河南中考数学复习专题

专题知识突破

专题一 选择题解题方法

一、中考专题诠释

选择题是各地中考必考题型之一，各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.

选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略及解法精讲

选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.

三、中考典例剖析 考点一：直接法

从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再及选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.

例1 （2013•陕西）根据表中一次函数的自变量x及函数y的对应值，可得p的值为（ ） x y -2 3 0 p 1 0 A．1 B．-1 C．3 D．-3 思路分析：设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），再把x=-2，y=3；x=1时，y=0代入即可得出kb的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值． 解：一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵x=-2时y=3；x=1时y=0， ∴， 解得，

∴一次函数的解析式为y=-x+1， ∴当x=0时，y=1，即p=1． 故选A．

点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．

对应训练 1．（2013•安顺）若y=(a+1)xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ） A．1 B．-l C．±l D．任意实数 1．A

考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）

分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件

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及各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中及题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确. 例2 （2013•莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（ ） A． B． C． D．

思路分析：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点， ∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3-1=2，即此时y的值及点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况． 对应训练 2．（2013•自贡）如图，已知A、B是反比例函数y=k (k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，x动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．A

考点三：逆推代入法

将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度. 例3 （2013•邵阳）下列四个点中，在反比例函数y＝−6的图象上的是（ ） xA．（3，-2） B．（3，2） C．（2，3） D．（-2，-3） 思路分析：根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可． 解：A、∵3×（-2）=-6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵（-2）×（-3）=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选A． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y= k中，k=xy为定值是解答此题x的关键． 对应训练 3．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（ ） A．y=2x 3．B

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B．y=-2x

C．y＝

1x 2D．y＝−

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考点四：直观选择法

利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)及某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.

例4 （2013•鄂州）一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y及x之间关系的选项是（ ） A． B． C． D．

思路分析：分三段考虑，①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．

解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；

②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变； ③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加． 结合图象可得B选项的图象符合． 故选B．

点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始终保持在容器的正中间． 对应训练 4．（2013•巴中）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）及铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ） A．B．C．D． 4．D

考点五：特征分析法

对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法

例5 （2013•三明）如图，已知直线y=mx及双曲线的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ） A．（-3，4） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（4，3）

思路分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则及经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 解：因为直线y=mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（-3，-4）． 故选：C．

点评：此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．

对应训练

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5．（2013•宁波）已知一个函数的图象及y=5．y=- 6的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为 ． x6 x

考点六：动手操作法

及剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.

例6 （2013•宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（ ） A． B． C． D． 思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．

解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意； C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；

D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； 故选：C．

点评：此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的动手操作能力和空间想象能力．

对应训练 6．（2013•菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口及第二次折痕所成角的度数应为（ ）

A．15°或30° B．30°或45° D．30°或60° 6．D

四、中考真题演练 1．（2013•邵阳）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 1．B 2．（2013•湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（ ） A．-

C．45°或60°

1 2B．-2 C．

1 2D．2

2．D 3．（2013•天门）下列事件中，是必然事件的为（ ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 B．江汉平原7月份某一天的最低气温是-2℃ C．通常加热到100℃时，水沸腾

D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》 3．C 4．（2013•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（ ）

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A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 4．C 5．（2013•盐城）下面的几何体中，主视图不是矩形的是（ ） A． B． C． 5．C 6．（2013•达州）下列说法正确的是（ ） A．一个游戏中奖的概率是

D．y=4x

D．

1，则做100次这样的游戏一定会中奖 100B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式 C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1

D．若甲组数据的方差S甲＝0.2，乙组数据的方差S乙＝0.5，则乙组数据比甲组数据稳定 6．C 7．（2013•贵阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的位置是（ ）

22A．7．A B． C． D．

8．（2013•三明）如图，已知直线y=mx及双曲线y= 坐标是（ ） A．（-3，4）

k的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点xD．（4，3）

B．（-4，-3） C．（-3，-4）

8．C

9．（2013•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 9．D 10．（2013•义乌）为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，1，2，这三个数字组成，但具体顺序忘记了，他第一次就拨通电话的概率是（ ） A．

1 2B．

1 4C．

1 6D．

1 810．C 11．（2013•南宁）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ） A．三角形 B．线段 C．矩形 D．正方形

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11．A 12．（2013•泰州）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．

12．B 13．（2013•台州）有一篮球如图放置，其主视图为（ ） A． B． C． D．

13．B 14．（2013•长沙）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ） A． B． C． D． 14．C 15．（2013•达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）

A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4） C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3） 15．C 16．（2013•陕西）如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 16．D 17．（2013•广州）在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）

A．向下移动1格 C．向上移动2格 17．D 18．（2013•玉林）若∠α=30°，则∠α的补角是（ ）

B．向上移动1格 D．向下移动2格

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A．30° B．60° C．120° D．150° 18．D 19．（2013•襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ） A．60° B．70° C．80° D．90°

19．C 20．（2013•宜昌）某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ） A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥

20．C

21．（2013•遂宁）已知反比例函数的图象经过点（2，-2），则k的值为（ ） A．4

B．-

1 2C．-4 D．-2

21．C 22．（2013•钦州）下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（ ） A． B． C． D． 22．B 23．（2013•锦州）为响应“节约用水”的号召，小刚随机调查了班级35名同学中5名同学家庭一年的平均用水量（单位：吨），记录如下：8，9，8，7，10，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4 23．B 24．（2013•恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（ ） A． B． C． D． 24．C 25．（2013•巴中）如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“梦”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A．大 B．伟 C．国 D．的

25．D 26．（2013•怀化）如图，在方格纸上上建立的平面直角坐标系中，将OA绕原点O按顺时针方向旋转180°得到OA′，则点A′的坐标为（ ） A．（3，1） B．（3，-1） C．（1，-3） D．（1，3）

26．B 27．（2013•宜昌）如图，点B在反比例函数y=2（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，yxD．4

轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（ ） A．1 B．2 C．3

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27．B 28．（2013•吉林）端午节期间，某市一周每天最高气温（单位：℃）情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是（ ） A．22 B．24 C．25 D．27

28．B

29．（2013•黑龙江）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA→AB→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S及t之间函数关系的图象是（ ）

A．B．C．D． 29．C 30．（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ） A．60m B．40m C．30m D．20m

30． 31．（2013•荆门）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（ ） A．（3，4） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（4，-3） 31．C 32．（2013•盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）

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A．4种 B．5种 C．6种 32．C 33．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A．

D．7种

17 32B．

1 2C．

17 36D．

17 38

33．C 34．（2013•雅安）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则sin∠E的值为（ ） A．

1 2B．

3 2C．

2 2D．

3 3

34．A 35．（2013•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y及x的函数关系的是（ ）

A．B．C．D． 35．B 36．（2013•柳州）如图，点P（a，a）是反比例函数y=16在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶x点作等边△PAB，使A、B落在x轴上，则△POA的面积是（ ） A．3 B．4 C． D．

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36．D

37．（2013•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象及x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 37．B

38．（2013•贺州）直线AB及⊙O相切于B点，C是⊙O及OA的交点，点D是⊙O上的动点（D及B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ） A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130° 38．A 39．（2013•莱芜）下列说法错误的是（ ）

A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心 B．2+3及2-3互为倒数

C．若a＞|b|，则a＞b

D．梯形的面积等于梯形的中位线及高的乘积的一半 39．D 40．（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为▱ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（ ） A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9 40．C

41．2013•南充）下列图形中，∠2＞∠1的是（ ） A． B． C．

41．C

D．

42．（2013•贵阳）在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币及边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（ ） A．1圈 B．2圈 C．3圈 D．4圈

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42．B 43．（2013•钦州）如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）

A．甲＜乙＜丙 43．D

B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲

D．甲=乙=丙

44．（2013•福州）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为（ ） A．2.5cm B．3.0cm C．3.5cm D．4.0cm

44．B

45．（2013•佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ） A．3

B．4

C．5 D．7

45．C 46．（2013•达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=3003米，则这段弯路的长度为（ ） A．200π米

46．A

B．100π米

C．400π米

D．300π米

47．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

47．B 48．（2013•红河州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）

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A．AD=DC

48．D

B．ADDC

C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA

49．（2013•邗江区一模）一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．

（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD及AB相交于M，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF及AB相交于N，如图（4）所示． （4）连结AE、AF，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论：

①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆=33：4π， 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．D 50．（2013•恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对2009年恩施州各县市的固定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题： 2009年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元） 单位 投资额 恩施市 60 利川县 28 建始县 24 巴东县 23 宜恩县 14 咸丰县 16 来凤县 鹤峰县 15 州直 5

下列结论不正确的是（ ）

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A．2009年恩施州固定资产投资总额为200亿元

B．2009年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是16亿元 C．2009年来凤县固定资产投资额为15亿元

D．2009年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为110° 50．D

专题二 新定义型问题

一、中考专题诠释

所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲

“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析

考点一：规律题型中的新定义

例1 （2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=31，cos30°=，则sin230°+cos230°= ；① 2213 / 193

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sin45°=22，cos45°=，则sin245°+cos245°= ；② 2231，cos60°=，则sin260°+cos260°= ．③ 22sin60°=… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想； （2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=3，求cosA． 5 思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1； （1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°． 利用锐角三角函数的定义得出sinA=BDAD，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到ABAB3，进行求解． 5BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1； （2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=解：∵sin30°=31，cos30°=， 22321312）+（）=+=1；① 2244∴sin230°+cos230°=（∵sin45°=22，cos45°=， 22222211）+（）=+=1；② 2222∴sin245°+cos245°=（∵sin60°=31，cos60°=， 2232131）+（）2=+=1．③ 2244∴sin260°+cos260°=（观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④ （1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°． ∵sinA=BDAD，cosA=， ABAB14 / 193

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∴sin2A+cos2A=（BD2AD2）+（）=， ABAB∵∠ADB=90°， ∴BD2+AD2=AB2， ∴sin2A+cos2A=1． （2）∵sinA=3，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角， 5∴cosA=． 点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 对应训练 1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：； （2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别及AB、AC相交于G、H（均不及△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究 的最大值． 2.（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E． ∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点． ∴DE是中位线， ∴DE∥AC，且DE=1AC． 2∵DE∥AC， ∴△AOC∽△DOE， 15 / 193

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∴=2， ∵AD=AO+OD， ∴AO2=． AD3 （2）答：点O是△ABC的重心． 证明：如答图2，作△ABC的中线CE，及AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心． 由（1）可知，而AO2=， AD3AO2=， AD3∴点Q及点O重合（是同一个点）， ∴点O是△ABC的重心． （3）解：如答图3所示，连接DG． 设S△GOD=S，由（1）知AO2=，即OA=2OD， AD3∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S． 为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S， ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S． 设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S． ∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S． ∴== ① 如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE． 16 / 193

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∵OF∥BC， ∴， ∴OF=12CD=BC； 33∵GE∥BC， ∴， BC； x1x1∴=， 3x1∴=． 2x∴GE=∵OF∥GE， ∴， ∴， x1，代入①式得： 2-xx13x-2153x-k22-x==-x2+x+1=-（x-）2+， x124k112-x15∴当x=时，有最大值，最大值为． 24∴k= 考点二：运算题型中的新定义 例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。 （1）求（-2）⊕3的值； （2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．

思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，求解即可；

（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示． 解：（1）∵a⊕b=a（a-b）+1，

∴（-2）⊕3=-2（-2-3）+1=10+1=11； （2）∵3⊕x＜13， ∴3（3-x）+1＜13， 9-3x+1＜13， -3x＜3， x＞-1．

在数轴上表示如下：

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点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键． 对应训练 2．（2013•十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4． （1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是 ． （2）如果[x1]=3，求满足条件的所有正整数x． 22．解：（1）∵[a]=-2， ∴a的取值范围是-2≤a＜-1； （2）根据题意得： 3≤[x1]＜4， 2解得：5≤x＜7， 则满足条件的所有正整数为5，6． 考点三：探索题型中的新定义 例3 （2013•钦州）定义：直线l1及l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

思路分析： “距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在及直线l1平行且及l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在及直线l2平行且及l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．

解：如图，

∵到直线l1的距离是1的点在及直线l1平行且及l1的距离是1的两条平行线a1、a2上， 到直线l2的距离是2的点在及直线l2平行且及l2的距离是2的两条平行线b1、b2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个． 故选C．

点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在及已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．

对应训练

3.（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”． （1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；

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（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 3，求证：△ABC是“好玩三角形”； 2（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s． ①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求a的值； s②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围． （4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分） 依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围及△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1） 3．解：（1）如图1，①作一条线段AB， ②作线段AB的中点O， ③作线段OC，使OC=AB， ④连接AC、BC， ∴△ABC是所求作的三角形． （2）如图2，取AC的中点D，连接BD ∵∠C=90°，tanA=3， 2∴3BC=， AC2∴设BC=3x，则AC=2x， ∵D是AC的中点， 19 / 193

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∴CD=1AC=x 2∴BD=CD2BC23x2x2=2x， ∴AC=BD ∴△ABC是“好玩三角形”； （3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时， ∴∠ABC=2β=90°， ∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”， 当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F， ∵PC=CQ， ∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP， ∴△AEF∽△CEP， ∴AEAFABBPs． CEPCPC2as ∵PE=CE， ∴． Ⅰ当底边PQ及它的中线AE相等时，即AE=PQ时， =2， ∴a3=， s4Ⅱ当腰AP及它的中线QM相等，即AP=QM时， 作QN⊥AP于N，如图4 ∴MN=AN=1MP． 2∴QN=15MN， ∴tan∠APQ==15， 315， 3∴tan∠APE==20 / 193

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∴151a=+。 s102②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”， ∴ （4）由（3）可以知道0＜tanβ＜15＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”． 315， 3则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2． 考点四：开放题型中的新定义 例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形． （1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线； （2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数． 思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在BC上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形， （3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数． 解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30°， 21 / 193

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∴∠ABD=∠ADB，

∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°， ∴∠BDC=∠C=75°， ∴△BCD为等腰三角形，

∴BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）由题意作图为：图2，图3

（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC，

如图4，当AD=AC时，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠BAD=90°， ∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠BCD=60°+75°=135°． 如图5，当AD=CD时， ∴AB=AD=BC=CD．

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∵∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90° 如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=1AD，∠ACE=∠DCE． 2∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°， ∴四边形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=1BC， 2∴∠BCF=30°． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=1∠BCF=15°， 2∴∠BCD=15°×3=45°． 点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键． 对应训练 4．（2013•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=1a+b-1（史称“皮克公式”）． 2小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形： 23 / 193

