数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分） 1．（3分）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（ ） 60° 120° A ． B． 60°或120° C． 30°或150° D． 考正弦定理． 点： 专计算题． 题： 分由正弦定理可得 ，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小． 析： 解解：由正弦定理可得 ，∴，∴sinB=． 答： 又 0＜B＜π，∴B= 或， 故选B． 点本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错评： 点． 2．（3分）数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1•a2•a3•…•an=n，则a3+a5等于（ ） A ． B． C． D． 考数列的概念及简单表示法． 点： 专计算题． 题： 22分由n≥2，n∈N时a1•a2•a3•…•an=n得当n≥3时，a1•a2•a3••an﹣1=（n﹣1）．然后两式相除an=（析： 22），即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=2． 解解：当n≥2时，a1•a2•a3••an=n． 答： 当n≥3时，a1•a2•a3••an﹣1=（n﹣1）2． 两式相除an=（∴a3=，a5=）， ．∴a3+a5=． 2故选A 点本题考查了数列的概念及简单表示法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生分析问题评： 和解决问题的能力．是基础题． 3．（3分）已知等比数列{an}的公比为q（q为实数），前n项和为Sn，且S3、S9、S6成等差数列，则q等于（ ）
3 A ． 1 B． ﹣ C． ﹣1或 D． 1或﹣ 考等比数列的性质． 点： 专计算题． 题： 分根据等比数列的求和分别表示出S3、S9、S6代入2S9=S6+S3，即可得到答案． 析： 解解：依题意可知2S9=S6+S3， 答： 即263=+ 整理得2q﹣q﹣1=0，解q3=1或﹣， 当q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排除． 故选B 本题主要考查了等比数列的性质．属基础题． 点评： 4．（3分）（2019•湖北模拟）设等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，则下列结论中正确的是（ ） A ． B． Sn=nan﹣3n（n﹣1） Sn=nan+3n（n﹣1） C． Sn=nan﹣n（n﹣1） D． Sn=nan+n（n﹣1） 考等差数列的前n项和． 点： 分根据选择项知：将an当作已知项，所以将数列倒过来解得． 析： 解解：可理解为首项是an，公差为﹣2的等差数{an}， 答： 故选C 点做选择题时，不要忽视选择支，是解题的重要信息之一，同时，有些简便方法也由此产生． 评： 5．（3分）（2009•山东）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值
是最大值为12，则 A ． 的最小值为（ ） B． C． 4 D． 考基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域． 点： 专压轴题． 题： 分已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答． 析： 解解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 答： 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0） 过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时， 目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而故选A． =， 点本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的评： 平面区域，并且能够求得目标函数的最值． 6．（3分）（2019•张掖模拟）设实数x，y满足 ，则的取值范围是（ ）
A ． B． C． D． 考简单线性规划． 点： 专数形结合． 题： 分析： 先根据约束条件画出可行域，设 ，再利用z的几何意义求最值，表示的是区域解答： 内的点与点O连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可． 解：作出可行域如图阴影部分所示： 目标函数 ═≥2 当且仅当 =1时，z最小，最小值为：2． 又其中 可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率． 其最大值为：2，最小值为：， 因此 的最大值为 ， 第 3 页
则目标函数 则故选C． 的取值范围是 点巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线评： 性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 7．（3分）（2019•上饶模拟）已知数列：
项的规律，这个数列的第2019项a2019满足（ ） A ． B． C． 1≤a2019≤10 考数列递推式． 点： 专规律型． 题： 分把数列看成 析： ， ， ， 以此类推，第N大项为 … 由此能够找到这个数列的第2019项a2019满足的条件． 解：数列可看成 ， ， ， 以此类推，第N大项为 ，依它的前10
