教学导航 ２０２０年２月
浅谈数学定理的教学
———以零点存在定理为例
?江苏省木渎高级中学 杜美英
它集中 数学定理是高中数学教学中的重要内容，
描述了不同数学概念间的相互关系，是学生体系化、深入化学习高中数学的基石，正确理解数学定理的关键之处在于全面深入地理解涉及的数学概念之间的关系，这些关系的理解是建立在学生原有认知结构的基础上，同时又与新规则有着紧密的联系．
在区间［上满足犳（，则可以判·狓）犪，犫］犪）犫）犳（犳（＜０
定函数犳（在（如果要进一步确狓）犪，犫）上存在零点．定函数在某一区间上零点的个数，还需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作详细讨论．
学生认知结构分析２．
学生在学习这一定理之前已经对函数的概念、图像，以及一些基本的初等函数有了较为深入的学习，因此能够比较容易地利用该定理对部分具体函数的零点问题进行分析；但是由于学生的逻辑分析能力还有欠缺，他们对该定理的理解深度和广度还不够，还教师在选取例题时不能解决不熟悉函数的零点问题，
正侧结合，务求深入全面，避免虚需要注意正反结合、浮模糊．
零点判定定理的教学地位和知识特点３．
函数的零点判定定理以函数图像、函数性质及基本函数为基础，又是二分法求解方程的基础知识，在函数相关知识中有着重要的作用．函数交点、方程的解和函数零点问题的相互转化是函数零点问题的该数学定理的教学适合采用生成法，教难点和重点，
师需要带领学生在实例中逐步归纳出最核心的规则．
（二）两种不同教学模式的具体过程及分析对比教学方案犃１．（）正向例题刺激．１
引导例题１：根据二次函数图像的知识画出犳（狓）并观察图像完成下列填空．狓２－２狓－３的图像，＝
，］上（填写有／没有）１－２①函数在区间［零点，）－２＝犳（）１犳（
小于号）；
，）１＝犳（
（填写大于号／０，则犳（）·－２
一、数学定理的两种基本教学方法
数学定理的具体教学过程是五花八门的，但从本数学定理的质上可以概括为生成法和接受法两大类．
由例题链逐步生成数生成法教学的一般过程体现为“
，教师先让学生接触一些能突显教学对象主学定理”
要特征的例题，再通过对比引导学生逐步发现不同对象之间的异同点与联系性，最后规范化地给出数学定理，教师在举出例题的时候要注意正反兼顾，并多提出一些假设，引导学生思考和理解，数学定理在学生的心理结构中逐渐生成，因此称这种教学方法为生成法；而数学定理的接受法教学则反其道而行之，教师直接让学生接触具体的数学定理，然后再利用经典例题让学生逐渐理解和接受，接受法教学更加适用于对学生已会定理的下位规则的教学，学生对于数学定理中的相关概念以及相互关系已经有了一定的认知，这种情况下接受法教学能够更加高效地帮助学生构建新的认知．
二、两种不同数学定理教学模式的对比
分析
下面笔者就将对比两种函数零点判定定理的教学方法，并以此对数学定理的教学注意点作一些总结．
（一）函数零点存在定理的知识基础和地位意义零点判定定理的具体内容以及相关概念１．
函数的零点对应函数值为零时自变量的值，直观上来说也就是函数图像与横轴交点的横坐标的值．函数的零点判定定理的具体内容为：如果连续函数
，］上２４②函数在区间［
（填写有／没有）零点，））·２４犳（犳（
；０引导例题２：已知某函数
图１
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２０２０年２月 教学导航的图像如图１所示（，试回答以下犪，犫，犮，犱均为实数）问题．
·犪）犫）犳（犳（
·犫）犮）犳（犳（·犮）犱）犳（犳（有什么错误．
（）总结例题规律，提出问题假设．２
经过了上面一系列例题的引导，学生对于函数零点的存在性与端点值乘积之间的关系有了一些猜测，教师应不失时宜地引导学生提出较为规范的假设．
