河南省南阳一中2015届高三春期第三次模拟考试文科数学试题

数学（文）试题

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的. 1．已知集合Axylg(x3),，Bxx5，则AB

A．x3x5 B．xx5 C．xx3 D．R 2．已知复数z12i，则z= 2(1i) C．11i D．11i

22A．31i B．13i

44442x5x,x0,3．若函数f(x)是奇函数，则实数a的值是

2xax,x0A．-10 B．10 C．-5 D．5

4．已知d为常数，p:对于任意nN*,an2an1d;q:数列 an是公差为d的等差数列，则p是q 的

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 35．函数f(x)log2(x2)(x0)的零点所在的大致区间是

xA．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4） 6．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在， 其中支出金额在的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n=

A．150

27．双曲线xA．充分不必要条件 C．充要条件

第6题图 开始 i＝0，S＝0 S＝S＋i B．160 C．180 D．200

y221(mZ)的离心率为 2m4mA．3

B．2

C．5

D．3

i＝i＋2 i≥100？ 是 输出S 结束 第8题图 8．执行右边的程序框图，则输出的S是

A．5040 B．4850 C．2550 D．2450

9．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的 曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，

则该几何体的体积等于

A．12 B．16 C．20 D．24 10．将函数f(x)3sin(2x)(否 22)的图象向右

第9题图

平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x),g(x)的图象都经过点

P(0,A．

32)，则的值不可能是 2

B．

C．

3 45 4 D．

7 411．已知抛物线C:x216y的焦点为F，准线为l，M是l上一点，P是直线MF与C的一

uuuruur个交点，若FM3FP，则PF

A．

16 3 B．

8 3 C．

5 3 D．

5 212．函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2013，对任意的xR，都有f(x)2x成立，则不等

式f(x)x22009的解集为（ ）

A．（-2，+） B. （-2,2） C.（-，-2） D.（-，+） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 2xy20,14．若变量x,y满足x2y40,则z2xy的取值范围是

x3y110,114315．已知平面向量a,b，a2，ba，ab，则a与b的夹角为

32316．数列am的前n项和为Sm，已知a11，且任意正整数m,n，都有amnaman，若 3Sma恒成立，则实数a的最小值为

三、解答题:本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+23sin2x．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f(B)的取

值范围． 18．（本小题满分12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的

态度进行调查,得到的统计数据如下表所示: 积极参加班级工作 不积极参加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性不高 6 19 25

合计 24 26 50 （Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学

生的概率是多少?

（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学

生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？ （Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系? 请说明理由. 附:

p(K2k0) 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k0 nadbc Kabcdacbd22

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，对角线AC,BD交与点M，BC//AD，

ABBC,ABBC1,ADPD2,PD底面ABCD,点

N为棱PC上一动点。 （I）证明：ACND;

（II）若MN//平面ABP，求三棱锥NACD的体积.

20．(本小题满分12分)已知抛物线C1:y22px(p0)的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C:x2y29上． （Ⅰ）求抛物线C1的方程；

22 （Ⅱ）已知椭圆C2:x2y21 (mn0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为

mn1．直线l:ykx4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径2的圆的外部，求k的取值范围．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)mxalnxm，g(x)（Ⅰ）求函数g(x)的极值；

（Ⅱ）设m1，a0，若对任意的x1、x2[3,4](x1x2)，【|f(x2)f(x1)|恒成立，求实数a的最小值；

xex1，其中m,a均为实数．

11

g(x2)gx1

请考生在第22.23.24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分，做答 时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲

如图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F. （I）求证：AC·BC=AD·AE; （II）若AF=2, CF=22，求AE的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x3cossin(为参在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为2y23sincos2sin2数），若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin(2． )t（t为参数）

42（I）求曲线M和N的直角坐标方程，（11）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)=｜3x+2｜ （I）解不等式f(x)4x1，

（11）已知m+n=1(m,n>0)，若|xa|f(x)

高三三模文数参考答案

11(a0)恒成立，求实数a的取值范围． mn

17.解：（Ⅰ）f(x)=1+sin2x+3(1–cos2x)=sin2x–3cos2x +1+3 =2sin(2x–∴f(x)的最小正周期T=3)+1+3 2=． 2222（Ⅱ）由2acosC+c=2b可得2aabc+c=2b，即b2+c2–a2=bc，

2ab∴cosA=c∴0＜B＜所以–2b2a22bc=12，∴A=，B+C=， 2332，∴–＜2B–＜， 因为f(B)=2sin(2B–) +1+3， 33333＜sin(2B–23)≤1，f(B)∈(1，3+3]．

18．解析：（Ⅰ）P19（Ⅱ）设这7名学生为a,b,c,d,e,A,B(大写为男生)，则从中抽取两名学

50生的所有情况是：ab,ac,ad,ae,aA,aB,bc,bd,be,bA,Bb,cd,ce,cA,cB,de,dA,dB,eA,eB,AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴P（Ⅲ）根据K210 .21

n(adbc)250(181967)2 11.53810.828(ab)(cd)(ac)(bd)24262525∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系.