D． a2019＞10 解答： 等 此时有1+2+3+4+…+N=当N=62时，共有1953项 当N=63时，共有2019项 故a2019=， ， 点评： 故选B． 本题考查数列的递推式，解题时要善于合理地分组，注意总结规律，培养观察总结能力． 28．（3分）设[x]表示不超过x的最大整数，则关于x的不等式[x]﹣3[x]﹣10≤0的解集是（ ） A ． [﹣2，5] B． [﹣2，6） C． （﹣3，6） D． [﹣1，6） 考一元二次不等式的解法． 点： 专计算题；新定义． 题： 分先求出关于x的不等式x2﹣3x﹣10≤0的解集是{x|﹣2≤x≤5}，再根据题意[x]表示不超过x的最大整数，析： 可得答案． 解解：由题意可得：关于x的不等式x2﹣3x﹣10≤0的解集是{x|﹣2≤x≤5}， 答： 又因为[x]表示不超过x的最大整数， 2所以关于x的不等式[x]﹣3[x]﹣10≤0的解集是{x|﹣2≤x＜6}． 故选B． 点解决此类问题的关键是读懂新定义并且正确解出一元二次函数不等式的解集． 评： 9．（3分）在数列{an}中，若an﹣an﹣1=p（n≥2，n∈N，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
2
①若{an}是等方差数列，则{an}是等差数列；
n
②{（﹣1）}是等方差数列；
*
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N，k为常数）也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题序号为（ ） ①②③ ①②④ ①②③④ ②③④ A ． B． C． D． 考数列的应用． 点： 专新定义． 题： 分根据等方差数列的定义①{an}是等方差数列，则an2﹣an﹣12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可﹣析： 证；②验证[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n1]2是一个常数；③验证akn+12﹣akn2是一个常数；④根据等方差数列和等差数列的定义，证明公差是零即可． 解解：①∵{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12=p（p为常数）得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数答： 列； 2∴{an}是等差数列； n22n2n﹣12②数列{（﹣1）}中，an﹣an﹣1=[（﹣1）]﹣[（﹣1）]=0， n∴{（﹣1）}是等方差数列；故②正确； ③数列{an}中的项列举出来是，a1，a2，…，ak，…，a2k，… 22*第 5 页
数列{akn}中的项列举出来是，ak，a2k，…，a3k，…， 22222222∵（ak+1﹣ak）=（ak+2﹣ak+1）=（ak+3﹣ak+2）=…=（a2k﹣a2k﹣1）=p 22222222∴（ak+1﹣ak）+（ak+2﹣ak+1）+（ak+3﹣ak+2）+…+（a2k﹣a2k﹣1）=kp 22∴（akn+1﹣akn）=kp *∴{akn}（k∈N，k为常数）是等方差数列；故③正确； ④∵{an}既是等差数列，∴an﹣an﹣1=d， 22∵{an}既是等方差数列，，∴an﹣an﹣1=p ∴（an+an﹣1）d=p， 1°当d=0时，数列{an}是常数列， 2°当d≠0时，an=，数列{an}是常数列， 点评： 综上数列{an}是常数列，故④正确， 故选C． 本题考查等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，属基础题． 10．（3分）数列{an}满足a1=1，立，则正整数t的最小值为（ ） A ． 10 9 B． =，记Sn=
，若S2n+1﹣Sn≤对任意的n（n∈N）恒成
*
8 C． 7 D． 考数列与不等式的综合． 点： 专综合题；压轴题． 题： 2分先求出 数列{an}的通项公式，令 g（n）=S2n+1﹣Sn，化简g（n）﹣g（n+1）的解析式，判断符号，析： 得出g（n）为减数列的结论，从而得到 ，可求正整数t的最小值． 解解：∵答： =， ∴， ∴∵a1=1， ∴， 是首项为1，公差为4的等差数列， ∴=4n﹣3， ∴， ∴Sn==+++…+ 令 g（n）=S2n+1﹣Sn， 而g（n）﹣g（n+1） =为减数列， 所以：， ， 而t为正整数，所以，tmin=10． 故选A． 点本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思评： 维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错． 二、填空题（每题4分，满分20分） 11．（4分）在△ABC中，若
，则A=
．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用了余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数． 解答： 解：∵b2+c2﹣a2=﹣bc， ∴cosA===﹣， ∵A为三角形的内角， ∴A=． 故答案为：点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 12．（4分）不等式
的解集是 ．
考点： 其他不等式的解法． 专题： 转化思想；不等式的解法及应用． 分析： 先将分式不等式转化成一元二次不等式进行求解，注意分母不0． 解答： 解：∵ ∴解得∴＜x≤， ． ， 所以不等式的解集为：第 7 页
