儿童智力发展第三阶段：具体运算阶段(7~11岁)
以儿童出现了内化了的、可逆的、有守恒前提的、有逻辑结构的动作为标志，儿童智力进入运算阶段，首先是具体运算阶段。
说运算是具体的运算意指儿童的思维运算必须有具体的事物支持，有些问题在具体事物帮助下可以顺利获得解决。
皮亚杰举了这样的例子：爱迪丝的头发比苏珊淡些，爱迪丝的头发比莉莎黑些，问儿童：\"三个中谁的头发最黑\"。这个问题如是以语言的形式出现，则具体运算阶段儿童难以正确回答。但如果拿来三个头发黑白程度不同的布娃，分别命名为爱迪丝、苏珊和莉莎，按题目的顺序两两拿出来给儿童看，儿童看过之年，提问者再将布娃娃收藏起来，再让儿童说谁的头发最黑，他们会毫无困难地指出苏珊的头发最黑。
具体运算阶段儿童智慧发展的最重要表现是获得了守恒性和可逆性的概念。守恒性包括有质量守恒、重量守性、对应量守恒、面积守恒、体积守恒、长度守恒等等。具体运算阶段儿童并不是同时获得这些守恒的，而是随着年龄的增长，先是在7-8岁获得质量守恒概念，之后是重量守恒(9-10岁)、体积守恒(11-12岁)。皮亚杰确定质量守恒概念达到时作为儿童具体运算阶段的开始，而将体积守恒达到时作为具体运算阶段的终结或下一个运算阶段(形式运算阶段)的开始。这种守恒概念获得的顺序在许多国家对儿童进行的反复实验中都得到了验证，几乎完全没有例外。
下面具体介绍几种典型的守恒实验：
1、液体质量守恒把液体从一个高而窄的杯倒向矮而宽的杯中，或从大杯倒向两小杯中。问儿童大杯和小杯中的液体是否一样多?或高窄杯和矮宽杯中的液体是否一样多?用以观察
儿童理解长5高=宽5矮这一相逆补充关系的水平。
2、对应量守恒如上图所示，杯子与鸡蛋是对应的关系，八个杯子旁放着8个鸡蛋。儿童知道杯子和鸡蛋的数目相等。但破坏这种知觉对应而把杯子或蛋堆在一起时，再问儿童杯子和鸡蛋是否一样多?或是鸡蛋多杯子少、杯子多鸡蛋少?
3、重量守恒先把两个大小、形状、重量相同的泥球给儿童看，然后其中一个作成香肠状，问儿童;大小、重量是否相同?
4、长度守恒两根等长的棍子，先两头并齐放置，让儿童看过之后，改成平行但不并齐放置问儿童两根棍子是否等长?
5、面积守恒两个等面积的纸板表草地，有一只牛在上面吃草。草地上盖有牛舍14间。在一个纸板上牛舍是建在一起的，而在另一纸板上是散居的。问儿童，分别在两块草地的两头牛是否可以吃到一样多的草
6、积守恒把一张纸片假定为湖，上面的不同大小的方形是小岛，要求儿童在这些不同面积的小岛中建筑体积相同的房子。研究儿童是否想到要以高度的增加来补偿面积的减少，从而达到体积的守恒(房子一样多)。
前面所介绍的前运算阶段的儿童，虽然动作已经有了稳定的内化，但由于思维缺乏守恒性和可逆性(守恒性与可逆性是几乎同时形成的)，故不能实现了思维的连续二维集中并得到了可逆性的支持，知觉图象不再是静态的直觉调节，而是从属于运算的转换之中，智慧已有了质的飞跃，认识在获得可逆性的同时获得了守恒性。
因而儿童在具体运算阶段的不同年龄可对上述守恒问题做出正确回答。以上从外在知
识角度分析了具体运算阶段儿童的智力进步，即以质量、长度、面积、重量、体积守恒的出现为标志，儿童加深了对物世界的认识。
具体运算阶段儿童所获得的智慧成就有以下几个方面：
1、在可逆性(互反可逆性)形成的基础上，借助传递性，够按照事物的某种性质如长短、大小、出现的时间先后进行顺序排列。例如给孩子一组棍子，长度(从长到短为A、B、C、D……)相差不大。儿童会用系统的方法，先挑出其中最长的，然后依次挑出剩余棍子中最长的，逐步将棍子正确地顺序排列(这种顺序排列是一种运算能力)，即A>B>C>D……。当然孩子不会使用代数符号表示他的思维，但其能力实质是这样的。