19. （I）证明：在底面直角梯形ABCD中，

ACCD2222

ACCDADACCDAD2 又PD底面ABCD，故ACPD AC  平面PCD

ACND 6分

（II） 因为MN//平面ABP，所以MN//AP

又BC//AD,且BC1AD,故M为AC的三等分点 9分, 2333所以N为CP的三等分点,因此，VNACD1SACDh1SACD1PD

112222 929220.解：（Ⅰ）解得：x01,y022,p4, 所以抛物线C1的方程为：y8x

（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F(2,0)  椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合

椭圆C2半焦距c2, m2n2c24椭圆C2的离心率为

x2y2n23椭圆C2的方程为：1

1612121，m4，2m2ykx4设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由x2y2得(4k23)x232kx160

1161232k16xx， …………8分 124k234k2311由0(32k)2416(4k23)0k或k…①…………10分

22uuruuur∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则OAOB0， uuruuurOAOB(x1,y1)(x2,y2)y1y2x1x2由韦达定理得：x1x2(kx14)(kx24)x1x2(k21)x1x24k(x1x2)16

16(43k2)1632k2323(k1)24k2160 ……② k4k34k34k2333231123由①、②得实数k的范围是 ………………………13分 k或k32231x21．（Ⅰ）g'(x)x1，令g'(x)0，得x1，列表如下：

e2x g'(x) g(x) (,1)  ↗ 1 (1,)  ↘ 0 极大值

∴当x1时，g(x)取得极大值g(1)1，无

极小值；

（Ⅱ）当m1时，a0时，f(x)xalnx1，x(0,)，【来源：全,品…中&高*考+】

xa0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数， xex1(x1)1ex10在[3,4]上恒成立， 设h(x)，∵h'(x)2xg(x)x∴h(x)在[3,4]上为增函数，

∵f'(x)不妨设x2x1，则|f(x2)f(x1)|11等价于： g(x2)gx1f(x2)f(x1)h(x2)h(x1)，即f(x2)h(x2)f(x1)h(x1)，

ex1设u(x)f(x)h(x)xalnx1，则u(x)在[3,4]上为减函数，

x

aex1(x1)0在[3,4]上恒成立， ∴u'(x)12xxex1ex1x1x1)max，x[3,4]， ∴axe恒成立，∴a(xexxex1ex1(x1)123x1x1x111e[()]，设v(x)xe，∵v'(x)1e2xxx24x[3,4]，

12332x11∴e[()]e1，∴v'(x)0，v(x)为减函数， x244222222∴v(x)在[3,4]上的最大值v(3)3e，∴a3e，∴a的最小值为3e；

33322. （Ⅰ）证明：连结BE，由题意知ABE为直角三角形.

AEBACB，ABE∽ADC，因为ABEADC90， ABAE，即ABACADAE. ADAC又ABBC，所以ACBCADAE. ……… 5分

所以

A0FF，B又（Ⅱ）因为FC是圆O的切线，所以FCFA2OBEDCAF2,CF22，所以BF4,ABBFAF2，因为ACFFBC，

又CFBAFC，所以AFC∽CFB. 所以

AFACAFBC2 ，得ACFCBCCFcosACD分 23.

214AB414,sinACDsinAEB,AE. … 10

sinAEB744（Ⅰ）由

x3csois得nx2(3cossin)22cos223sincos1，

所以曲线M可化为yx21，x[2,2]， ……2分

由sin(4)2222t，得sincost， 2222所以sincost，所以曲线N可化为xyt.……… 4分

（Ⅱ）若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t5，并且向左

下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立xyt，得2yx1

x2x1t0，14(1t)0，解得t综上可求得t的取值范围是5， 45t5. ……… 10分 424. 解：（I）不等式f(x)4x1，即3x2x14， x(,). … 5分

51421111nm()(mn)114， mnmnmn22x2a,x,322x令g(x)xaf(x)xa3x2时，4x2a,xa,332x2a,xa,2210g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4即0a. … 10分

333（Ⅱ）