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根据图中提供的信息填表： 多边形1 多边形2 … 一般格点多边形 格点多边形各边格点边多边形内上的格点的个数 部的格点个数 8 7 … a 1 3 … b 格点多边形的面积 … S 则S及a、b之间的关系为S= （用含a、b的代数式表示）． 4．解：填表如下： 多边形1 多边形2 … 一般格点多边形 格点多边形各边格点边多边形内上的格点的个数 部的格点个数 8 7 … a 1 3 … b 格点多边形的面积 8 11 … S 则S及a、b之间的关系为S=a+2（b-1）（用含a、b的代数式表示）． 考点五：阅读材料题型中的新定义 例5 （2013•舟山）对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（-5，4），B（2，-3），A⊕B=（-5+2）+（4-3）=-2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（ ） A．在同一条直线上 B．在同一条抛物线上

C．在同一反比例函数图象上 D．是同一个正方形的四个顶点 思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上．

解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）， 如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）， 那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），

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D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5）， E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6）， F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6）， 又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D， ∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6）， ∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6， 令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k， 则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=-x+k上， ∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上． 故选A． 点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度． 对应训练 5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形． （1）判断及操作： 如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由． （2）探究及计算： 已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值． （3）归纳及拓展： 已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）． 7．解：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下： （2）裁剪线的示意图如下： （3）b：c的值为， 规律如下：第4次操作前短边及长边之比为：1； 225 / 193

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第3次操作前短边及长边之比为：,12； 33第2次操作前短边及长边之比为：； 第1次操作前短边及长边之比为：．

四、中考真题演练 一、选择题

1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（ ） A．y=-x+3 B．y=

5 C．y=2x D．y=-2x2+x-7 x1．C 2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A．90° B．120° C．150° D．180° 2．D 3．（2013•潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[x4]=5，则x的取值可以是（ ） 10A．40 B．45 C．51 D．56 3．C 4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，-b）．如f（1，2）=（1，-2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，-9））=（ ） A．（5，-9） B．（-9，-5） C．（5，9） D．（9，5） 4．D 5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（ ） A． B． C． D． 5．C

二、填空题 6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ． 6．30° 7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 ．

7．4π 8．（2013•淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形及△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 条．

8．3

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9．（2013•乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n-则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（11≤x＜n+，221x-1）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11； 2④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 9．①③④ 三、解答题 10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点； （2）求出线段AD的长．

10．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°， ∴AD=BD，BC=BD， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即，

∴AD2=AC•CD．

∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点， ∴AD=AC=． 11．（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．

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11．解：（1）由题意得， sin120°=sin（180°-120°）=sin60°=3， 2cos120°=-cos（180°-120°）=-cos60°=-sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=1， 21； 2 （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为将11，-， 22111代入方程得：4×（）2-m×-1=0， 2221是方程4x2-1=0的根， 233，，不符合题意； 22解得：m=0， 经检验-∴m=0符合题意； ②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为31，， 22将111代入方程得：4×（）2-m×-1=0， 2223不是方程4x2-1=0的根． 2解得：m=0， 经检验综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 12．（2013•安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）； （2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： ； 28 / 193

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（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD及∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由） 12．解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；

（2）∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEC， ∵AE∥DC， ∴∠AEB=∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠AEB， ∴AB=AE．

∵在△ABE和△DEC中， ，

∴△ABE∽△DEC， ∴， ∴；

（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H， ∴∠BFE=∠CHE=90°．

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC， ∴EF=EG=EH，

在Rt△EFB和Rt△EHC中 ，

∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL）， ∴∠3=∠4． ∵BE=CE， ∴∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠4 即∠ABC=∠DCB，

∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC， ∴ABCD是“准等腰梯形”．

当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：

如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，

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∴∠B=∠C， ∴ABCD是“准等腰梯形”． 如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明△EFB≌△EHC， ∴∠EBF=∠ECH． ∵BE=CE， ∴∠3=∠4， ∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4， 即∠1=∠2， ∴四边形ABCD是“准等腰梯形”． 13．（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（11，），E（0，-2），F（23，0）． 22（1）当⊙O的半径为1时， ①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 ． ②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围； （2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围． 13．解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R， 30 / 193

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∵⊙O的半径为1，∴RO=1， ∵EO=2， ∴∠OER=30°， 根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°， ∴E点是⊙O的关联点， ∵D（11，），E（0，-2），F（23，0）， 22∴OF＞EO，DO＜EO， ∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°， 故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E； 故答案为：D，E； ②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点， 需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°， 由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°， 连接BC，则PC==2BC=2r， ∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r； 由上述证明可知，考虑临界点位置的P点， 如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2， 31 / 193

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过点O作l轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF==3， ∴∠OGF=60°， ∴OH=OGsin60°=3； sin∠OPH=， ∴∠OPH=60°， 可得点P1及点G重合， 过点P2作P2M⊥x轴于点M， 可得∠P2OM=30°， ∴OM=OP2cos30°=3， 从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上， ∴0≤m≤3； （2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点； 考虑临界情况，如图4， 即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=1EF=2， 2此时，r=1， 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．

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专题三 开放型问题

一、中考专题诠释

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类． 二、解题策略及解法精讲

解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。 三、中考考点精讲 考点一：条件开放型

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求及结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求． 例1 （2013•盐城）写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式： ．（填上一个答案即可）

思路分析：首先可以用待定系数法设此一次函数关系式是：y=kx+b（k≠0）．根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可． 解：设此一次函数关系式是：y=kx+b． 把x=0，y=3代入得：b=3，

又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．

故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=-x+3．（答案不唯一） 故答案是：y=-x+3．

点评：本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．

对应训练

1．（2013•达州）已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 1．-1

考点二：结论开放型：

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给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2 （2013•常德）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式： ． 思路分析：根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可． 解：∵图象在第二、四象限， ∴y=-3， x3． xk（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反x故答案为：y=-点评：此题主要考查了反比例函数y=比例函数图象在第二、四象限内．

对应训练 2．（2013•山西）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息： ．（只要及统计图中所提供的信息相符即可得分）

2．该班有50人参及了献爱心活动（答案不唯一）

考点三：条件和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察及思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．

例3 （2013•广东）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C． （1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；

（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 思路分析：（1）根据S1=

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11S矩形BDEF，S2+S3= S矩形BDEF，即可得出答案． 22（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可． 解答：（1）解：∵S1=∴S1=1BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED， 21S矩形BDEF， 21∴S2+S3=S矩形BDEF， 2∴S1=S2+S3． （2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC． 证明△BCD∽△DEC； 证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°， ∴∠EDC=∠CBD， 又∵∠BCD=∠DEC=90°， ∴△BCD∽△DEC． 点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．

对应训练 3．（2013•荆州）如图，△ABC及△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

3．解：△ACD≌△BCE．

证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， 即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC及△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CA=CB，CD=CE，

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在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE． 四、中考真题演练 一、填空题 1．（2013•徐州）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称： ． 1．平行四边形 2．（2013•钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式 ． 2．y=x（答案不唯一）． 3．（2013•连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 3．-2 4．（2013•连云港）若正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 4．-2

5．（2013•北京）请写出一个开口向上，并且及y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= ． 5．x2+1（答案不唯一） 6．（2013•莆田）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件 ，使△ABC≌△DEF．

6．AB=DE 7．（2013•绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．

7．AE=CB 8．（2013•义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 ．

8．AC=AB 9．（2013•齐齐哈尔）如图，要使△ABC及△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可）

9．∠C=∠BAD 10．（2013•邵阳）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是 ．

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10．∠A及∠C（答案不唯一） 11．（2013•吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是 cm（写出一个符合条件的数值即可）

11．6 12．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为 ．（填出一个正确的即可）

12．4s

三、解答题 13．（2013•杭州）（1）先求解下列两题：

①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数 (x＞0)的图象经过点B，D，求k的值． （2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．

13．解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，

∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，

根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM， 又∵∠EDM=84°， ∴∠A+3∠A=84°， 解得，∠A=21°；

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②∵点B在反比例函数y=∴点B（3，∵BC=2， ∴点C（3，k图象上，点B，C的横坐标都是3， xk）， 3k+2）， 3∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1， ∴A（1，k+2）， 3∵点A也在反比例函数图象上， ∴k+2=k， 3解得，k=3； （2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题） 14．（2013•盐城）市交警支队对某校学生进行交通安全知识宣传，事先以无记名的方式随机调查了该校部分学生闯红灯的情况，并绘制成如图所示的统计图．请根据图中的信息回答下列问题： （1）本次共调查了多少名学生？

（2）如果该校共有1500名学生，请你估计该校经常闯红灯的学生大约有多少人； （3）针对图中反映的信息谈谈你的认识．（不超过30个字）

14．解：（1）调查的总人数是：55+30+15=100（人）； （2）经常闯红灯的人数是：1500×15=225（人）； 100（3）学生的交通安全意识不强，还需要进行教育．

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专题四 探究型问题

一、中考专题诠释

探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类． 二、解题策略及解法精讲

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．

2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能及已知条件一致．

3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．

4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用． 三、中考考点精讲 考点一：条件探索型：

此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．

例1 （2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形． （1）连结BE，CD，求证：BE=CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′及△CPD′全等？并给予证明．

思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；

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②当AC=2AB时，△BDD′及△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′及△CPD′全等． 解答：（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形． ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE， 即∠BAE=∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE=CD； （2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠DAE=180°-60°×2=60°， ∵边AD′落在AE上， ∴旋转角=∠DAE=60°； ②当AC=2AB时，△BDD′及△CPD′全等． 理由如下：由旋转可知，AB′及AD重合， ∴AB=BD=DD′=AD′， ∴四边形ABDD′是菱形， ∴∠ABD′=∠DBD′=11∠ABD=×60°=30°，DP∥BC， 22∵△ACE是等边三角形， ∴AC=AE，∠ACE=60°， ∵AC=2AB， ∴AE=2AD′， ∴∠PCD′=∠ACD′=11∠ACE=×60°=30°， 22又∵DP∥BC， ∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°， 在△BDD′及△CPD′中， ， ∴△BDD′≌△CPD′（ASA）． 故答案为：60． 点评：本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是姐提到过．

对应训练 1．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC及BD的交点，过点O的直线及BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）请连接EC、AF，则EF及AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

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1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，AB∥CD．

∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF． ∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）如图，连接EC、AF，则EF及AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，

理由如下：

由（1）可知△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∵AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF=AC，

∴四边形AECF是矩形．

考点二：结论探究型：

此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现及之相应的结论． 例2 （2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=2CB，过程如下： 过点C作CE⊥CB于点C，及MN交于点E ∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE． ∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°． ∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC． 又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=2CB． 又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=2CB． 41 / 193

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（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．

（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=2时，则CD= ，CB= ．

思路分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，及MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=2CB，根据BE=AB-AE即可证得； （2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 解：（1）如图（2）：AB-BD=2CB． 证明：过点C作CE⊥CB于点C，及MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD， ∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD， ∵∠AFC=∠BFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=2CB． 又∵BE=AB-AE， ∴BE=AB-BD， ∴AB-BD=2CB． 如图（3）：BD-AB=2CB． 证明：过点C作CE⊥CB于点C，及MN交于点E， ∵∠ACD=90°， ∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB， 42 / 193

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∴∠BCD=∠ACE． ∵DB⊥MN， ∴∠CAE=90°-∠AFB，∠D=90°-∠CFD， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠CAE=∠D， 又∵AC=DC， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=DB，CE=CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BE=2CB． 又∵BE=AE-AB， ∴BE=BD-AB， ∴BD-AB=2CB． （2）如图（2），过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠ABC=45°，DB⊥MN， ∴∠CBD=135°， ∵∠BCD=30°， ∴∠CBH=60°， ∴∠DBH=75°， ∴∠D=15°， ∴BH=BD•sin45°， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴DH=BH=22BD=×2=1， 22∵∠BCD=30° ∴CD=2DH=2， ∴CH=CD2DH23， ∴CB=CH+BH=3+1； 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等． 43 / 193

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对应训练 2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°． （1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE及AC的位置关系是 ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1及S2的数量关系是 ．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1及S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

2．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC=CD， ∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，

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∴CD=AC=1AB， 2∴BD=AD=AC， 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2； 故答案为：DE∥AC；S1=S2； （2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中， ， ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2； （3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此时S△DCF=S△BDE， 过点D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴∠F1DF2=∠ABC=60°， ∴△DF1F2是等边三角形， ∴DF1=DF2， ∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=1×60°=30°， 2∴∠CDF1=180°-30°=150°， ∠CDF2=360°-150°-60°=150°， ∴∠CDF1=∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中， 45 / 193

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， ∴△CDF1≌△CDF2（SAS）， ∴点F2也是所求的点， ∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=又∵BD=4， ∴BE=1×60°=30°， 23431×4÷cos30°=2÷=， 33243434383，BF2=BF1+F1F2=+=， 33334383或． 33∴BF1=故BF的长为

考点三：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用. 例3 （2013•闸北区二模）观察方程①：x+2x12=3，方程②：x+=5，方程③：x+=7． x6x（1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ； （2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ； （3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ． 思路分析：先计算出方程的根，再根据根的变化规律求出方程的一般形式及根的变化规律． 解：（1）两边同时乘以x得，x2-3x+2=0， 方程①根：x1=1，x2=2； 两边同时乘以x得，x2-5x+6=0， 方程②根：x1=2，x2=3； 两边同时乘以x得，x2-7x+12=0， 方程③根：x1=3，x2=4； （2）方程④：x+20=9；方程④根：x1=4，x2=5． x（3）第n个方程：x+=2n+1． 此方程解：x1=n，x2=n+1． 点评：本题考查了分式方程的解，从题目中找出规律是解题的关键． 对应训练 3．（2013•南沙区一模）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，46 / 193

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动点P的坐标是 ．

3．（2013，1）

考点四：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目． 例4 （2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1） FC的值为 ； EF（2）求证：AE=EP； （3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 思路分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答； （2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出； （3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在Rt△ABE中，AE=321210， ∵sin∠BAE=BEFC=sin∠FEC=， AEEC∴ 10FC=， EC1047 / 193

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（2）证明：在BA边上截取BK=NE，连接KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB-BK=BC-BE， 即：AK=EC，