师生互动环节：
师：上面两道引导例题主要关注了哪两个问题？生犃：函数在某一区间内有无零点和区间端点值函数乘积符号的问题．
师：那么根据上述例题的结果，你们能尝试作出一个假设吗？
如果函数在某区间端点处的函数值乘积为生犅：
负数，那么函数在这一区间上存在零点．
（）利用反例完善认知结构．３
上述引导例题都是从正方向引导学生归纳数学定理的，而对于一些限制条件和注意点，教师需要让学生接触一些反面案例来完善认知结构，这样才能够印象深刻．
１
值的符狓号取决于自变量狓的符号，那么是不是说明该函数在
师：思考下面这个问题：已知函数狔＝［（上一定存在零点呢？犪］犪是一个正参数）－犪，
学生面对这样的反面案例显得有些疑惑．
生：如果从函数的图像来看，它显然没有零点．师：那是不是说明我们归纳的数学定理是错误的呢？还是需要补充一些条件？观察一下这个函数的图像有什么特点．
生：这个函数的图像是断开的，函数并不是在整个讨论区间内都能取到函数值．
师：看来除了观察函数值乘积的符号之外，我们还需要确保函数在讨论区间内连续．
教学方案犅２．（）创设探究型问题情境以激发学生探索的欲１望．
教学问题情境：我们知道问题求方程ｌｎ狓＋２狓－６＝０的解可以转化为求函数犳（狓）ｎ狓＋２狓－６的零点的＝ｌ问题，那么该函数是否存在以及存在，几个零点呢？
教师点拨：学生在探究该问题时显得不知所措，
图４图３图２
教材
教法
教师在这个时候给予了适当的点拨，教师引导学生将研究范围缩小到［并尝试观察这一范围内犪，犫］之间，函数图像的大致走向，对于函数值可以不用精确处理，画出大概的情况就可以了．
（）抽象情况分析，教师引导学生辨析与归纳．２
抽象例题：如果已知函数犳（狓）的图像是一条连续的曲线，且经过犃、点的分布情况如图２所犅两点（，试作出可能的函数图像并分析那种情况下函数示）必有零点．
，［上是否存在零点？０犪，犫］
，［上是否存在零点？０犫，犮］
，［上是否存在零点？０犮，犱］
学生通过独立观察很快完成了例题，并且基本没
对比分析环节：在学生尝试作出函数图像的过程中，教师搜集了一些特点明确且具有代表性的图像并向全班展示．
教师带领学生对每一幅图进行了分析，最终得出结论：只有当两点位于狓轴不同侧时，函数才一定会存在零点，紧接着教师又引导学生尝试将后两种情况归纳成一个条件，最终得出了在［·犪，犫］上，犪）犳（函数才一定存在零点的规律．犫）犳（＜０时，
（）反例辨析完善结论．３
问题假设：如果去掉函数图像连续的条件，上述结论是否成立？
学生在经过尝试之后很快发现，如果函数是诸如１
那么就不一定存在零点狔＝这样中间断开的情况，
狓了，于是教师进一步引导学生概括规则，最终归纳出函数图像连续和端点函数值异号两个条件．
（下转第３２页）
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考试研究
备考指南 ２０２０年２月
习动机．不可否认的是，虽然学生在应用意识和应用能力、创新意识和创新能力的养成及效果未达到我们的期望值，但是，在信息技术发展的今天，学生能力的发展也是不容忽视的．
“乔布斯之问”：技术之变与教育之不变３．
乔布斯曾经提出过这样一个问题：“为什么计算机改变了几乎所有的领域，却唯独对学校教育的影响美国联邦教育部长邓肯曾在国际教小的令人吃惊？”
育技术领域提出了“乔布斯之问”：为什么在教育领域却没有产生像生产和流通领域信息技术的投入很大，
那样的变革效果？世界上所有政府对教育信息化的投入之巨，是所有其他行业不能匹敌的，但是为什么没有生产和流通那样的效率，投入与产出不成比例？邓肯认为，原因在于教育没有发生结构性的改变．