2、产生了类的认识，获得了分类和包括的智慧动作。分类是按照某种性质来挑选事物，例如他们知道麻雀(用A表示)少于鸟(用B表示)，鸟少于动物(C)，动物少于生物(D)，这即是一种分类包括能力，也是一种运算能力，即A(麻雀)B(鸟) C(动物) D(生物)。
3、把不同类的事物(互补的或非互补的)进行序列的对应。简单的对应形式为一一对应。例如给学生编号，一个学生对应于一个号，一个号也只能对应于一个学生，这便是一一对应。较复杂的对应有二重对应和多重对应。二重对应的例子，如一群人可以按肤色而且按国籍分类，每个人就有双重对应。
4、自我中心观进一步削弱，即去中心的，在感知运动阶段和前运算阶段，儿童是以自我为中心的，他以自己为参照系来看待每件事物，他的心理世界是唯一存在的心理世界，这妨碍了儿童客观地看待外部事物。在具体运算阶段，随着与外部世界的长期相互作用，自我中心逐渐克服。
有研究者曾经做过这样一个实现：一个6岁的孩子(前运算阶段)和一个8岁的孩子(具
体运算阶段)一起靠墙坐在一个有四面墙的房间里，墙的四面分别挂在区别明显的不同图案，(A、B、C、D)(见下图)，同时这些图案被分别完整地拍摄下来制成四张照片(a.b.c.d)。让两个儿童先认真看看四面墙的图案，然后坐好，将四张照片显示在孩子面前，向两个儿童，那一张照片显示的是你所靠坐墙对面的图案?两位孩子都困难地正确地答出(a)。这时继续问孩子;假设你靠坐在那面墙坐，这四张照片中的那一张将显示你所靠坐墙(实际没有靠坐在那面墙、乃假设)对面的图案?6岁的前运算阶段儿童仍然答的是他实际靠坐墙对面的图案片(a),而8岁的具体运算阶段儿童指出了正确的图案照片(c)。为了使6岁的男孩对问题理解无误，研究者让8岁男孩坐到对面去，再问6岁孩子;8岁孩子对面的墙的图案照片是哪一张?6岁孩子仍然选了他自己靠坐墙对面的照片(a)。
概括起来，进入具体运算阶段的儿童获得了较系统的逻辑思维能力，包括思维的可逆性与守恒性;分类、顺序排列及对应能力，数的概念在运算水平上掌握(这使空间和时间的测量活动成为可能);自我中心观削弱等。
一、运算指一种内化了的动作，即能在头脑中进行的思维活动。
二、运算是一种可逆的动作。如1+1=2，它的相反就是2-1=1。
三、运算具有一种守恒性，当一个运算在变换时，体系中总有几个保持不变的特点。
四、系统性。运算格式是一个系统，不能单独进行，要协调成为一个整体。具体运算阶段有两个显著特点：1.获得了守恒性；2.群集结构的形成。
运算阶段和前运算阶段的主要区别： 1.运算阶段依靠概念进行，前运算阶段依靠表象进行。 2.运算阶段有可逆性，前运算阶段没有。 3.运算阶段具有守恒概念，前运算阶段没有。 4.前运算阶段是自我中心的，运算阶段逐渐非中心化。 5.前运算阶段是不灵活的，具
有固定性、刻板性或呆滞性。运算思维具有灵活性。
具体运算阶段和形式运算阶段：
1.具体运算思维还不能离开具体事物的表象，要以具体表象为支柱。
2.具体运算还不是一个完善的整体结构，这种运算还是零散的。
前运算阶段的孩子思维还是比较僵化和自我中心。到了具体运算阶段都会得到发展，泛灵论语言减少，他们意识到物体有生命是因为生物学的原因而不仅仅是因为它们会动。这个阶段的孩子已经迅速获得了认知操作能力，并能运用这些重要的技能思考事情。在液体守恒实验中能够考虑到高度和宽度两个维度了，也能够想象把液体倒入原容器的情形，并能用逻辑推理得出溶液的量是一样的。他们开始理解逻辑关系和数量关系。典型的情形是体育课上能按照老师的要求根据高矮排队了，前运算阶段的孩子这方面表现较差。前运算阶段的孩子还不能掌握传递性的概念，比如问两个阶段的孩子“妈妈比奶奶高，爸爸比妈妈高，那么爸爸和奶奶谁高？”类似的问题，前运算阶段的孩子认为一定要爸爸和奶奶站在一起比较他们才能知道，而具体运算阶段的孩子就能够根据逻辑推理得出爸爸比奶奶高。不过不是所有的孩子发展都一样快，也不是所有的能力发展的程度都一样。皮亚杰认为发展是有序列的，一开始的简单技能，然后逐步巩固、联合和重组。这也许就是为什么许多国家到6-7岁才开始正规教育了。