易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中， ，

∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP；

（3）答：存在．

证明：作DM⊥AE于AB交于点M，

则有：DM∥EP，连接ME、DP， ∵在△ADM及△BAE中， ，

∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP，

∴MD∥EP，MD=EP，

∴四边形DMEP为平行四边形．

点评：此题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用及辅助线的准确选择．

对应训练 4．（2013•陕西）问题探究：

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决：

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（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 4．解：（1）如图1所示， （2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E， 则直线EF、OM将正方形的面积四等份， 理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心， ∴AP=CQ，EB=DF， 在△AOP和△EOB中 ∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE， ∴∠AOP=∠BOE， ∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°， ∴△AOP≌△EOB， ∴AP=BE=DF=CQ， 设O到正方形ABCD一边的距离是d， 则1111（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d， 2222∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM， 直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份； （3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份， 理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠EDP， ∵在△ABP和△DEP中 ， ∴△ABP≌△DEP（ASA）， 49 / 193

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∴BP=EP， 连接CP，

∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等， 又∵BP=EP， ∴S△BPC=S△EPC，

作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE， 由三角形面积公式得：PF=PG，

在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP ∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP 即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ， ∵BC=AB+CD=a+b， ∴BQ=b，

∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分． 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013•永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ） A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5

1．C 2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

2．B 3．（2013•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD

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3．C

二、填空题 4．（2013•娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．

4．∠B=∠C或AE=AD 5．（2013•白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）

5．AC=CD 6．（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）

6．AC=DF 7．（2013•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为菱形． 7．AD=DC 8．（2013•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处． 第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1； 第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2； 第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3； 第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4； …

依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），则n= ． 8．（-2-3），4023 9．（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2及x轴、底边A1A2及A4A5、A4A5及A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 ，A92的坐标是 ．

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9．（0，3），（31，-31） 10．（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 ．

10．12°

三、解答题 11．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE及CB的延长线交于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．

11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC．

又∵点F在CB的延长线上， ∴AD∥CF，

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∴∠1=∠2．

∵点E是AB边的中点， ∴AE=BE．

∵在△ADE及△BFE中， ，

∴△ADE≌△BFE（AAS）； （2）解：CE⊥DF．理由如下： 如图，连接CE．

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2． ∵DF平分∠ADC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴CD=CF， ∴CE⊥DF． 12．（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD及CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

12．解：（1）BD=CD． 理由如下：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD；

（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD， ∴∠ADB=90°， ∴▱AFBD是矩形．

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13．（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC及BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题． （1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）

13．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题， 证明：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴，

∵AO=OC， ∴OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；

根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，

根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．

14．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c及x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．

14．解：（1）∵抛物线及x轴交于点A（1，0），B（3，0）， 可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3）， 把C（0，-3）代入得：3a=-3， 解得：a=-1，

故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），

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即y=-x2+4x-3，

∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴顶点坐标（2，1）；

（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上． 15．（2013•凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：

材料：将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．

解：在抛物线y=-x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（-1，3），再向下平移2个单位得到A″（-1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．

设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c．则点A″（-1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得： ，解得：．所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2． 根据以上信息解答下列问题：

将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式． 15．解：在直线y=2x-3上任取一点A（0，-3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，-2），

设平移后的解析式为y=2x+b，

则A′（3，-2）在y=2x+b的解析式上， -2=2×3+b， 解得：b=-8，

所以平移后的直线的解析式为y=2x-8． 16．（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

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（2）特殊位置，证明结论 若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD． （3）知识迁移，探索新知 若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′及AP′的数量关系．（不必写解答过程） 16．（1）证明：∵PB=PD， ∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠C=45°， ∵BO⊥AC， ∴∠1=45°， ∴∠1=∠C=45°， ∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C， ∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO和△PDE中 ， ∴△BPO≌△PDE（AAS）； （2）证明：由（1）可得：∠3=∠4， ∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP=∠3， ∴∠ABP=∠4， 在△ABP和△CPD中 。 ∴△ABP≌△CPD（AAS）， ∴AP=CD． （3）解：CD′及AP′的数量关系是CD′=理由是：如图， 2AP′． 3 设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO， 则AP=2x+x=3x， 由（2）知BO=PE， 56 / 193

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PE=2x，CE=2x-x=x， ∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°， ∴DE=x，由勾股定理得：CD=2x， 即AP=3x，CD=2x， ∴CD′及AP′的数量关系是CD′=2AP′ 317．（2013•淄博）分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF． （1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF及EF的关系（只写结论，不需证明）； （2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°， ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°， ∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA， ∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA， ∴∠FDG=∠EAF， ∵在△EAF和△GDF中， ， ∴△EAF≌△GDF（SAS）， ∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA， ∴∠GFE=90°， ∴GF⊥EF； （2）GF⊥EF，GF=EF成立； 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°， ∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形， ∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°， 57 / 193

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∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°， ∴∠EAF+∠CDF=45°， ∵∠CDF+∠GDF=45°， ∴∠FDG=∠EAF， ∵在△EAF和△GDF中， ， ∴△EAF≌△GDF（SAS）， ∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA， ∴∠GFE=90°， ∴GF⊥EF． 18．（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 18．（1）证明：如图， ∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5， ∴EF=12252=13， ∴OC=1EF=6.5； 2（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 证明：当O为AC的中点时，AO=CO， 58 / 193

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∵EO=FO，

∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°，

∴平行四边形AECF是矩形． 19．（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．

（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；

（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．

19．解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC， ∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中， ，

∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF，

∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x， 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP， ∴△PDM∽△BAP， ∴， 即，

∴DM=，

当x=2时，DM有最大值为1． 20．（2013•宁夏）在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；

（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB及BC应满足什么关系？

20．解：（1）如图，延长PE交CD的延长线于F，

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设AP=x，△CPE的面积为y， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=DC=6，AD=BC=8， ∵Rt△APE，∠A=60°， ∴∠PEA=30°， ∴AE=2x，PE=3x， 在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x， ∴DF=1DE=4-x， 2∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴PF⊥CD， ∴S△CPE=1PE•CF， 2即y=321×3x×（10-x）=-x+53x， 223（x-5）2+， 2配方得：y=-当x=5时，y有最大值， 即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是； （2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°， ∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°， ∵∠ADC=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°， ∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形， 过D作DM⊥CE于M，则CM=在Rt△CMD中，∠ECD=30°， ∴cos30°=， ∴CM=1CE， 23CD， 2∴CE=3CD， 60 / 193

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∵BC=CE，AB=CD， ∴BC=3AB， 则当△CPE≌△CPB时，BC及AB满足的关系为BC=3AB． 21．（2013•南平）在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 AB=k． BC（1）证明：△BGF是等腰三角形； （2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？ （3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立． 利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围． 21．解：（1）证明：∵EF⊥AC于点F， ∴∠AFE=90° ∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点， ∴GF=1AE， 21AE， 2在Rt△ABE中，同理可得BG=∴GF=GB， ∴△BGF为等腰三角形； （2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60° ∵GF=GB=AG， ∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE ∴∠BGF=2∠BAC， ∴∠BAC=30°， ∴∠ACB=60°， ∴AB=tan∠ACB=3， BC∴当k=3时，△BGF为等边三角形； （3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=1∠BGF， 261 / 193

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∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°， ∴∠BAC＜45°， ∴AB＞BC， ∴k=AB＞1； BC当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°， ∴∠BAC=45° ∴AB=BC， ∴k=AB=1； BC当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°， ∴∠BAC＞45° ∴AB＜BC， ∴k=AB＜1； BC∴0＜k＜1． 22．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线及ED的延长线交于点P． （1）求证：PC=PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；

（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为5时，求弦ED的长． 22．（1）证明：连结OC，如图， 62 / 193

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∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠OCG+∠PCG=90°， ∵ED⊥AB， ∴∠B+∠BGF=90°， ∵OB=OC， ∴∠B=∠OCG， ∴∠PCG=∠BGF， 而∠BGF=∠PGC， ∴∠PGC=∠PCG， ∴PC=PG； （2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下： 连结OG，如图， ∵点G是BC的中点， ∴OG⊥BC，BG=CG， ∴∠OGB=90°， ∵∠OBG=∠GBF， ∴Rt△BOG∽Rt△BGF， ∴BG：BF=BO：BG， ∴BG2=BO•BF， ∴CG2=BO•BF； （3）解：连结OE，如图， 由（2）得BG⊥BC， ∴OG=5， 在Rt△OBG中，OB=5， ∴BG=OB2OG2=25， 63 / 193

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由（2）得BG2=BO•BF， ∴BF=20=4， 5∴OF=1， 在Rt△OEF中，EF=OE2OF2=26， ∵AB⊥ED， ∴EF=DF， ∴DE=2EF=46． 23．（2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F； （1）求EF的长； （2）过点F作直线l分别及直线AO、直线BC交于点H、G； ①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明； ②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它及GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）； （3）在（2）中，若点M（2，3），探索2PO+PM的最小值． 23．（1）解：解法一：在正方形OABC中， ∠FOE=∠BOA=1∠COA=45°． 2∵EF∥AB， ∴∠FEO=∠BAO=90°， ∴∠EFO=∠FOE=45°， 又E（-2，0）， ∴EF=EO=2． 解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0）， ∴OA=AB=6，EO=2， ∵EF∥AB， ∴，即， 64 / 193

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∴EF=6×=2． （2）①画图，如答图1所示： 26 证明：∵四边形OABC是正方形， ∴OH∥BC， ∴△OFH∽△BFG， ∴； ∵EF∥AB， ∴； ∴． ②证明：∵半圆及GD交于点P， ∴OP=OH． 由①得：， 又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4， ∴=1． 2通过操作、观察可得，4≤BG≤12． （3）解：由（2）可得：OP1=， BG2∴2OP+PM=BG+PM． 如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形， ∴NK=BG． 65 / 193

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∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，

当点P及点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立． 又∵NK+KM≥MN=8，

当点K在线段MN上时，等号成立．

∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8． 24．（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P． （1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长； （2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．

探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边及△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

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24．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示： 由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°， ∴CF=BC•sin30°=3×3=3， 33=1． 3∴CP=CF•tan∠CFP=3×过点A作AG⊥BC于点G，则AG=∴PG=CG-CP=13BC=， 2231-1=． 22在Rt△APG中，由勾股定理得： AP= （2）由（1）可知，FC=3． 如答图2所示，以点A为圆心，以FC=3长为半径画弧，及BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=3． 3110AG2PG2()2()2． 222 67 / 193

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过点A过AG⊥BC于点G，则AG=13BC=． 22在Rt△AGP1中，cos∠P1AG=， ∴∠P1AG=30°， ∴∠P1AB=45°-30°=15°； 同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°． ∴∠PAB的度数为15°或75°． 探究二：△AMN的周长存在有最小值． 如答图3所示，连接AD． ∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点， ∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°． ∵∠EDF=90°，∠ADC=90°， ∴∠MDA=∠NDC． ∵在△AMD及△CND中， ， ∴△AMD≌△CND（ASA）． ∴AM=CN． 设AM=x，则CN=x，AN=AC-CN=在Rt△AMN中，由勾股定理得： MN=322BC-CN=-x． 22AM2AN2x2(329x)22x232x=． 2232+， 2△AMN的周长为：AM+AN+MN=当x=32时，有最小值，最小值为=． 4∴△AMN周长的最小值为． 点评：本题是几何综合题，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．难点在于第（3）问，由发现并证明△AMD≌△CND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．

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专题五 数学思想方法（一）

（整体思想、转化思想、分类讨论思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识及能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数及方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想及方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察及分析，找出整体及局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

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整体是及局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 （2013•吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．

思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可． 解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1． 故答案是：1．

点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 对应训练 1．（2013•福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是 ． 1．1000

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知及未知、数量及图形、图形及图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m及蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．

思路分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

解：如图：

∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m及蚊子相对的点A处， ∴A′D=0.5m，BD=1.2m，

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∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=． AD2BD20.521.22=1.3（m）故答案为：1.3． 点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

对应训练 2．（2013•宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 ． 2．4.8 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， 如图，连接CP， ∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E， ∴四边形DPEC是矩形， ∴DE=CP， 当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小， ∴DE=CP=68 =4.8， 10故答案为4.8．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想及归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也

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不遗漏．

例3 （2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）及印刷份数x（份）之间的关系如图所示：

（1）填空：甲种收费的函数关系式是 ． 乙种收费的函数关系式是 ．

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；

（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式． 解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得 ，12=100k1， 解得：，k1=0.12，

∴y1=0.1x+6，y2=0.12x； （2）由题意，得

当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300； 当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300； 当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300； ∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算； 当x=100时，甲乙两种方式一样合算； 当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算． 故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x．

点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点． 对应训练 3．（2013•牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）． （1）请你设计出进货方案；

（2）求出总利润y（元）及购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和

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帐篷的方案． 3．解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40-x）台，由题意，得

2500x2800(40-x)1057003000x3200(40-x)123200， 解得：21≤x≤24， ∵x为整数，

∴x=21，22，23，24 ∴有4种购买方案：

方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台； 方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台； 方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台； 方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；

（2）由题意，得

y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x）， =500x+16000-400x， =100x+16000． ∵k=100＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴x=24时，y最大=18400元．

（3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得 2500a+2800b+500c=18400， c=．

∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为整数，

∴184-25a-28b＞0，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小． 当a=2，b=2时，184-25a-28b=78，舍去； 当a=2，b=3时，184-25a-28b=50，故c=10； 当a=3，b=2时，184-25a-28b=53，舍去； 当a=3，b=3时，184-25a-28b=25，故c=5； 当a=3，b=4时，184-25a-28b=-2，舍去， 当a=4，b=3时，184-25a-28b=0，舍去． ∴有2种购买方案：

方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶， 方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．

四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013•杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（ ） A．-10 B．-40 C．10 D．40 1．A 2．（2013•黄冈） 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（73 / 193

）

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A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π 2．C 3．（2013•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

3．B 4．（2013•齐齐哈尔）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（ ） A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 4．C 5．（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） A．25 cm

B．45cm C．25 cm或45cm D．2cm或43cm

5．C 6．（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 6．B 7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．18 7．B 8．（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ） A．

 2B．

 3C．

 4D．π

8．A

二、填空题

9．（2013•枣庄）若a2−b2＝9．11，a−b＝ ，则a+b的值为 ． 631 210．（2013•雅安）若（a-1）2+|b-2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ． 10．5 11．（2013•宿迁）已知⊙O1及⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是 ． 74 / 193

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11．8或2 12．（2013•咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为 ． 12．22

13．（2013•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象及x轴只有一个公共点，则常数m的值是 ． 13．0或1 14．（2013•黄石）若关于x的函数y=kx2+2x-1及x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ． 14．0或-1 15．（2013•雅安）在平面直角坐标系中，已知点A（-5，0），B（5，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标 ． 15．（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0） 16．（2013•绥化）直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 cm2．（结果保留π） 16．24π，36π，84π 517．（2013•绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A及双曲线y=3上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是 ． x 17．2或-2 18．（2013•广东）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）． 18．3 8 19．（2013•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且及x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M及直线l相交于A，B两点，若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为 ． 75 / 193

