：井深：(6×3 2×4)÷(4 -3)=10(米)； 绳长：10×3+6×3=48（米）． 3、吴老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟走80米，他将迟到5分钟；如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校，吴老师出发时离上班时间还有多少分钟？ 【解析】题目中给出了两个对应的数量关系： 每分钟行80米——迟到5分钟； 每分钟行200米——提前7分钟， 表示从出发到上班这段时间内有以下对应关泵： 每分钟行80米 ——比家到学校的路程少走了80×5 - 400（米）； 每分钟行200米——比家到学校的路程多走了 200×7=1400(米)． 再根据对应关系求出问题答案． 解: 从出发到上班这段时间里，骑自行车比步行多行的路程为 80×5 +200×7=1800(米)， 出发时离上班的时间还相差 1800÷(200 - 80)=15（分）． 答：吴老师出发时离上班时间有15分钟． 说明排列条件显示出对应关系，有利于增强我们分析思考的感性认识，在排列条件时应注意转化题目中某些条件，使排出的条件能反映出对应数量的变化，以便寻找解题的突破口。 4、有白、红、黑三种颜色的球，白球和红球共15个，红球和球共18个，黑球和白球共9个．问：三种球各多少个？ 【解析】将所给条件排列出来： 白球数+红球数= 15个， ① 红球数十黑球数=18个， ② 黑球数十白球数=9个． ③ 观察排列出的条件，若将①+②+③，可得出“白球数十红球数十黑球数”的两倍量．从而求出“白球数十红球数十黑球数”的个数，再对照①②③可分别求出白、红、黑球的个数． 解： “白球数+红球数十黑球数”为 (15 +18+9)÷2- 42÷2=21（个）， 黑球数为： 21-15 =6（个）， 白球数为： 21-18 =3（个）， 红球数为： 21-9 =12（个）． 答：白球有3个，红球有12个，黑球有6个． 5、王强的爸爸用200元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，只记得外衣的价钱比帽子贵90元，外衣加帽子的价钱比鞋贵120元，你能帮王强爸爸算出每一件东西的价钱吗？ 分析把条件按数量关系排列出来： 外衣价十帽价十鞋价=200元，① 外衣价一帽价=90元， ② 外衣价十帽价一鞋价=120元．③ 观察排列出的条件，可以从①和③看出，2倍的鞋价是200—120 =80(元)， 得出鞋价是40元．①式变成：外衣价十帽价= 160元， 再与②式对照，不难发现，此题转换成简单的和差问题了． 解：鞋的价格为(200 -120)÷2- 80÷2=40(元), “ 外衣价十帽价”为 200 – 40=160(元)， 外衣的价格为 (160+ 90)÷2—250÷2=125(元), 帽的价格为 160—125=35(元)． 答：鞋价是40元，帽价是35元，外衣价是125元． ➢ 课后反击 1、商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，黄气球和蓝气球共28只，红气球和黄气球共29只，商店里有红气球、蓝气球、黄气球各多少只？ 【解析】三种颜色气球的总数： （21＋28＋29）÷2 ＝78÷2 ＝39（只） 黄色气球：39－21＝18（只） 红色气球：39－28＝11（只） 蓝色气球：39－29＝10（只） 答：红气球有11只，蓝气球有10只，黄气球有18只。 2、小明和小红共12岁，小明和小丽共17岁，小丽和小红共13岁，三人各多少岁？ 【解析】小明和小红共12岁,小丽和小明共13岁 小丽比小红大：13-12=1岁 所以小丽为：(17+1)÷2=9岁 小红为：9-1=8岁 小明为：12-8=4岁 3、公园开菊花展。白菊花和黄菊花共152朵，红菊花和黄菊花共128朵，白菊花和红菊花共168朵，三种菊花各多少朵？ 【解析】一共 (152+128+168)÷2=224盆 红菊花224-152=72盆 白菊花168-12=96盆 黄菊花224-168=56盆 4、百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋，54双不是运动鞋，51双不是布鞋，三种鞋各运来多少双？ 【解析】(37+54+51)÷2=142÷2=71(双) 71−37=34(双) 71−54=17(双) 71−51=20(双) 答：皮鞋有34双，运动鞋有17双，布鞋有20双。 5、一个班同学做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数学、英语作业中的一种。有23人没有做完数学作业，有19人没有做完语文作业，有16人没有做完英语作业，做完三种作业的各多少人？ 【解析】全班同学都只做完了语文、英语作业中的一种得，而且有19人没有完成语文作业， 所以完成英语作业的有19人，有16人没有做完英语作业， 所以完成语文作业的有16人， 所以总共有：16+19=35（人）， 所以完成数学作业的有35-23=12（人） (Summary-Embedded)——归纳总结 名师点拨 在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。 学霸经验 ➢ 本节课我学到了 ➢ 我需要努力的地方是