皮亚杰认为具体运算阶段的孩子思维还是有局限性的，他们只会把推理用到真实的可以想象的事物上。到了形式运算时期孩子就可以假设，比如数学里还是理解x的含义了。皮亚杰认为形式运算阶段的儿童不再局限于思考我看到什么，而是可能是什么。形式运算的标志是假设演绎推理，演绎推理就是给一个假设，然后根据这个假设得出一个什么结论。也可以们可以像科学家一样作出假设然后验证它的正确性，叫做归纳推理。形式运算可以
使人的思考更稳定思维更吩咐，为我们以后各方面的发展奠定基础。不过形式运算让我们有能力质疑一切，对青少年会出现青少年自我中心，就是总是认为别人都在关注自己。不是所有的人都能达到形式运算水平。科学家认为文化背景对形式运算的水平有影响。皮亚杰的相似观点是：对自己感兴趣的或认为重要事我们才会进行推理，我们获得的教育也会帮助我们在形式运算水平上的推理。和过去相比现在的青少年要高于二三十年前的青少年。
具体运算阶段儿童所获得的智慧成就有以下几个方面：
1、在可逆性（互反可逆性）形成的基础上，借助传递性，够按照事物的某种性质如长短、大小、出现的时间先后进行顺序排列。例如给孩子一组棍子，长度（从长到短为A、B、C、D……）相差不大。儿童会用系统的方法，先挑出其中最长的，然后依次挑出剩余棍子中最长的，逐步将棍子正确地顺序排列（这种顺序排列是一种运算能力），即A>B>C>D……。当然孩子不会使用代数符号表示他的思维，但其能力实质是这样的。
2、产生了类的认识，获得了分类和包括的智慧动作。分类是按照某种性质来挑选事物，例如他们知道麻雀（用A表示）少于鸟（用B表示），鸟少于动物（C），动物少于生物（D），这即是一种分类包括能力，也是一种运算能力，即A（麻雀）B(鸟) C(动物) D（生物）。
3、把不同类的事物（互补的或非互补的）进行序列的对应。简单的对应形式为一一对应。例如给学生编号，一个学生对应于一个号，一个号也只能对应于一个学生，这便是一一对应。较复杂的对应有二重对应和多重对应。二重对应的例子，如一群人可以按肤色而且按国籍分类，每个人就有双重对应。
4、自我中心观进一步削弱，即去中心的，在感知运动阶段和前运算阶段，儿童是以自我为中心的，他以自己为参照系来看待每件事物，他的心理世界是唯一存在的心理世界，这妨碍了儿童客观地看待外部事物。在具体运算阶段，随着与外部世界的长期相互作用，
自我中心逐渐克服。
概括起来，进入具体运算阶段的儿童获得了较系统的逻辑思维能力，包括思维的可逆性与守恒性；分类、顺序排列及对应能力，数的概念在运算水平上掌握（这使空间和时间的测量活动成为可能）；自我中心观削弱等。
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这个阶段的儿童认知结构中已经具有了抽象概念,因而能够进行逻辑推理.这个阶段的标志是守恒观念的形成.所谓守恒指儿童认识到客体在外形上发生了变化,但其特有的属性不变.这个阶段的儿童的思维主要有如下特征：
（1）多维思维
例如,呈现图2-1所示的几何图形,要求儿童完成下列任务：①正方形的数目；②长方形的数目；③白色图形数目；④阴影图形数目；⑤阴影正方形数目.具体运算阶段儿童能完成这类任务.这类任务要求儿童从多维对事物归类.皮亚杰称这种思维的多维化叫去集中偏向.
（2）思维的可逆性
这是守恒观念出现的关键.例如,对上面所说的倒水例子,具体运算阶段的儿童不仅能够考虑水从大杯倒入小杯,而且还能设想从水从小杯倒回大杯,并恢复原状.这种可逆思维是运算思维的本质特征之一.
（3）去自我中心
这就是说,儿童逐渐学会从别人的观点看问题,意识到别人持有与他不同的观念和解答.他们能接受别人的意见,修正自己的看法.这是儿童与别人顺利交往,实现社会化的重要条件.
