限时训练09 中考中级练(四)
限时：30分钟 满分：26分
1．(4分)若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax＋ax－2a总不经过点P(x0－3，－16)，则符合条件的点P( ) A．有且只有1个 B．有且只有2个 C．有且只有3个 D．有无数个
2．(4分)如图X9－1，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，AC＝2，E是BC边上一点，将△AEC沿AE翻折，点
2
C落在点D处，若DE∥AB，则EC＝ ．
图X9－1
3．(8分)如图X9－2，四边形ACDE是证明勾股定理用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝
c，这时我们把关于x的形如ax2＋
2
cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
题：若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax＋
图X9－2
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4．(12分)如图X9－3，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P为AC中点，E为AB边上一动点，
F为BC边上一动点，且满足条件∠EPF＝45°，记四边形PEBF的面积为S1．
(1)求证：∠APE＝∠CFP．
(2)记△CPF的面积为S2，CF＝x，y＝S1·S2．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求y的最大值;
②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形，若它们又关于点P成中心对称，求y的值．
图X9－3
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参考答案
1．B [解析] 由题意得抛物线y＝a(x＋2)(x－1)，总不经过点P(x0－3，16)，将点P坐标代入抛物线的解
析式，得a(x0－1)(x0－4)≠(x0＋4)(x0－4)恒成立．①当x0＝1时，得0≠－15，恒成立，将x0＝1代入P点坐标可得
P1(－2，－15);②x0＝4时，左边＝右边＝0，不符合题意;③当x0＝－4时，得40a≠0，因为a≠0，所以不等式恒成立，
将x0＝－4代入P点坐标可得P2(－7，0);④当x0≠1且x0≠4且x0≠－4时，a≠存在两个点P1(－2，－15)，P2(－7，0)．
2．4－2
＝1＋不恒成立．综上所述，
[解析] 如图所示，由折叠可得∠D＝∠C＝60°，AD＝AC＝2，
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∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠D＝60°， 又∵∠B＝30°，
∴∠AFB＝90°，即AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°－60°＝30°，
∴CF＝AC＝×2＝1，AF＝∴DF＝2
，
．
设CE＝DE＝x，则EF＝1－x，
∵Rt△DEF中，EF＋DF＝DE，∴(1－x)＋(2解得x＝4－2故答案为4－2
，∴EC＝4－2
2
2
2
2
)＝x，
22
．
．
c＋b＝0，即a＋b＝
c＝6，
c．
3．解：当x＝－1时，有a∵2a＋2b＋∴3
2
c＝6，即2(a＋b)＋
，
c＝6，∴c＝
2
2
∴a＋b＝c＝2，a＋b＝2， ∵(a＋b)＝a＋b＋2ab，
2
2
2
∴ab＝1，∴S△ABC＝ab＝．
4．解：(1)证明：∵∠EPF＝45°，∴∠APE＋∠FPC＝180°－45°＝135°． ∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠PCF＝45°，
∴∠CFP＋∠FPC＝180°－45°＝135°，∴∠APE＋∠FPC＝∠CFP＋∠FPC，∴∠APE＝∠CFP． (2)①∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC＝＝4．
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∵P为AC的中点，∴AP＝CP＝2．
∵∠APE＝∠CFP，∠FCP＝∠PAE＝45°，
∴△APE∽△CFP，则，
∴AE＝． 如图①，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，则PH，PG是△ABC的中位线，
∴PH＝BC＝2，PG＝AB＝2，
∴S△APE＝PH·AE＝×2×，S2＝S△PCF＝CF·PG＝×x×2＝x，
∴S1＝S△ABC－S△APE－S△PCF＝×4×4x＝8x，
∴y＝S1·S2＝8xx＝－x2＋8x－8＝－(x－4)2＋8．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF＝45°， ∴2≤x≤4，∴当x＝4时，y取得最大值，y最大值＝8，
∴y关于x的函数解析式为y＝－x＋8x－8(2≤x≤4)，y的最大值为8． ②如图②所示，图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称， 则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
2
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此时EB＝BF，即AE＝FC，
∴＝x，解得x＝2将x＝2
，
2
代入y＝－x＋8x－8，得y＝1616．
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