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19．（22，0）或（-22，0）

20．（2013•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．

20．（2，4）或（3，4）或（8，4） 21．（2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 ． 21．（0，12）或（0，-12） 22．（2013•泰州）如图，⊙O的半径为4cm，直线l及⊙O相交于A、B两点，AB=43cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P及⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是 ． 22．d＞5cm或2cm≤d＜3cm 23．（2013•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ及圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF-FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是 ． 76 / 193

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23．18cm、31cm 24．（2013•乐亭县一模）如图，已知直线y=x+4及两坐���轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA及y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是 ．

24．8-22和8+22 25．（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．

25．5 26．（2013•天门）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小是 ．

26．15°或165°

三、解答题 27．（2013•湖州）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）及种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）及种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．

（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是 元，小张应得的工资总额是 元，此时，小李种植水果 亩，小李应得的报酬是 元； （2）当10＜n≤30时，求z及n之间的函数关系式； （3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w及m之间的函数关系式．

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27．：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是小张应得的工资总额是：140×20=2800元， 此时，小李种植水果：30-20=10亩， 小李应得的报酬是1500元； 故答案为：140；2800；10；1500； （2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0）， ∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900）， ∴， 解得， 所以，z=120n+300（10＜n≤30）； （3）当10＜m≤30时，设y=km+b， ∵函数图象经过点（10，160），（30，120）， ∴， 解得， ∴y=-2m+180， ∵m+n=30， ∴n=30-m， ∴①当10＜m≤20时，10＜n≤20， w=m（-2m+180）+120n+300， =m（-2m+180）+120（30-m）+300， =-2m2+60m+3900， ②当20＜m≤30时，0＜n≤10， w=m（-2m+180）+150n， =m（-2m+180）+150（30-m）， =-2m2+30m+4500， 1（160+120）=140元， 2 -2m260m3900(10m20)所以，w及m之间的函数关系式为w=． -2m230m4500(20m30)28．（2013•杭州）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），及y78 / 193

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轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=3x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着4x的增大而减小时，求自变量x的取值范围． 28．解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8． 分类讨论：①n=8时，易得A（-6，0）如图1， ∵抛物线经过点A、C，且及x轴交点A、B在原点的两侧， ∴抛物线开口向下，则a＜0， ∵AB=16，且A（-6，0）， ∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x==2， 要使y1随着x的增大而减小，则a＜0， ∴x＞2； （2）n=-8时，易得A（6，0），如图2， ∵抛物线过A、C两点，且及x轴交点A，B在原点两侧， ∴抛物线开口向上，则a＞0， ∵AB=16，且A（6，0）， ∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称， ∴对称轴直线x==-2， 要使y1随着x的增大而减小，且a＞0， ∴x＜-2． 29．（2013•随州）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．

（1）在这段时间内，海监船及灯塔P的最近距离是多少？（结果用根号表示） （2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（参数数据： 精确到0.1海里） 2≈1.414， 3≈1.732， 62.449．结果79 / 193

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29．解：（1）如图，过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船及灯塔P的最近距离． 由题意，得∠APC=90°-45°=45°，∠B=30°，AP=100海里． 在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°， ∴PC=AC=2AP=502海里； 2（2）在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=502海里， BC=3PC=506海里， ∴AB=AC+BC=502+506=50（2+6）≈50（1.414+2.449）≈193.2（海里）， 答：轮船航行的距离AB约为193.2海里． 30．（2013•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口602海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？ 80 / 193

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30．解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°， ∴CD=1×602=302海里， 2∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°， ∴BC=302×2=60海里， 60÷60=1（小时）． 答：从B处到达C岛需要1小时． 31．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P及点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4． （1）判断线段AP及PD的大小关系，并说明理由； （2）连接OD，当OD及半圆C相切时，求AP的长； （3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y及x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．31．解：（1）AP=PD．理由如下： 如图①，连接OP． ∵OA是半圆C的直径， ∴∠APO=90°，即OP⊥AD． 又∵OA=OD， ∴AP=PD； （2）如图①，连接PC、OD． ∵OD是半圆C的切线， ∴∠AOD=90°． 由（1）知，AP=PD． 又∵AC=OC， ∴PC∥OD， ∴∠ACP=∠AOD=90°， ∴AP的长==π； 81 / 193

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（3）分两种情况： ①当点E落在OA上（即0＜x≤22时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED． 又∵∠A=∠A， ∴△APO∽△AED， ∴． ∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y， ∴， ∴y=-12x+4（0＜x≤22）； 2②当点E落在线段OB上（即22＜x＜4）时，如图③，连接OP． 同①可得，△APO∽△AED， ∴． ∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y， ∴， ∴y=

12x+4（22＜x＜4）． 2专题六 数学思想方法（二）

（方程思想、函数思想、数形结合思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识及能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数及方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想及方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲

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考点四：方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例4 （2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA及⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长． 思路分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D； （2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长． 解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∵DC=CB， ∴AD=AB， ∴∠B=∠D； （2）解：设BC=x，则AC=x-2， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， ∴（x-2）2+x2=42， 解得：x1=1+7，x2=1-7（舍去）， ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E， ∴CD=CE， ∵CD=CB， ∴CE=CB=1+7． 点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想及数形结合思想的应用．

对应训练 4．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线及地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41， 83 / 193

3≈1.73） 河南中考数学复习专题

4．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， 设CD=x， 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 则AD=3CD=3x， 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， 则BD=CD=x， 由题意得，3x-x=4， 解得：x==2（3+1）≈5.5． 答：生命所在点C的深度为5.5米．

考点五：函数思想

函数思想是用运动和变化的观点，集合及对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

例5 （2013•凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）． （1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）及运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？ （2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．

思路分析：（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式；

（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可． 解：（1）∵每天运量×天数=总运量 ∴nt=4000 ∴n=；

（2）设原计划x天完成，根据题意得：

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(1-20%)=。 解得：x=4 经检验：x=4是原方程的根， 答：原计划4天完成． 点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． 对应训练 5．（2013•济南）某地计划用120-180天（含120及180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3． （1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）及平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？ 2．解：（1）由题意得，y=把y=120代入y=360， x360，得x=3， x360把y=180代入y=，得x=2， x∴自变量的取值范围为：2≤x≤3， ∴y=360（2≤x≤3）； x （2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3， 根据题意得：360-=24 x解得：x=2.5或x=-3 经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去， 答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．

考点六：数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。

例6 （2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ．

思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可． 解：如图所示，满足条件的点P有6个，

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分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（-5，0）（0，-5）． 故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标及图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便．

对应训练 6．（2013•南充）如图，函数y1=的取值范围是（ ） A．x＞1

C．-1＜x＜0或x＞1

k1及y2=k2x的图象相交于点A（1，2）和点B，当y1＜y2时，自变量xxB．-1＜x＜0

D．x＜-1或0＜x＜1

6．C

四、中考真题训练 一、选择题 1．（2013•六盘水）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（ ） A． B． C． D．

1．D 2．（2013•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

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A．4 B．3 C．2 D．1 2．C 3．（2013•娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2

4．C 5．（2013•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l及⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 5．C 6．（2013•鞍山）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（ ） A．45° B．35° C．25° D．20°

6．A

7．（2013•黔东南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0 D．a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0

7．D 8．（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m， 3≈1.73）．

A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m 8．D 9．（2013•娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（ ） A．4.8cm B．9.6cm C．5.6cm D．9.4cm 9．B 10．（2013•曲靖）某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x及人口数n的函数关系图象是（ ） A． 10．B

B．

C．

D．

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11．（2013•凉山州）如图，正比例函数y1及反比例函数y2相交于点E（-1，2），若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A．C．

B． D．

11．A 12．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c，N=4a-2b+c，P=2a-b．则M，N，P中，值小于0的数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

12．A 13．（2013•杭州）在▱ABCD中，下列结论一定正确的是（ ） A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180° C．AB=AD D．∠A≠∠C

13．B 14．（2013•乌鲁木齐）如图，半圆O及等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=2-1，则△ABC的周长为（ ） A．4+22 B．6

C．2+22 D．4

14．A 15．（2013•德阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的面积是（ ） A．22 B．2 C．32 88 / 193

D．42 河南中考数学复习专题

15．A

16．（2013•绍兴）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：

（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；

（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ） A．BD2= OD

B．BD2=OD

C．BD2=5OD D．BD2=15OD 2

16．C 17．（2013•杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=1， x12＞a＞a，那么0＜a＜1； a12②如果a＞a＞，那么a＞1； a12③如果＞a＞a，那么-1＜a＜0； a12④如果a＞＞a时，那么a＜-1． a①如果则（ ） A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③

17．A

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二、填空题 18．（2013•岳阳）如图，点P（-3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为 ． 18．（2，2） 19．（2013•平凉）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米． 19．5 20．（2013•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为 ． 20．（4，2） 21．（2013•昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个． 21．8 22．（2013•杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1-S2|= （平方单位） 22．4π 23．（2013•自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是 ． 23．25 590 / 193

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24．（2013•广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 cm． 1圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个5 24．3 25．（2013•江西）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为 ． 26．26 27．（2013•包头）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE及AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为 ．

27．4

三、解答题 28．（2013•齐齐哈尔）如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）． （1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1 （2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）

28．解：（1）如图所示：△O1A1B1，即为所求；

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（2）如图所示：△OA2B2，即为所求， ∵AO=123210， ∴点A旋转到A2所经过的路径长为：π． 29．（2013•齐齐哈尔）甲乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）及甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶． （1 ）A、B两地的距离 千米；乙车速度是 ；a表示 ． （2）乙出发多长时间后两车相距330千米？ 29．解：（1）t=0时，S=560， 所以，A、B两地的距离为560千米； 甲车的速度为：（560-440）÷1=120km/h， 设乙车的速度为xkm/h， 则（120+x）×（3-1）=440， 解得x=100； 相遇后甲车到达B地的时间为：（3-1）×100÷120=所以，a=（120+100）×=5小时， 351100千米； 33 （2）设直线BC的解析式为S=k1t+b1（k1≠0）， 将B（1，440），C（3，0）代入得， ， 解得， 所以，S=-220t+660， 当-220t+660=330时，解得t=1.5， 所以，t-1=1.5-1=0.5； 直线CD的解析式为S=k2t+b2（k2≠0）， 514+3=， 33141100将C（3，0），D（，）代入得， 33点D的横坐标为92 / 193

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， 解得， 所以，S=220t-660， 当220t-660=330时，解得t=4.5， 所以，t-1=4.5-1=3.5， 答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距330千米． 30．（2013•南宁）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）及行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： （1）写出A、B两地直接的距离； （2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． 30．解：（1）x=0时，甲距离B地30千米， 所以，A、B两地的距离为30千米； （2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时， 乙的速度：30÷1=30千米/时， 30÷（15+30）=2， 32×30=20千米， 3所以，点M的坐标为（22，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米； 33 （3）设x小时时，甲、乙两人相距3km， ①若是相遇前，则15x+30x=30-3， 解得x=3， 5②若是相遇后，则15x+30x=30+3， 解得x=11， 159， 5③若是到达B地前，则15x-30（x-1）=3， 解得x=93 / 193

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所以，当3119≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系． 5155

31．（2013•天门）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（-3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出不等式m＞kx+b的解集． x 31．解：（1）∵点A（-3，2）在双曲线y=∴2=m上， xm，即m=-6， 36， x∴双曲线的解析式为y=-∵点B在双曲线y=-6上，且OC=6BC， x设点B的坐标为（a，-6a）， ∴-6a=-6，解得：a=±1（负值舍去）， a∴点B的坐标为（1，-6）， ∵直线y=kx+b过点A，B， ∴， 解得：． ∴直线的解析式为y=-2x-4； 32．（2013•衢州）如图，函数y1=-x+4的图象及函数y2=两点． （1）求函数y2的表达式； （2）观察图象，比较当x＞0时，y1及y2的大小． k2（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）x94 / 193

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32．解：（1）把点A坐标代入y1=-x+4， 得-a+4=1， 解得：a=3，…（1分） ∴A（3，1）， 把点A坐标代入y2=∴k2=3， ∴函数y2的表达式为：y2=k2， x3； x（2）∴由图象可知， 当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2， 当x=1或x=3时，y1=y2， 当1＜x＜3时，y1＞y2． （2）根据图象得：不等式m＞kx+b的解集为-3＜x＜0或x＞1． x 33． （2013•鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同一直线上）问： （1）楼高多少米？ （2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：3≈1.73， 2≈1.41， 5≈2.24） 33．解：（1）设楼高为x米，则CF=DE=x米， ∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°， ∴AC=3x米，BD=x米， 95 / 193

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∴3x+x=150-10， 解得x==70（3-1）（米）， ∴楼高70（3-1）米． （2）x=70（3-1）≈70（1.73-1）=70×0.73=51.1米＜3×20米， ∴我支持小华的观点，这楼不到20层． 34．（2013•十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 30 50 售价（元/盏） 45 70 （1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 34．解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100-x）盏， 根据题意得，30x+50（100-x）=3500， 解得x=75， 所以，100-75=25， 答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏； （2）设商场销售完这批台灯可获利y元， 则y=（45-30）x+（70-50）（100-x）， =15x+2000-20x， =-5x+2000， ∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴100-x≤3x， ∴x≥25， ∵k=-5＜0， ∴x=25时，y取得最大值，为-5×25+2000=1875（元） 答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元． 35．（2013•衢州）“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）及检票时间x（分钟）的关系如图所示． （1）求a的值． （2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数． （3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？ 35．解：（1）由图象知，640+16a-2×14a=520， ∴a=10； 96 / 193

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（2）设当10≤x≤30时，y及x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， y=-26x+780，当x=2时， y=260， 即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人． （3）设需同时开放n个检票口，则由题意知 14n×15≥640+16×15 解得：n≥44， 21∵n为整数， ∴n=5． 答：至少需要同时开放5个检票口． 36．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F． 求证：OE=OF． 36．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF， ∵在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）， ∴OE=OF． 37．（2013•营口）某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．同时把调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角是多少度？ （4）若全校有1600名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？ 37．解：（1）24÷30%=80（名）， 答：这次调查一共抽取了80名学生； 97 / 193