故答案为：． 点评： 本题主要考查了分式不等式的解法，同时考查了等价转化的数学思想，属于基础题． 13．（4分）在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7= ﹣2 ． 考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题． 分析： 根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案． 解答： 解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根， ∴a1a10=﹣2 ∵数列{an}为等比数列 ∴a4a7=a1a10=﹣2 故答案为：﹣2 点评： 本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比中项性质的灵活运用． 14．（4分）（2019•济南二模）等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a1＞1，a2009•a2019﹣1＞0，（a2009﹣1）（a2019﹣1）＜0，给出下列结论①0＜q＜1；②a2009•a2019＜1；③T2019是Tn中最大的；④使得Tn＞1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为 ①②④ ．（将你认为正确的全部填上） 考点： 等比数列的性质． 专题： 综合题． 分析： 根据（a2009﹣1）（a2019﹣1）＜0判断出a2009＜1或a2019＜1，先看a2009＜1，则可知a2019＞1假设a2009＜0，那么q＜0，则可知a2019应与a1异号，推断出a2019＜0与a2019＞1矛盾，假设不成立，推20192019断出q＞0，根据a2009=a1q应推断出a2009=a1q应该大于1假设不成立，进而综合可推断0＜q＜1判断出①正确．由结论（1）可知数列从2019项开始小于1，进而可推断出T2009是Tn中最大2的③不正确，根据等比中项的性质可知a2009•a2019=a2019＜1推断出②正确．根据等比中项的性质20092可知当Tn=（a）时，Tn＞1成立的最大的自然数，求的n推断出④正确． 解答： 解：∵（a2009﹣1）（a2019﹣1）＜0 ∴a2009＜1或a2019＜1 如果a2009＜1，那么a2019＞1 如果a2009＜0，那么q＜0 2009又a2019=a1q，所以a2019应与a1异号，即a2019＜0 和前面a2019＞1的假设矛盾了 ∴q＞0 又或者a2009＜1，a2019＞1， 2019那么a2009=a1q应该大于1 又矛盾了．因此q＜1 综上所述 0＜q＜1，故①正确 a2009•a2019=a2019＜1故②正确．， 由结论（1）可知数列从2019项开始小于1 ∴T2009为最大项③不正确． 由结论1可知数列由2019项开始小于1， Tn=a1a2a3…an ∵数列从第2019项开始小于1， 20092∴当Tn=（a）时，Tn＞1成立的最大的自然数 求得n=4018，故④正确． 故答案为：①②④ 点评： 本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 2215．（4分）设a是整数，0≤b≤1，若a=2b（a+b），则b值为 0，考点： 函数的值． 专题： 计算题；压轴题；分类讨论． 22222分析： 由已知中a=2b（a+b），易得3a=a+4ab+4b=（a+2b），即±易求出a的值，进而求出b值． 2解答： 解：∵a=2b（a+b）， 22∴2a=4ab+4b， 2222∴3a=a+4ab+4b=（a+2b）， ∴±a=a+2b 即b=或b= 2
， ．
a=a+2b，结合a是整数，0≤b≤1，又∵0≤b≤1，a是整数， 当0≤≤1时，0≤a≤ ∴a=0，此时b=0，满足条件； a=1，此时b=a=2，此时b=当0≤，满足条件； ，满足条件； ≤1时，1﹣≤a≤0 此时a=0，此时b=0，满足条件； 综上，满足条件的b值为：0，故答案为：0，222， ， ，2点评： 本题考查的知识点是函数的值，实数的运算性质，分类讨论思想的应用，其中根据已知条件求出3a=a+4ab+4b=（a+2b），进而得到±a=a+2b是解答本题的关键． 三、解答题（共5小题，满分50分）
22
16．（10分）已知（m+4m﹣5）x﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的范围． 考点： 二次函数的性质． 专题： 计算题． 分析： 此题要分两种情况：①当m2+4m﹣5=0时，解出m的值，进行验证；②当m2+4m﹣5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m的范围． 解答： 解：①当m2+4m﹣5=0时，得m=1或m=﹣5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意 当m=﹣5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去； ∴m=1； 2②m+4m﹣5≠0时即m≠1，且m≠﹣5， 22∵（m+4m﹣5）x﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立 ∴有 解得1＜m＜19…（5分） 综上得 1≤m＜19…（2分） 点评： 此题主要考查了二次函数的基本性质，以及分类讨论的思想，此题易错点为讨论m2+4m﹣5与0的第 9 页
关系，如果等于0，就不是二次函数了，这一点很重要； 17．（10分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=（1）求A+B的值；
（2）若a﹣b=，求a、b、c的值． 考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；正弦定理． 专题： 计算题；综合题． 分析： （1）△ABC中，A、B为锐角，sinA=，sinB=，可求得cosA，cosB，利用两角和与差的余弦公式可求A+B的值； （2）由a﹣b=，利用正弦定理求得a，b的值，再由C=，利用余弦定理求c即可． ，
解答： 解：（1）∵△ABC中，A、B为锐角， ∴A+B∈（0，π）， 又sinA=∴cosA=，sinB=，cosB=， ， •﹣•=， ∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=∴A+B=． ，sinB==， 得：=（2）∵sinA=∴由正弦定理， ∴a=b，又a﹣b=∴b=1，a=． 又C=π﹣（A+B）=π﹣222， =， ×（﹣）=5． ∴c=a+b﹣2abcosC=2+1﹣2×1×∴c=． 综上所述，a=，b=1，c=． 点评： 本题考查正弦定理与余弦定理，考查同角三角函数间的基本关系与两角和的余弦公式及应用，由正弦定理求得a，b的值是关键，属于中档题． 18．（10分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2019年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣
（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年
的产量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）
（1）试确定k的值，并将2019年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；
（2）该企业2019年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润． 考点： 根据实际问题选择函数类型；基本不等式． 专题： 应用题． 分析： （1）首先根据题意令m=0代入x=3﹣ 求出常量k，这样就得出了x与m的关系式，然后根据2019年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2019的件数就可以得出2019年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件产品的销售价格，然后用每件的销售单价×销售数量得到总销售额．最后利用利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用得出利润y的关系式． （2）根据基本不等式，求出y的最大值时m的取值即可． 解答： 解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1（万件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣ ∴每件产品的销售价格为1.5×∴2019年的利润y=x•（1.5×（元）， ）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m﹣=29﹣[（m+1）+]≤（m≥0）； =21 （2）∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣当且仅当m+1=，即m=3时，ymax=21． ∴该企业2019年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元． 点评： 本题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力，以及求函数最值的问题，考查基本不等式的运用，属于中档题． 19．（10分）已知数列{an}满足
（1）求数列{an}的通项公式；
n
（2）设bn=n•2an，求数列{bn}的前n项和Sn； （3）设cn=
，记Tn=
，证明：Tn＜1．
，且a1=0．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）利用，可得数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式； （2）利用错位相减法，即可求数列{bn}的前n项和Sn； （3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论． 解答： （1）解：∵a1=0，∴ ∵ ∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列 第 11 页
∴=n，∴an=n； n（2）解：bn=n•2an=（n﹣1）•2， 23n∴Sn=1•2+2•2+…+（n﹣1）•2， 34nn+1∴2Sn=1•2+2•2+…+（n﹣2）•2+（n﹣1）•2， 23nn+1两式相减可得﹣Sn=1•2+1•2+…+1•2﹣（n﹣1）•2， n+1∴Sn=4+（n﹣2）•2； （3）证明：cn==， ∴Tn==+…+=＜1， ∴Tn＜1． 点评： 本题考查等差数列的判定，考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．（10分）（2019•浙江）已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x﹣（3k+2）x+3k•2=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）． （I）求a1，a3，a5，a7；
（II）求数列{an}的前2n项和S2n； （Ⅲ）记
，
2kk，求证：
．
考数列的求和；不等式的证明． 点： 专压轴题；创新题型． 题： 分（1）用解方程或根与系数的关系表示a2k﹣1，a2k，k赋值即可． 析（2）由S2n=（a1+a2）+…+（a2n﹣1+a2n）可分组求和． ： （3）Tn复杂，常用放缩法，但较难． 2kkk解解：（I）解：方程x﹣（3k+2）x+3k•2=0的两个根为x1=3k，x2=2， 答当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2； ： 当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4； 当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时； 当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12． （II）解：S2n=a1+a2++a2n=（3+6++3n）+（2+2++2）=（III）证明：， 2n． 所以，．当n≥3时，=， ，同时，=综上，当n∈N*时，． ． 点本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．本题属难题，一般要求做（1）， 评（2）即可，让学生掌握常见方法，对（3）不做要求． ： 第 13 页
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