确实，以学校为单位测量我们可以发现，学校教硬件环境建育的信息化建设的投入本身就存在问题．
但是软件环境建设却设以客观的速度和成果在展现，
少的可怜．学校网站或者网上学校基本得以实现，但是对教学本质起绝对作用的管理软件，特别是资源建设就难以支撑教育之变了．当然，这里也有客观原因：技术新不会用、更新快跟不上、不熟练操作慢、时间紧任务重、系统资源少等．所以，我们的教学方式、学生的学习方式都未发生实质性的改变，当然就不会有期望的飞速发展．
要使得我们的期望值出现，我们必须要有系统的教育教学资源，这需要依靠广大的一线教师和优秀的这是活的资源，它将随着学校、老学生群体共同完成，
师、学生的发展而变化，不仅具备持久的生命力，更能而能力的培养就是水到渠激励师生走向更美的远方，成的事情．
教育要回归本源，应用创新不能只图“新”、“鲜”４．
依据《普通高中数学课程标准》并结合其教学要求，普通高等学校招生全国统一考试数学科目的命题指导思想明确：注重数学的应用意识和创新意识的考查，所以数学教学特别是高三数学复习教学中重视应用创新教学、引导是必须的，但方向、实质似乎有待调整．在教学方案的设计实施中，实际上我们找不到多少使用“”似乎都能被认为是创新，更实质性的内容，ＰＰＴ不用说那些在幻灯片的演示方式上下功夫的人．
数学应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决；创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题．“新”、“鲜”不是我们的追求，更不是数学教育教学的信息技术在数学教学中的作用不可低估，最终目标．
它在辅助学生认知的功能方面胜过以往的任何技术手段，但它只是一个辅助工具，不能取代教学活动过程的核心———师生间的情感互动交流过程．错误理解或过分夸大各种辅助手段，都必将以失败而告终．
高三是学生时代的关键时刻，一方面，对于基础教育的学习要进行梳理总结，完善提升；另一方面，要为学生进入高校学习提供必备的准备，提升能力和素养势在必行．我们需要不断分析高三数学教学现状，结合教学实践，探索高三数学复习的教学策略，及时总结经验与教训，既不能一意孤行、因循守旧，也不能满目浮夸．只有把这些问题真正思考只做表面功夫、
清楚了，才不会曲解课改的真正含义，数学教学才有从而使高三数学复习教学真正回可能变得自然流畅，
归到有序有效又有灵魂的轨道上来．犉檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨檨（上接第２７页）
（）规则应用技巧和适用范围．４
教学问题：我们有时还会关注函数的零点个数问题，如果我们希望函数犳（狓）在［犪，犫］上仅有一个零点，那么我们还需要增加什么条件？
教师引导学生仍然从函数图像的角度理解问题，学生很快发现如果再加上“函数在讨论区间内单调”的条件，那么就一定只存在一个零点了．
根据行数学定理的教学时要注意生成法和接受法并重，数学定理的内在特点以及在认知结构中的位置，合理选择方法才能真正提高教学质量，同时有些定理的教学还形成“规则———例题———规可以将两种方法结合起来，
则”或者“例题———规则———例题”这样的综合型教学流程．
注意教学例题的丰富性２．
数学定理的教学目标不仅是使得学生理解，也是要学生能够根据情况灵活应用，上面展示的教学过程主要聚焦于数学定理的引入和理解，教师在实际教学中还需要增添定理的巩固与运用一环，即选择丰富典型的例题帮助学生掌握．犉三、数学定理教学的注意点小结
注意生成法和接受法并重１．
上述两种教学模式都是生成法教学，教师在实际进
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