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（2）80×20%=16（名）， 补全条形统计图，如图所示； （3）根据题意得：360°×26=117°， 80答：在扇形统计图中，“公交车”部分所对应的圆心角为117°； （4）根据题意得：1600×10=200（名）， 80答：估计该校乘坐私家车上学的学生约有200名． 38．（2013•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不及B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E． （1）求证：△APB∽△PEC； （2）若CE=3，求BP的长． 39．（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠APC=∠B+∠BAP， 即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP， ∵∠APE=∠B， ∴∠BAP=∠EPC， ∴△APB∽△PEC； （2）解：过点A作AF∥CD交BC于点F， 98 / 193

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则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形， ∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4， ∵△APB∽△PEC， ∴，

设BP=x，则PC=7-x， ∵EC=3，AB=4， ∴，

解得：x1=3，x2=4，

经检验：x1=3，x2=4是原分式方程的解， ∴BP的长为：3或4． 40．（2013•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平行线交⊙O及点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线及点E、F． （1）求证：AF⊥EF．

（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．

40．证明：（1）如图，连接DO，

∵EF是⊙O的切线， ∴OD⊥EF，

∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD， ∴CDBD，

∴OD⊥BC， ∴BC∥EF， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 即AC⊥BC， ∴AF⊥EF；

（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，

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∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， 即AD⊥BH，

∴∠ADB=∠ADH=90°， 在△ABD和△ADH中， ，

∴△ABD≌△AHD（ASA）， ∴AH=AB， ∵EF是切线，

∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，∴∠EDF=∠HDF，

∵DF⊥AF，DF是公共边， ∴△CDF≌△HDF（ASA）， ∴FH=CF，

∴AF+CF=AF+FH=AH=AB． 即AF+CF=AB。

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专题七 归纳猜想型问题

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能及现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想及科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ．

（n-1）

思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2，a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8．

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为 ． 1．（-2）n-1xn

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2 （2013•牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是 ．

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思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；

解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个； 第2个图形共有三角形5+3×2-1个； 第3个图形共有三角形5+3×3-1个； 第4个图形共有三角形5+3×4-1个； …；

则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4

点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形及前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

例3 （2013•绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．

思路分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上． 解：∵1在射线OA上， 2在射线OB上， 3在射线OC上， 4在射线OD上， 5在射线OE上， 6在射线OF上， 7在射线OA上， …

每六个一循环， 2013÷6=335…3，

∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样， ∴所描的第2013个点在射线OC上． 故答案为：OC．

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．

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对应训练 2．（2013•娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需 根火柴棒．

2．2n+1 3．（2013•江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）．

3．（n+1）2

解：第1个图形中点的个数为：1+3=4， 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9， 第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16， …，

第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2． 故答案为：（n+1）2．

考点三：猜想坐标变化规律

例3 （2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1及点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2及点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3及点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4及点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5及点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为 ．

思路分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标． 解：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0）， 从而可得出6次一个循环， ∵=335…3，

∴点P2013的坐标为（0，-2）． 故答案为：（0，-2）．

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点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．

对应训练 3．（2013•兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 ．

3．（8052，0）

考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证． 解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，

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∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

AOEOBGAEOOGB90， OAOB∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，

∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF， ∴AF-OE=OE-BF， ∴AF+BF=2OE；

（2）图2结论：AF-BF=2OE， 图3结论：AF-BF=2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG，

∵在△AOE和△OBG中，

AOEOBGAEOOGB90， OAOB∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，

∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF， ∴AF-OE=OE+BF， ∴AF-BF=2OE；

若选图3，其证明方法同上．

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，同角的余角相等的性质，

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作辅助线构造出全等三角形及矩形是解题的关键，也是本题的难点．

对应训练 4．（2013•锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点及正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM及AB之间的数量关系．并证明你的猜想． 1∠2 4．（1）EF=BE+DF， 证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°， 在△ADF和△ABQ中 ， ∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠DAB=90°，∠FAE=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠BAQ=45°， 即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中 ， ∴△EAQ≌△EAF， 106 / 193

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∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF． （2）解：AM=AB， 理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴11×BQ×AB=×FE×AM， 22∴AM=AB． （3）AM=AB， 证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵折叠后B和D重合， ∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=在△ADF和△ABQ中 ， ∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠FAE=1∠BAD， 21∠BAD， 21∠BAD， 2∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中 ∴△EAQ≌△EAF， ∴EF=BQ， ∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴11×BQ×AB=×FE×AM， 22∴AM=AB．

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

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例5 （2013•张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ． 思路分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长． 2解：由勾股定理得：OP4=21=5， ∵OP1=211；得OP2=3依此类推可得OPn=n1， ∴OP2012=20121故答案为：2013． 21；OP3=2=431； 2013， 点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．

对应训练 5．（2013•黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为 ．

5．

33 4

考点六：猜想数字求和 例6 （2013•广安）已知直线y=（n为正整数）及坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ． 思路分析：令x=0，y=0分别求出及y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可． 1， n2n11令y=0，则-x+=0， n2n2解：令x=0，则y=108 / 193

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解得x=1， n1所以，Sn==， 所以，S1+S2+S3+…+S2012=1111111(223344511) 20132014==． 故答案为：． 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点． 对应训练 6．（2013•黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是 ． 6．1014049

四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013•南平）给定一列按规律排列的数： ，…，则这列数的第6个数是（ ） A．

6 37B．

6 35C．

5 31D．

7 391．A 2．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，…，则第（10）个图形的面积为（ ）

A．196cm2 B．200cm2 C．216cm2 2．B 3．（2013•呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（ ）根火柴．

D．256cm2

A．156 B．157 C．158 D．159 3．B 4．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个

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图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）

A．51 B．70 C．76 D．81 4．C 5．（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ） A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）

5．D 6．（2013•济宁）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（ ） A．

5 cm2 4B．

5 cm2 8C．

5cm2 16D．

5 cm2 32

6．B

二．填空题 7．（2013•沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 ． 7．82+92+722=732 8．（2013•曲靖）一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出2013支“穿心箭”是 ．

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8． 9．（2013•三明）观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是 ． ，… 9． 10．（2013•莱芜）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为 ． 10．7 11．（2013•红河州）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有 个实心圆． 11．42 12．（2013•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a1＝1−1，a2＝，a3＝，a4＝，…，试猜想第n个等式（n2为正整数）：an= ． 12． 13．（2013•遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 ． 13．6n+2 14．（2013•深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有 个正方形． 14．91 15．（2013•南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1＝且n为正整数），则a2013的值为 （结果用数字表示）． 15．-1 16．（2013•大庆）已知 ，，，… 依据上述规律，计算 1，a2＝，a3＝，…，an＝（n≥221+…的结果为 （写成一个分数的形式）。 35111 / 193

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16．6 1317．（2013•崇左）如图是三种化合物的结构式及分子式．请按其规律，写出后面第2013种化合物的分子式 ． 17．C2013H4028 18．（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1 （0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为 （用n表示） 18．（2n，1） 19．（2013•天水）观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32012+32013 ①， ①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014 ②， ②-①得2S=32014-1，S= ． 运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013= ． 19． 20．（2013•龙岩）对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=- ⊕5= 33，2⊕1= ，（-2）222121，5⊕（-2）=- ，…，则a⊕b= ． 101020． 21．（2013•湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是 ． 112 / 193

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21．85 22．（2013•恩施州）把奇数列成下表，

根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是 ． 22．171 23．（2013•常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3-2=1

8+7-6-5=4

15+14+13-12-11-10=9

24+23+22+21-20-19-18-17=16 …

根据以上规律可知第100行左起第一个数是 ． 23．10200 24．（2013•抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是 ．

24．（2，-4） 25．（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2及x轴、底边A1A2及A4A5、A4A5及A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是 ，A92的坐标是 ．

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25．（0， 31），（31，-31） 26．（2013•内江）如图，已知直线l：y=3x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为 ．

26．（884736，0） 27．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是 ．

27．

1 3n128．（2013•昭通） 如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n-1）= （用n表示，n是正整数）

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28．n2 29．（2013•梅州）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ．

201329．(2)）

30．（2013•本溪）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OBA的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn及等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是 ．

30．

1 103

31．（2013•铜仁地区）如图，已知∠AOB=45°，A1、A2、A3、…在射线OA上，B1、B2、B3、…在射线OB上，且A1B1⊥OA，A2B2⊥OA，…AnBn⊥OA；A2B1⊥OB，…，An+1Bn⊥OB（n=1，2，3，4，5，6…）．若OA1=1，则A6B6的长是 ．

31．32 32．（2013•营口）按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形

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及第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形及第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形及第n个等腰直角三角形的面积和Sn= ． 32．

5 n1233．（2013•牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．

n133．(3)

34．（2013•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P及正方形的边碰撞的次数为 ，小球P所经过的路程为 ．

34．6，65 35．（2013•六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为 ．

35．，

解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，

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第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为； 第2次旋转路线是以正方形的对角线长2为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为； 第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为； 第4次旋转点O没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同， 因此4次旋转，顶点O经过的路线长为122122； 222∵61÷4=15…1，

∴经过61次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，即． 故答案分别是：，．

三．解答题 36．（2013•绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．

（1）求AB1和AB2的长．

（2）若ABn的长为56，求n． 36．解：（1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1， 第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…， ∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1， ∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11， ∴AB2的长为：5+5+6=16；

（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16， ∴ABn=（n+1）×5+1=56， 解得：n=10． 37．（2013•张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S-S=22014-1 即S=22014-1

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即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）． 37．解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S-S=211-1，即S=211-1， 则1+2+22+23+24+…+210=211-1； （2）设S=1+3+32+33+34+…+3n， 两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式减去上式得：3S-S=3n+1-1，即S=则1+3+32+33+34+…+3n=1（3n+1-1）， 21（3n+1-1）． 238．（2013•安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，… （1）观察以上图形并完成下表： 图形的名称 图1 图2 图3 图4 … 基本图的个数 1 2 3 4 … 特征点的个数 7 12 17 … 猜想：在图（n）中，特征点的个数为 （用n表示）； （2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1= ；图（2013）的对称中心的横坐标为 ．

38．解：（1）由题意，可知图1中特征点有7个； 图2中特征点有12个，12=7+5×1； 图3中特征点有17个，17=7+5×2；

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所以图4中特征点有7+5×3=22个； 由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n-1）=5n+2； （2）如图，过点O1作O1M⊥y轴于点M， 又∵正六边形的中心角∴∠BO1M=30°， ∴O1M=O1B•cos∠BO1M=2×∴x1=3； 由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为图（3）的对称中心的横坐标为360=60°，O1C=O1B=O1A=2， 63=3， 21（23×2）=23， 21（23×3）=33， 21图（4）的对称中心的横坐标为（23×4）=43， 2… ∴图（2013）的对称中心的横坐标为1（23×2013）=20133． 2故答案为22，5n+2；3，20133．

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专题八 阅读理解型问题

一、中考专题诠释

阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题. 二、解题策略及解法精讲

解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 三、中考考点精讲

考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 例1 （2013•六盘水）阅读材料： 关于三角函数还有如下的公式： sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ； tan（α±β）= 。

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

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33(33)(33)1263=2-3。 例：tan15°=tan（45°-30°）= = 63(33)(33)131根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 （1）计算：sin15°； （2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据3=1.732， 2=1.414） 思路分析：（1）把15°化为45°-30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值； （2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论． 解：（1）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=23216262； 2222444 （2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米， ∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°． 33(33)(33)1263=2+3。 ∵tan75°=tan（45°+30°）== = 63(33)(33)131∴BE=7（2+3）=14+73， ∴AB=AE+BE=1.62+14+73≈27.7（米）． 答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米． 点评：本题考查了： 121 / 193

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（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解． （2）解直角三角形的应用-仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键 对应训练 1．（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF及BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得 到△A′CD，若△A′CD及△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的1，请直接写出△ABC的面积． 4 1．分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形； （2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解． 探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积． ② 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∵AE=BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴OE=OB， ∴△AOE和△AOB是友好三角形． （2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形， 122 / 193

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∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=1AD=3， 2∵△AOB及△AOE是友好三角形， ∴S△AOB=S△AOE． ∵△AOE≌△FOB， ∴S△AOE=S△FOB， ∴S△AOD=S△ABF， ∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12． 探究： 解：分为两种情况：①如图1， ∵S△ACD=S△BCD． ∴AD=BD=121AB， 211AB=×4=2， 221， 4∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD=A′D=∵△A′CD及△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的∴S△DOC=1111S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC， 4222∴DO=OB，A′O=CO， ∴四边形A′DCB是平行四边形， ∴BC=A′D=2， 过B作BM⊥AC于M， ∵AB=4，∠BAC=30°， ∴BM=1AB=2=BC， 2即C和M重合， ∴∠ACB=90°， 22由勾股定理得：AC=42=23， ∴△ABC的面积是②如图2， 11×BC×AC=×2×23=23； 22123 / 193

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∵S△ACD=S△BCD． ∴AD=BD=1AB， 211AB=×4=2， 221， 4∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD=A′D=∵△A′CD及△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的∴S△DOC=1111S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC， 4222∴DO=OA′，BO=CO， ∴四边形A′DCB是平行四边形， ∴BD=A′C=2， 过C作CQ⊥A′D于Q， ∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°， ∴CQ=1A′C=1， 2121×2×1=2； 2∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2×即△ABC的面积是2或23． 点评：本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度． 考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 例2 （2013•齐齐哈尔）在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参及生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路350米． （1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？ （2）甲乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间124 / 193

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内完成，请问甲队可以抽调多少人？ （3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队需各做多少天？最低费用为多少？ 思路分析：（1）设甲队每天修路x米，乙队每天修路y米，然后根据两队修路的长度分别为200米和350米两个等量关系列出方程组，然后解方程组即可得解； （2）根据甲队抽调m人后两队所修路的长度不小于4000米，列出一元一次不等式，然后求出m的取值范围，再根据m是正整数解答； （3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，根据所修路的长度为4000米列出方程整理并用a表示出b，再根据0≤b≤30表示出a的取值范围，再根据总费用等于两队的费用之和列式整理，然后根据一次函数的增减性解答． 解：（1）设甲队每天修路x米，乙队每天修路y米， 依题意得，， 解得， 答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米； （2）依题意得，10×100+20××100+30×50≥4000， 解得，m≤5， 2∵0＜m＜10， ∴0＜m≤5， 2∵m为正整数， ∴m=1或2， ∴甲队可以抽调1人或2人； （3）设甲工程队修a天，乙工程队修b天， 依题意得，100a+50b=4000， 所以，b=80-2a， ∵0≤b≤30， ∴0≤80-2a≤30， 解得25≤a≤40， 又∵0≤a≤30， ∴25≤a≤30， 设总费用为W元，依题意得， W=0.6a+0.35b， =0.6a+0.35（80-2a）， =-0.1a+28， ∵-0.1＜0， ∴当a=30时，W最小=-0.1×30+28=25（万元）， 此时b=80-2a=80-2×30=20（天）． 答：甲工程队需做30天，乙工程队需做20天，最低费用为25万元． 点评：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理清题中熟练关系，准确找出等量关系及不等量关系分别列出方程组和不等式是解题的关键，（3）先根据总工作量表示出甲乙两个工程队的天数的关系是解题的关键． 125 / 193