（4）反映事物的转化过程
例如,将5只鸡蛋和5只杯子一一对应,排成一线且排得一样宽.问4岁儿童鸡蛋与杯子是一样多,还是不一样多.他们能回答一样多.但假定将鸡蛋排得很宽或堆成一堆,再问他们鸡蛋与杯子何者多.他们会认为排得开的物体多.但6至7岁儿童能知道两者一样多.皮亚杰认为,这时儿童已经能意识到转换的动作,思维不再局限于静止表象,因此能解决这种数目守恒问题.
（5）具体逻辑推理
个体运算阶段儿童虽缺乏抽象逻辑推理能力,但他们能凭借具体形象的支持进行逻辑推理,例如,向7-8岁小孩提出这样的问题：假定A>B,B
在具体运算阶段，有三种思维技能最受关注，它们是：（1）守恒；（2）分类；（3）组合。在儿童中期通过运用这些技能，儿童对物理世界的逻辑性、规则和预见性有了更清晰地认识。他们还应用这些原理去思考其它领域的问题，如友谊、团体游戏、其它有规则的比赛以及自我评价
首先我们要弄清楚什么是“运算”。
我手头这本参考书上正好有一个定义：“运算”一词是皮亚杰理论中的一个特定概念，它有几层含义。
其一，运算是指一种内化了的动作，即在头脑中进行的思维活动。
其二，运算是一种可逆的动作，它既能朝一个方向进行，又能向相反方向运转。比如1+1=2，它的相反方向就是2-1=1。
其三，运算具有一种守恒性，当一个运算在变换时，体系中总有几个保持不变的特点。
其四，是系统性，运算格式与前面两个阶段(感知运动阶段、前运算阶段)中提到的动作格式、象征格式不同，运算格式是一个系统，它不能单独进行，要协调成一个整体，如一个类别和一个系列。 总的概括来说，运算就是一种可逆的、守恒的、系统性的思维活动。
那么具体运算阶段和形式运算阶段又分别有什么特点呢？
具体运算阶段有两个特点：一是获得了守恒性。举个栗子，把同样数量的珠子放入两个形状相同、大小相同的杯子中，将其中一个杯子里的珠子放到更高更细的杯子里去，5、６岁的孩子都能认识到珠子的整体数量不变。第二个特点是群集结构的形成。群集结构实际上是一种分类系统。
形式运算阶段又称命题运算阶段。它最大的特点是儿童思维此时已摆脱具体事物的束缚，把内容和形式区分开来，能根据种种可能的假设进行推理。他们可以想象尚未成为现实的种种可能，相信演绎得出的结论，使认识指向未来。 具体运算阶段和形式运算阶段不论在处理问题的方式上，还是在论证检验假设的方式上都有着本质的区别。具体运算阶段的儿童只能在联系具体事物时才能解决问题，形式运算阶段儿童能对命题进行运算。
唉。。。绕死我了ヽ(｀Д´)ﾉ还是举个栗子来说明到底有啥区别吧：比如，我们问小朋友，小明比小红高，比小刚矮，那么谁最高，谁最矮？如果是大班的孩子，让这三个人站在他
们面前，他们能立即分辨出来，但是只用命题来表达出来，即使10岁的小朋友也觉得很困难啊。
那让我们回到题主的问题上来，对于8、９岁的儿童来说，数学应用题是基于现实中的具体运算阶段还是形式运算阶段？在年龄层的划分上，８、９岁的儿童思维发展还处于具体运算阶段，但我们看到，他们学习的数学应用题很显然是形式运算阶段中才能掌握的对命题进行运算。。。等我问亲戚家小朋友借到二年级的数学课本再来具体举例
这些数学题为难小朋友了。。。但还好现在幼儿园大班数学课就已经有了一个很萌的活动叫做------口述应用题(*˘︶˘*)小朋友们根据学习的十以内的运算自己编写应用题也在一定程度上提高了他们假设推理的能力，
数学应用题对儿童来说是形式运算还是具体运算。
孩子对应用题的理解和解答还受语义认知的局限。很多编题目的人（教科书的题目还是很严谨的）就是拍脑门，抽象程度和逻辑要求过高，也不考虑孩子的接受水平。大家都说不让孩子在幼儿园提前学，可一年级语文和数学又是不匹配的。应用题的文法和普通阅读是不同的，不仅仅是阅读量的问题。
该不该让让孩子学奥数
对于绝大多数孩子来讲，奥数不适合的原因就是奥数是形式运算阶段的内容。但大量处于具体具体运算阶段的孩子却不断在学，这本质上又是让不会走的孩子学会跑步的案例。而且，奥数的内容和教育方式不是让处于具体运算阶段的孩子通过锻炼上升到形式运算阶段。而是让进入形式运算阶段的孩子去尝试能力的极限。
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