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对应训练 2．（2013•宁波）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 进价（元/部） 售价（元/部） 甲 4000 4300 乙 2500 3000 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元． （毛利润=（售价-进价）×销售量） （1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润． 2．解：（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意，得 ， 解得：， 答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部； （2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得 0.4（20-a）+0.25（30+2a）≤16， 解得：a≤5． 设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得 W=0.03（20-a）+0.05（30+2a） =0.07a+2.1 ∵k=0.07＞0， ∴W随a的增大而增大， ∴当a=5时，W最大=2.45． 答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元． 考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 例3 （2013•连云港）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究： 问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积） 问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由． 126 / 193

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实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25， 3≈1.73） 拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（99，）、（4、2），过点p的直线l及四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，22求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值． 思路分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论； 问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论； 实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论； 拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l及四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值； 当过点P的直线l及四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较久可以求出结论． 解：问题情境：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE． ∵点E为DC边的中点， ∴DE=CE． ∵在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴S△ADE=S△FCE， ∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE， 即S四边形ABCD=S△ABF； 问题迁移：出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2， 127 / 193

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过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G， 由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON． ∵S四边形MOFG＜S△EOF， ∴S△MON＜S△EOF， ∴当点P是MN的中点时S△MON最小； 实际运用：如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1， 在Rt△OPP1中， ∵∠POB=30°， ∴PP1=1OP=2，OP1=23． 2由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小， ∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N． 在Rt△OMM1中， tan∠AOB=， 2.25=， ∴OM1=16， 916， 9∴M1P1=P1N=23-1616=43-． 99111632∴S△MON=ON•MM1=（43-）×4=83-≈10.3km2． 2299∴ON=OP1+P1N=23+23- 拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l及四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D， 128 / 193

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∵C（99，）， 22∴∠AOC=45°， ∴AO=AD． ∴A（6，0）， ∴OA=6， ∴AD=6． ∴S△AOD=1×6×6=18， 2由问题迁移的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小， ∴四边形ANMO的面积最大． 作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1， ∴M1P1=P1A=2， ∴OM1=M1M=2， ∴MN∥OA， ∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=1×2×2+2×4=10 2②如图5，当过点P的直线l及四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T， ∵C（99，）、B（6，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意，得 22， 解得：， ∴y=-x+9， 当y=0时，x=9， ∴T（9，0）． ∴S△OCT=1981××9=． 224由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小， ∴四边形CMNO的面积最大． ∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=4， ∴4=-x+9， ∴x=5， ∴M（5，4）， ∴OM1=5． ∵P（4，2）， ∴OP1=4， 129 / 193

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∴P1M1=NP1=1， ∴ON=3， ∴NT=6． 1×4×6=12， 28133∴S四边形OCMN=-12=＜10． 44∴S△MNT=∴综上所述：截得四边形面积的最大值为10．

对应训练 3．（2013•江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现： 在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可） ①AF=AG=1AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB． 2●数学思考： 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD及ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究： 在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： ．

思路分析：操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论； 数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；

类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论； 解：●操作发现：

∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形， ∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90° ∵在△ADB和△AEC中， ，

∴△ADB≌△AEC（AAS），

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∴BD=CE，AD=AE， ∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G， ∴AF=BF=DF=∵AB=AC， ∴AF=AG=11AB，AG=GC=GE=AC． 221AB，故①正确； 2∵M是BC的中点， ∴BM=CM． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE， 即∠DBM=∠ECM． ∵在△DBM和△ECM中 ， ∴△DBM≌△ECM（SAS）， ∴MD=ME．故②正确； 如图，连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合， ∴整个图形是轴对称图形，故③正确． ∵AB=AC，BM=CM， ∴AM⊥BC， ∴∠AMB=∠AMC=90°， ∵∠ADM=90°， ∴四边形ADBM四点共圆， ∴∠AMD=∠ABD=45°． ∵AM是对称轴， ∴∠AME=∠AMD=45°， ∴∠DME=90°， ∴MD⊥ME，故④正确， 故答案为：①②③④ ●数学思考： MD=ME，MD⊥ME． 理由：如图，作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG， ∴AF=11AB，AG=AC． 22131 / 193

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∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形， ∴DF⊥AB，DF=11AB，EG⊥AC，EG=AC， 22∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG． ∵M是BC的中点， ∴MF∥AC，MG∥AB， ∴四边形AFMG是平行四边形， ∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM． ∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE， ∴∠DFM=∠MGE． ∵在△DFM和△MGE中， ， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴DM=ME，∠FDM=GME． ∵MG∥AB， ∴∠GMH=∠BHM． ∵∠BHM=90°+∠FDM， ∴∠BHM=90°+∠GME， ∴∠BHM=90°+∠GME， ∵∠BHM=∠DME+∠GME， ∴∠DME+∠GME=90°+∠GME， 即∠DME=90°， ∴MD⊥ME． ∴DM=ME，MD⊥ME； ●类比探究： ∵如图3，点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点， ∴MF∥AC，MF=11AC，MG∥AB，MG=AB， 22∴四边形MFAG是平行四边形， ∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM ∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形， ∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90° ∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE， 即∠DFM=∠MGE． ∵在△DFM和△MGE中 132 / 193

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， ∴△DFM≌△MGE（SAS）， ∴MD=ME，∠MDF=∠EMG． ∵MG∥AB， ∴∠MHD=∠BFD=90°， ∴∠HMD+∠MDF=90°， ∴∠HMD+∠EMG=90°， 即∠DME=90°， ∴△DME为等腰直角三角形． 考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 例4 （2013•北京）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积． 小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 ； （2）求正方形MNPQ的面积． （3）参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=3，则AD的长为 ． 3 思路分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a； （2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积； （3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度． 解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为每个等腰直角三角形的面积为：1a， 2111a•a=a2， 224则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即及原正方形ABCD面积相等 14133 / 193

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∴这个新正方形的边长为a． 故填空答案为：a． （2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2， ∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2． （3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W． 12 由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长． 不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a． 如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=11SF=a， 22 在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=331a×=a， 362∴S△RSF=3321a•a=a． 6122过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x， 则AN=AR•sin30°=1x，SD=2ND=2ARcos30°=3x， 2∴S△ADS= 32111SD•AN=•3x•x=x． 4222134 / 193

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∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS， ∴323232a=a，正△ABC的面积为a， 1244332422=3×x，得x2=，解得x=或x=-（不合题意，舍去） 3493322，即AD的长为． 332故填空答案为：． 3∴x=点评：本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力． 对应训练 4．（2013•河北）一透明的敞口正方体容器ABCD-A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并及棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示． 解决问题： （1）CQ及BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积SBCQ×高AB） （3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=33，tan37°= ） 44 拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面及棱C′C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y．分别就图3和图4求y及x的函数关系式，并写出相应的α的范围． 延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3． 135 / 193

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4．解：（1）CQ∥BE，BQ=5242=3； （2）V液= （3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=1×3×4×4=24（dm3）； 23， 4∴α=∠BCQ=37°． 当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°， ∵液体体积不变， ∴1（x+y）×4×4=24， 2∴y=-x+3． 当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y=12； 4x当液面恰好到达容器口沿，即点Q及点B′重合时，如图5， 1PB•BB′×4=24，得PB=3， 23∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°． 4由BB′=4，且∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°； 延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H． 在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°， ∴HB′=23． ∴MG=BH=4-23＜MN． 此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱． 136 / 193

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∵S△NFM+SMBB′G=311××1+（4-23+4）×2=8-． 232∴V溢出=24-4（8-）=-8＞4（dm3）． ∴溢出液体可以达到4dm3． 四、中考真题演练 1．（2013•义乌）在义乌市中小学生“我的中国梦”读数活动中，某校对部分学生做了一次主题为：“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．

请你结合图中信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生；

（2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的学生有 人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 %；

（3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校共有学生1500人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人？ 1．解：（1）共调查的学生数： 40÷20%=200（人）；

（2）最喜爱丁类图书的学生数：200-80-65-40=15（人）； 最喜爱甲类图书的人数所占百分比：80÷200×100%=40%； （3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得： x+1.5x=1500×20%， 解得：x=120，

当x=120时，5x=180．

答：该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有180人，120人． 2．（2013•天门）垃圾的分类处理及回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：

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根据图表解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共 吨； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占 1，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该5城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 2．解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%， ∴垃圾总量为5÷10%=50吨， 故B类垃圾共有50×30%=15吨， 故统计表为： （2）∵C组所占的百分比为：1-10%-30%-54%=6%， ∴有害垃圾为：50×6%=3吨； （3）5000×54%×1×0.7＝378（吨）， 5答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料． 3．（2013•河北）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生138 / 193

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每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵． 3．解：（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3； （2）众数为5，中位数为5； （3）①第二步；②x=44586672=5.3， 20估计260名学生共植树5.3×260=1378（颗）． 4．（2013•海南）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-5，1）、（-1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）点C1的坐标是 ；点C2的坐标是 ；过C、C1、C2三点的圆的圆弧CC1C2的长是 （保留π）． 139 / 193

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4．解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）C1（1，4），C2（1，-4）， 根据勾股定理，OC=124217， 过C、C1、C2三点的圆的圆弧是以CC2为直径的半圆，CC1C2的长=17π． 故答案为：（1，4）；（1，-4）；17． 5．（2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=3+1，AD=3． （1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为 ； （2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为 ； 140 / 193

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（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π） 5．解：（1）∵△ADE反折后及△AD′E重合， ∴AD′=AD=D′E=DE=3， ∴AE= （2）∵由（1）知AD′=3， ∴BD′=1， ∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′， ∴B′D′=BD′=1， ∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=3， ∴四边形ADED′是正方形， ∴B′F=AB′=3-1， ∴S梯形B′FED′= （3）∵∠C=90°，BC=3，EC=1， ∴tan∠BEC=， ∴∠BEC=60°， 由翻折可知：∠DEA=45°， ∴∠AEA′=75°=∠D′ED″， AD2DE2(3)2(3)26； 111（B′F+D′E）•B′D′=（3-1+3）×1=3-； 22275•2π•3=． 3601故答案为：6；3-． 2∴DD= 6．（2013•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分． 141 / 193

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（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为 平方千米； （2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量及日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）． 第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表： 日接待游客量 （万人次） 0.8 2.3 8（预计） 1.9（预计） 单日最多接待游客量 （万人次） 6 8.2 20（预计） 7.4（预计） 停车位数量 （个） 约3000 约4000 约10500 约 第七届 第八届 第九届 第十届 6．解：（1）∵月季园面积为0.04平方千米，月季园所占比例为20%， 则牡丹园的面积为：15%×0.04=0.03（平方千米）； 20%（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米）， 则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米）， 第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米）， 则水面面积为1.5平方千米， 如图： 142 / 193

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；

（3）由图标可得，停车位数量及单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500， 则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.4≈3700． 故答案为：0.03；3700． 7．（2013•六盘水）（1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，及直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好及点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ． （2）实践运用

如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．

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（3）拓展延伸 如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 7．解：（1）观察发现 如图（2），CE的长为BP+PE的最小值， ∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点 ∴CE⊥AB，∠BCE=∴CE=3BE=3； 故答案为3； （2）实践运用 如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB， 1∠BCA=30°，BE=1， 2 ∵BE⊥CD， ∴CD平分BE，即点E及点B关于CD对称， ∵AC的度数为60°，点B是AC的中点， ∴∠BOC=30°，∠AOC=60°， ∴∠EOC=30°， ∴∠AOE=60°+30°=90°， ∵OA=OE=1， ∴AE=2OA=2， ∵AE的长就是BP+AP的最小值． 故答案为2； （3）拓展延伸 144 / 193

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如图（4）． 8．（2013•盐城）阅读材料 如图①，△ABC及△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD． 解决问题 （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF及CD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图③，若△ABC及△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF及CD之间的数量关系； （3）如图④，若△ABC及△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BF的值（用含α的式子表示出来） CD

8．解：（1）猜想：BF=CD．理由如下： 如答图②所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点， ∴OB=OC，∠BOC=90°． ∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点， ∴OF=OD，∠DOF=90°． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． ∵在△BOF及△COD中， ， ∴△BOF≌△COD（SAS）， ∴BF=CD． （2）答：（1）中的结论不成立． 如答图③所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点， ∴3OB=tan30°=，∠BOC=90°． 3OC∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点， ∴3OF=tan30°=，∠DOF=90°． 3OD145 / 193

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∴=3． 3∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF及△COD中， ∵=3，∠BOF=∠COD， 3∴△BOF∽△COD， ∴． （3）如答图④所示，连接OC、OD． ∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点， ∴OB=tan，∠BOC=90°． OC2OF=tan，∠DOF=90°． OD2∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点， ∴∴=tan． 2∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF， ∴∠BOF=∠COD． 在△BOF及△COD中， ∵=tan，∠BOF=∠COD， 2∴△BOF∽△COD， ∴． 9．（2013•日照）问题背景： 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC及BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′及直线l交于点C，则点C即为所求．

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（1）实践运用： 如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 ． （2）知识拓展： 如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 9．解：（1）如图，作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P， 此时PA+PB最小，且等于AE． 作直径AC′，连接C′E． 根据垂径定理得弧BD=弧DE． ∵∠ACD=30°， ∴∠AOD=60°，∠DOE=30°， ∴∠AOE=90°， ∴∠C′AE=45°， 又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°， ∴∠C′=∠C′AE=45°， ∴C′E=AE=2AC′=22， 即AP+BP的最小值是22． 故答案为：22； （2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′． ∵AD平分∠BAC， ∴点B及点B′关于直线AD对称． 过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE， 则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短） 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10， ∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×2=52， 2∴BE+EF的最小值为52． 10．（2013•衢州）【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等147 / 193

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边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC及∠ACN的数量关系，并说明理由．

10．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN．

（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．

理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN．

（3）解：∠ABC=∠ACN．

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN，

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∴，

又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 11．（2013•咸宁）阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不及点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题： （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

11．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点． 理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°，

∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC．（2分） ∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

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∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， 1∠BCD=30°， 311∴BE=CE=AB． 22∴∠BCE=在Rt△BCE中，tan∠BCE=BE=tan30°， BC∴， ∴． 12．（2013•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA及A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA及A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似． （1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE及△ABC；②△GHO及△KFO；③△NQP及△NMQ；其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 ．（填写所有符合要求的序号）． （2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不及点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形及△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由． 12．解：（1）互为顺相似的是 ①；互为逆相似的是 ②③； （2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况： 第一种情况：如图①，点P在BC（不含点B、C）上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQ1C、△PBQ2都及△ABC互为逆相似． 第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M． 当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q及△150 / 193

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ABC互为逆相似；

当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都及△ABC互为逆相似．

第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．

当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AQP1及△ABC互为逆相似；

当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2 都及△ABC互为逆相似；

当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3及△ABC互为逆相似．

专题九 方案设计型问题

一、中考专题诠释

方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。

随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。

二、解题策略和解法精讲

方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲

考点一：设计测量方案问题

这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。 例1 1．（2013•吉林）某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案： 课题 方案 一 测量教学楼高度 二 151 / 193

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图示 测得数据 CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40 sin13°≈0.22，cos13°≈0.97 tan13°≈0.23 EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43° 参考数据 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93 请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数） 思路分析：若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG=即可得出CG的长，同理，在Rt△ACG中，根据tanAG可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论． CGABAB若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB=FBEB∠ACG= 可求出EB的长，由EF=EB-FB且EF=10，可知 =10，故可得出AB的长． 解：若选择方法一，解法如下： 在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9， ∵CG==30， 在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°， ∵tan∠ACG=AG， CG∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12， ∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）． 答：教学楼的高度约19米． 若选择方法二，解法如下： 在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°， ∵tan∠AFB=∴FB=≈AB， FBAB， 0.93AB， EB在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°， ∵tan∠AEB=∴EB=≈AB， 0.62∵EF=EB-FB且EF=10， 152 / 193

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∴ABAB-=10，解得AB=18.6≈19（米）． 0.620.93答：教学楼的高度约19米． 对应训练 1．（2013•内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：3（即AB：BC=1：3），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）． 1．解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3， 设DE=x， 在Rt△CDE中，CE==33x， 在Rt△ABC中， ∵，AB=3， ∴BC=33， 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3， ∴AF==3（x-3）， ∵AF=BE=BC+CE， ∴3（x-3）=33+33x， 解得x=9． 答：树高为9米． / 193

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考点二：设计搭配方案问题

这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。

例2 （2013•昆明）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． （1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？ （2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ 思路分析：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可． 解：（1）设打折前售价为x，则打折后售价为0.9x， 由题意得，， 解得：x=4， 经检验得：x=4是原方程的根， 答：打折前每本笔记本的售价为4元． （2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90-y）件， 由题意得，360≤4×0.9×y+6×0.9×（90-y）≤365， 解得：672≤y≤70， 9∵x为正整数， ∴x可取68，69，70， 故有三种购买方案： 方案一：购买笔记本68本，购买笔袋22个； 方案二：购买笔记本69本，购买笔袋21个； 方案三：购买笔记本70本，购买笔袋20个； 点评：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系． 对应训练 2．（2013•湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨． （1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案； （2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率． 2．解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得 ， ∵x、y为正整数， 当x=1时，y=6，7，8符合题意， 当x=2时，y=5，6符合题意， 当x=3时，y=4，5符合题意， 当x=4时，y=3符合题意， 154 / 193

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当x=5时，y=1舍去， 当x=6时，y=0舍去． 共有8种购买方案， 方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支； 方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支； 方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支； 方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支； 方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支； 方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支； 方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支； 方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支； （2）由题意，得， ， 购花的方案有： 方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支； 方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支； 方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支； 方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支； ∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案， ∴小明能实现购买愿望的概率为P=5． 8

考点三：设计销售方案问题

在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。 例3 （2013•遂宁）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）及参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由． 思路分析：（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）及男生人数x之间的函数关系式；

（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论． 解：（1）总费用y1（元）和y2（元）及参演男生人数x之间的函数关系式分别是： y1=0.7[120x+100（2x-100）]+2200=224x-4800， y2=0.8[100（3x-100）]=240x-8000； （2）由题意，得

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当y1＞y2时，即224x-4800＞240x-8000，解得：x＜200 当y1=y2时，即224x-4800=240x-8000，解得：x=200 当y1＜y2时，即224x-4800＜240x-8000，解得：x＞200 即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算； 当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买； 当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算． 点评：本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点． 对应训练 3．（2013•绥化）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 价格 进价（元/双） 售价（元/双） 甲 m 240 乙 m-20 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量及用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 3．解：（1）依题意得，， 整理得，3000（m-20）=2400m， 解得m=100， 经检验，m=100是原分式方程的解， 所以，m=100； （2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200-x）双， (240-100)x(160-80)(200-x)21700①根据题意得，， (240-100)x(160-80)(200-x)22300a②解不等式①得，x≥95， 解不等式②得，x≤105， 所以，不等式组的解集是95≤x≤105， ∵x是正整数，105-95+1=11， ∴共有11种方案； （3）设总利润为W，则W=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105）， ①当50＜a＜60时，60-a＞0，W随x的增大而增大， 所以，当x=105时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当a=60时，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样； ③当60＜a＜70时，60-a＜0，W随x的增大而减小， 所以，当x=95时，W有最大值， 156 / 193

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即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．

考点四：设计图案问题

图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力及空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。

例4 （2013•无锡）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明． （1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积及原正方形面积相等； （2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积及原正三角形的面积相等；

（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积及原正五边形的面积相等．

思路分析：（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可；

（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；

（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可． 解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可； （2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可； （3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．

点评：本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积及原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面． 对应训练 4．（2013•深圳）如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ） A．8或23

B．10或4+23

C．10或23 D．8或4+23

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4．D

四、真题演练 1．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点及斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是 ． 1．62或213 2．（2013•大连）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 m（精确到0.1m）．（参考数据：2≈1.41，

3≈1.73）

2．15.3 3．（2013•张家界）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．

3．解：如图所示：

4．（2013•荆州）如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足： ①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形； ②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．

4．解：如图所示：答案不唯一．

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5．（2013•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 5．解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACD中， ∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， AD=ACcos30°=53， 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD=5，BC=52， 则用AC+BC-（AD+BD）=10+52-（53+5）=5+52-53（千米）． 答：汽车从A地到B地比原来少走（5+52-53）千米． 6．（2013•重庆）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上． （1）请你在所给的网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称，其中159 / 193

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点A′、B′、C′、D′分别是点A、B、C、D的对称点； （2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段A′B′的长度． 6．解：（1）所作图形如下： ． （2）A'B'=123210． 7．（2013•天门）某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长． 7．解：在Rt△ADC中，∵AD：DC=1：2.4，AC=13， 由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132． ∴AD=±5（负值不合题意，舍去）． ∴DC=12． 在Rt△ABD中，∵AD：BD=1：1.8， ∴BD=5×1.8=9． 160 / 193

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∴BC=DC-BD=12-9=3． 答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米． 8．（2013•邵阳）雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材5600m2和铝材2210m，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示： 板房规格 甲型 乙型 板材数量（m2） 40 60 铝材数量（m） 30 20 请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案． 8．解：设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100-x）间，根据题意得： 40x60(100x)5600， 30x20(100x)2210解得：20≤x≤21， x只能取整数， 则x=20，21，共有2种搭建方案， 方案1甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间， 方案2甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间． 9．（2013•铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75） 9．解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形． 在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°， 161 / 193

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∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°； 在Rt△CBD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°， ∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan37°； ∵CD-BD=BC， ∴PD•tan37°-PD•tan26.6°=80， ∴0.75PD-0.50PD=80， 解得PD=320， ∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160， ∵OB=220， ∴PE=OD=OB-BD=60， ∵OE=PD=320， ∴AE=OE-OA=320-200=120， ∴tanα==0.5， ∴α≈26.6°． 10．（2013•宿迁）某公司有甲种原料260kg，乙种原料270kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8kg，乙种原料5kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4kg，乙种原料9kg，可获利润1100元．设安排生产A种产品x件． （1）完成下表 A B 甲（kg） 4（40-x） 乙（kg） 件数（件） 5x x 40-x （2）安排生产A、B两种产品的件数有几种方案？试说明理由； （3）设生产这批40件产品共可获利润y元，将y表示为x的函数，并求出最大利润． 10．解：（1）表格分别填入：A甲种原料8x，B乙种原料9（40-x）； （2）根据题意得，8x4(40-x)260①， 5x9(40-x)270a②由①得，x≤25， 由②得，x≥22.5， ∴不等式组的解集是22.5≤x≤25， ∵x是正整数， ∴x=23、24、25， 共有三种方案； 方案一：A产品23件，B产品17件， 方案二：A产品24件，B产品16件； 方案三：A产品25件，B产品15件； （3）y=900x+1100（40-x）=-200x+44000， ∵-200＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴x=23时，y有最大值， y最大=-200×23+44000=39400元． 162 / 193

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11．（2013•贺州）如图，小明在楼上点A处测量大树的高，在A处测得大树顶部B的仰角为25°，测得大树底部C的俯角为45°．已知点A距地面的高度AD为12m，求大树的高度BC．（最后结果精确到0.1）

11．解：过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE=AD=12m．

在Rt△ACE中，∵∠EAC=45°， ∴AE=CE=12m，

在Rt△AEB中，∠BAE=25°，

∴BE=AE•tan25°≈12×0.47=5.64m． ∴BC=BE+CE≈5.64+12≈17.6． 答：大树的高度约为17.6m．

点评：此题考查了仰角及俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 12．（2013•遵义）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？

（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？ 12．解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆，

18x16(16-x)266①根据题意得，，

10x11(16-x)169a②由①得，x≥5，

由②得，x≤7， 所以，5≤x≤7，

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∵x为正整数， ∴x=5或6或7，

因此，有3种租车方案：

方案一：组甲种货车5辆，乙种货车11辆； 方案二：组甲种货车6辆，乙种货车10辆； 方案三：组甲种货车7辆，乙种货车9辆；

（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16-x）辆，设两种货车燃油总费用为y元，

由题意得，y=1500x+1200（16-x）， =300x+19200， ∵300＞0，

∴当x=5时，y有最小值，

y最小=300×5+19200=20700元；

方法二：当x=5时，16-5=11， 5×1500+11×1200=20700元； 当x=6时，16-6=10，

6×1500+10×1200=21000元； 当x=7时，16-7=9，

7×1500+9×1200=21300元；

答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元． 13．（2013•黑龙江）为了落实党中央提出的“惠民政策”，我市今年计划开发建设A、B两种户型的“廉租房”共40套．投入资金不超过200万元，又不低于198万元．开发建设办公室预算：一套A型“廉租房”的造价为5.2万元，一套B型“廉租房”的造价为4.8万元． （1）请问有几种开发建设方案？

（2）哪种建设方案投入资金最少？最少资金是多少万元？

（3）在（2）的方案下，为了让更多的人享受到“惠民”政策，开发建设办公室决定通过缩小“廉租房”的面积来降低造价、节省资金．每套A户型“廉租房”的造价降低0.7万元，每套B户型“廉租房”的造价降低0.3万元，将节省下来的资金全部用于再次开发建设缩小面积后的“廉租房”，如果同时建设A、B两种户型，请你直接写出再次开发建设的方案． 13．解：（1）设建设A型x套，则B型（40-x）套， 根据题意得，5.2x4.8(40-x)198①，

5.2x4.8(40-x)200②解不等式①得，x≥15， 解不等式②得，x≤20，

所以，不等式组的解集是15≤x≤20， ∵x为正整数，

∴x=15、16、17、18、19、20， 答：共有6种方案；

（2）设总投资W万元，建设A型x套，则B型（40-x）套，

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W=5.2x+4.8×（40-x）=0.4x+192， ∵0.4＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x=15时，W最小，此时W最小=0.4×15+192=198万元； （3）设再次建设A、B两种户型分别为a套、b套， 则（5.2-0.7）a+（4.8-0.3）b=15×0.7+（40-15）×0.3， 整理得，a+b=4， a=1时，b=3， a=2时，b=2， a=3时，b=1， 所以，再建设方案：①A型住房1套，B型住房3套； ②A型住房2套，B型住房2套； ③A型住房3套，B型住房1套． 14．（2013•资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，及此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告． （1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？ （2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.31，2≈1.4，3≈1.7） 14．解：（1）过点E作圆A的切线EN，连接AN，则AN⊥EN， 165 / 193

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由题意得，CE=9×2=18海里，则AE=AC-CE=52-18=34海里， ∵sin∠AEN=≈0.35， ∴∠AEN=20.5°， ∴∠NEM=69.5°， 即必须沿北偏东至少转向69.5°航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区． （2）过点D作DH⊥AB于点H， 由题意得，BD=2×12=24海里， 在Rt△DBH中，DH=1BD=12海里，BH=123海里， 2∵AF=12海里， ∴DH=AF， ∴DF⊥AF， 此时海监船以最大航速行驶， 海监船到达点F的时间为： DFABBH60123≈2.2小时； 18818渔船到达点F的时间为：=2.4小时， ∵2.2＜2.4， ∴海监船比日本渔船先到达F处．

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专题十 动点型问题

一、中考专题诠释

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲

解决动点问题的关键是“动中求静”.

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索及发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲

考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）

函数揭示了运动变化过程中量及量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量及已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.

例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S及点P的运动时间t的函数图象大致

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为（ ） A． B． C． D．

思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S及t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．

解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．

综上，整个运动过程中，S及t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），

这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求． 故选B．

点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．

对应训练 1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O及∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（ ） A．B． C．D． 1．C

考点二：动态几何型题目

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）点动问题．

例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y及t的函数图象大致是（ ） A． B． C． D．

思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y及t的函数表达式，继而可得出函数图象． 解：在Rt△ADE中，AD= ①点P在AD上运动： 过点P作PM⊥AB于点M，则PM=APsin∠A=此时y=AE2DE213，在Rt△CFB中，BC=BF2CF213， 12t， 13130EF×PM=t，为一次函数； 213168 / 193

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②点P在DC上运动，y=1EF×DE=30； 212（AD+CD+BC-t）=， 13③点P在BC上运动，过点P作PN⊥AB于点N，则PN=BPsin∠B=则y=1EF×PN=，为一次函数． 2综上可得选项A的图象符合． 故选A． 点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y及t的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出解析式． 对应训练 2．（2013•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y及x的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．A

（二）线动问题

例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

思路分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．

解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案． 对应训练 3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（ ）

A． B． C． D． 3．A

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（三）面动问题

例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s及t的大致图象应为（ ）

A． B． C． D．

思路分析：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案． 解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段； ①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt， ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3， ③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1， 分析选项可得，A符合； 故选A．

点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况． 对应训练 4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S及t的大致图象为（ ）

A． B． C． D． 4．A 考点三：双动点问题 动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动及变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动. 例5 （2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=2．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的2速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，及折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S． （1）点A的坐标为 ，直线l的解析式为 ； （2）试求点Q及点M相遇前S及t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值； （4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线及直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值． 170 / 193

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思路分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB=2特殊三角函数值，得到△AOD为等腰2直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式； （2）解答本问，需要弄清动点的运动过程： ①当0＜t≤1时，如答图1所示； ②当1＜t≤2时，如答图2所示； ③当2＜t＜16时，如答图3所示． 7（3）本问考查二次函数及一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式及取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值； （4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解． 解：（1）∵C（7，4），AB∥CD， ∴D（0，4）． ∵sin∠DAB=2， 2∴∠DAB=45°， ∴OA=OD=4， ∴A（-4，0）． 设直线l的解析式为：y=kx+b，则有 ， 解得：k=1，b=4， ∴y=x+4． ∴点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4． （2）在点P、Q运动的过程中： ①当0＜t≤1时，如答图1所示： 171 / 193

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过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5． 过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t， S=3=3t． 511PM•PE=×2t×（14-5t）=-5t2+14t； 22②当1＜t≤2时，如答图2所示： 过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， 则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t， S=11PM•PE=×2t×（16-7t）=-7t2+16t； 2216． 7③当点M及点Q相遇时，DM+CQ=CD=7， 即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=当2＜t＜16时，如答图3所示： 7 MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t， 172 / 193

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S= 11PM•MQ=×4×（16-7t）=-14t+32． 227249）+， 557∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=， 5（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大， ∴当t=1时，S有最大值，最大值为9； 8264）+， 778∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=， 7864∴当t=时，S有最大值，最大值为； 7716③当2＜t＜时，S=-14t+32 7②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-∵k=-14＜0， ∴S随t的增大而减小． 又∵当t=2时，S=4； 当t=16时，S=0， 7864时，S有最大值，最大值为． 77∴0＜S＜4． 综上所述，当t= （4）△QMN为等腰三角形，有两种情形： ①如答图4所示，点M在线段CD上， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4， 由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=20； 9 ②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D， 此时△QMN为等腰三角形，t=12． 5173 / 193

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故当t=2012或t=时，△QMN为等腰三角形． 95点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解．第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）-（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握． 对应训练 5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P及点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S及t之间的函数关系式． （3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8． 当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t． （2）当点P及点A重合时，BP=AB，t=1． 当点P及点D重合时，AP=AD，8t-8=50，t=当0＜t＜1时，如图①． 29． 4 作过点Q作QE⊥AB于点E． 11AB•QE=BQ×12， 2260∴QE==． 13S△ABQ=∴S=-30t2+30t． 当1＜t≤29时，如图②． 4174 / 193

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S=12AP×12=12×(8t-8)×12， ∴S=48t-48； （3）当点P及点R重合时， AP=BQ，8t-8=5t，t=83． 当0＜t≤1时，如图③． ∵S△BPM=S△BQM， ∴PM=QM． ∵AB∥QR， ∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR， 在△BPM和△RQM中 ， ∴△BPM≌△RQM． ∴BP=RQ， ∵RQ=AB， ∴BP=AB ∴13t=13， 解得：t=1 当1＜t≤83时，如图④． ∵BR平分阴影部分面积， ∴P及点R重合． ∴t=83． 当8293＜t≤4时，如图⑤． / 193

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∵S△ABR=S△QBR， ∴S△ABR＜S四边形BQPR． ∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分． 综上所述，当t=1或8时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分． 3 （4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时， ∴∠C′OQ=∠OQC． ∵△C′OQ≌△COQ， ∴∠C′OQ=∠COQ， ∴∠CQO=∠COQ， ∴QC=OC， ∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13， 解得：t=7或t=95． 13当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦． 同理由菱形的性质可以得出：OD=PD， ∴50-5t+13=8（t-1）-50， 121． 1395121∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC． 1313解得：t=

四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，

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当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ） A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5

1．D 2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y及x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（ ） A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EM

C．当x增大时，EC•CF的值增大 D．当y增大时，BE•DF的值不变

2．D 3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC及直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD及Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（ ）

A．B．C．D．

3．B 4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

4．B 5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．

5．51

6．（2013•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，

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运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P及AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC． （1）求当t为何值时，点Q及点D重合？ （2）设△QCD的面积为S，试求S及t之间的函数关系式，并求S的最大值； （3）若⊙P及线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴AB=OA2OB28262=10， ∴cos∠BAO=，sin∠BAO=． ∵AC为⊙P的直径， ∴△ACD为直角三角形． ∴AD=AC•cos∠BAO=2t×=48t． 55当点Q及点D重合时，OQ+AD=OA， 8t=8， 540解得：t=． 1340∴t=（秒）时，点Q及点D重合． 13即：t+ （2）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×t． ①当0＜t≤40时， 13813t=8-t． 556392241113∴S=DQ•CD=（8-t）•t=-t+t． 5225255b202040∵-=，0＜＜， 2a1313132048∴当t=时，S有最大值为； 131340②当＜t≤5时， 13DQ=OA-OQ-AD=8-t-178 / 193

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813t-8=t-8． 556392241113∴S=DQ•CD=（t-8）•t=t-t． 5252255b202040∵-=，＜，所以S随t的增大而增大， 2a13131348∴当t=5时，S有最大值为15＞． 13DQ=OQ+AD-OA=t+综上所述，S的最大值为15． （3）当CQ及⊙P相切时，有CQ⊥AB， ∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°， ∴△ACQ∽△AOB， ∴，， 解得t=16． 71640或＜t≤5． 713所以，⊙P及线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤ 7．（2013•宜昌）半径为2cm的及⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O及l相切于点F，DC在l上．

（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．

①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 ； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（2）以正方形ABCD的边AD及OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC及OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD及⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．

7．解：（1）①∵半径为2cm的及⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点， ∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°， ∴∠EBA的度数是：30°；

②如图2，

∵直线l及⊙O相切于点F， ∴∠OFD=90°，

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°， ∴OF∥AD， ∵OF=AD=2，

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∴四边形OFDA为平行四边形， ∵∠OFD=90°， ∴平行四边形OFDA为矩形， ∴DA⊥AO， ∵正方形ABCD中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一条直线上； ∴EA⊥OB， ∵∠OEB=∠AOE， ∴△EOA∽△BOE， ∴， ∴OE2=OA•OB， ∴OA（2+OA）=4， 解得：OA=-1±5， ∵OA＞0，∴OA=5-1； 方法二： 在Rt△OAE中，cos∠EOA=， 在Rt△EOB中，cos∠EOB=， ∴， 解得：OA=-1±5， ∵OA＞0，∴OA=5-1； 方法三： ∵OE⊥EB，EA⊥OB， ∴由射影定理，得OE2=OA•OB， ∴OA（2+OA）=4， 解得：OA=-1±5， ∵OA＞0， ∴OA=5-1； （2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=n×22=n（cm2）， 36090S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大， 当∠MON取最小值时，S扇形MON最小， 如图，过O点作OK⊥MN于K， 180 / 193

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∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK， 在Rt△ONK中，sin∠NOK=， ∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大， ∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小， ①当N，M，A分别及D，B，O重合时，MN最大，MN=BD， ∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2）， ②当MN=DC=2时，MN最小， ∴ON=MN=OM， ∴∠NOM=60°， S扇形MON最小=∴2π（cm2）， 32π≤S扇形MON≤π． 3故答案为：30°． 8．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°． （1）求△AED的周长； （2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0及BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0及△BDC重叠的面积为S，请直接写出S及t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1及直线BE交于点P、及直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由． 8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=6． 在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°， ∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3， ∴△AED的周长为：6+33+3=9+33． 181 / 193

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（2）在△AED向右平移的过程中： （I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK． ∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t， ∴S=S△D0NK=3211ND0•NK=t•3t=t； 222（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN． ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t， ∴A0N=31A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=（6-t）． 323333211×3×33-×（6-t）×（6-t）=-t+23t-； 23622∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN． ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C， ∴A0N=1A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）； 2311 [t+（2t-6）]• 3（6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=-t2+203t-423． 322易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6， S=S梯形BND0I-S△BKJ=综上所述，S及t之间的函数关系式为： 182 / 193

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32t(0t1.5)23332t23t-(1.5t4.5)． S=S-621332t203t-423(4.5t6)-6 （3）存在α，使△BPQ为等腰三角形． 理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC， 故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形． （I）当QB=QP时（如答图4）， 则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°， 即∠BCB1=30°， ∴α=30°； （II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C， 若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5）， ∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°， 即∠BCB1=75°， ∴α=75°． 9．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形及△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 183 / 193

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9．解：如图， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm． ∴根据勾股定理，得AC2BC2=5cm． （1）以A，P，M为顶点的三角形及△ABC相似，分两种情况： ①当△AMP∽△ABC时，，即， 解得t=3； 2②当△APM∽△ABC时，，即， 解得t=0（不合题意，舍去）； 综上所述，当t=3时，以A、P、M为顶点的三角形及△ABC相似； 2 （2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC， ∴，即， ∴PH=8t， 5∴S=S△ABC-S△BPH， 811×3×4-×（3-t）•t， 5224321=（t-）2+（0＜t＜2.5）． 5254∵＞0， 5=∴S有最小值． 184 / 193

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321时，S最小值=． 25321答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是． 25当t=10．（2013•苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F及点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形； （2）若以点E、B、F为顶点的三角形及以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′及点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 10．解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10-t=3t， 解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有，即， 解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF， 则有，即， 解得：t=-14-269（不合题意，舍去）或t=-14+269． ∴当t=2.8s或t=（-14+269）s时，以点E、B、F为顶点的三角形及以点F，C，G为顶点的三角形相似． （3）假设存在实数t，使得点B′及点O重合． 如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=由勾股定理得：OM2+FM2=OF2， 即：52+（6-3t）2=（3t）2 解得：t=1BC-BF=6-3t，OM=5， 261； 36185 / 193

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过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6， 由勾股定理得：ON2+EN2=OE2， 即：62+（5-t）2=（10-t）2 解得：t=3.9． ∵61≠3.9， 36∴不存在实数t，使得点B′及点O重合． 11．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN及矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s） （1）当点P运动到点F时，CQ= cm； （2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度； （3）当点P在线段FD上运动时，求y及x之间的函数关系式． 11．解：（1）当点P运动到点F时， ∵F为AC的中点，AC=6cm， ∴AF=FC=3cm， ∵P和Q的运动速度都是1cm/s， ∴BQ=AF=3cm， ∴CQ=8cm-3cm=5cm， 故答案为：5． 186 / 193

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（2）设在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上，如图1，则t+t-3=8， t= 11， 2BQ的长度为1111×1=（cm）； 22 （3）∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， 11AC=×6=3， 2211DF=BC=×8=4， 22∴DE=∵MQ⊥BC， ∴∠BQM=∠C=90°， ∵∠QBM=∠CBA， ∴△MBQ∽△ABC， ∴， ∴， MQ=3x， 4分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2， y=PN•PD 3x（7-x） 4321即y=-x2+x； 4411②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图3， 2=187 / 193

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y=3[（8-X）-（X-3））] 即y=-6x+33； ③当11≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4， 2 y=3[（x-3）-（8-x）] 即y=6x-33． 12．（2013•宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP及y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q及y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP； ②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 12．解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=-1， 则直线AB的函数解析式为y=-x+4； 188 / 193

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（2）①由已知得： OB=OC，∠BOD=∠COD=90°， 又∵OD=OD， ∴△BDO≌△COD， ∴∠BDO=∠CDO， ∵∠CDO=∠ADP， ∴∠BDE=∠ADP， ②如图，连结PE， ∵∠ADP是△DPE的一个外角， ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE， ∵∠BDE是△ABD的一个外角， ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB， ∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD， ∴∠DPE=∠OAB， ∵OA=OB=4，∠AOB=90°， ∴∠OAB=45°， ∴∠DPE=45°， ∴∠DFE=∠DPE=45°， ∵DF是⊙Q的直径， ∴∠DEF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DF=2DE，即y=2x； （3）当BD：BF=2：1时， 如图，过点F作FH⊥OB于点H， ∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH， / 193

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又∵∠DOB=∠BHF=90°， ∴△BOD∽△FHB， ∴=2， ∴FH=2，OD=2BH， ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴OE=FH=2， ∴EF=OH=4-∵DE=EF， 1OD， 21OD， 244解得：OD=，∴点D的坐标为（0，）， 3314∴直线CD的解析式为y=x+， 33∴2+OD=4-由，得：， 则点P的坐标为（2，2）； 当时， 连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP， 而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA， ∵∠DEP=∠DPA， ∴∠DBE=∠DAP=45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， 如图，过点F作FG⊥OB于点G， 同理可得：△BOD∽△FGB， ∴， ∴FG=8，OD=1BG， 2∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°， ∴四边形OEFG是矩形， ∴OE=FG=8， ∴EF=OG=4+2OD， 190 / 193

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∵DE=EF， ∴8-OD=4+2OD， OD=4， 34）， 3∴点D的坐标为（0，-直线CD的解析式为：， 由，得：， ∴点P的坐标为（8，-4）， 综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）． 13．（2013•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-2），且及y轴交于点C（0，32），及x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由； （3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式． 13．解：（1）如图， 由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-4）2-∵抛物线经过（0，2） ∴a（0-4）2-解得：a=2（a≠0） 32=2 31， 6191 / 193

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12（x-4）2-， 6314即：y=x2-x+2 6314当y=0时，x2-x+2=0 63∴y=解得：x=2或x=6 ∴A（2，0），B（6，0）； （2）存在， 如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4， 因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小 ∵B（6，0），C（0，2） ∴OB=6，OC=2 ∴BC=210， ∴AP+CP=BC=210， ∴AP+CP的最小值为210； （3）如图3，连接ME， ∵CE是⊙M的切线 ∴ME⊥CE，∠CEM=90° 192 / 193

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由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD及△MED中 ， ∴△COD≌△MED（AAS）， ∴OD=DE，DC=DM 设OD=x则CD=DM=OM-OD=4-x 则RT△COD中，OD2+OC2=CD2， ∴x2+22=（4-x）2 ∴x=32， ∴D（32，0） 设直线CE的解析式为y=kx+b ∵直线CE过C（0，2），D（32，0）两点，则， 解得：。 ∴直线CE的解析式为y=-43x+2。

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