数学（江苏卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷
和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）如果函数 的图象与
轴有两个交点，则点
平面上的区域（不包含边界）为（ （2）抛物线
的准线方程是
，则a的值为 （ ）
（A） （B）－ （C）8 （D）－8
（3）已知 （ ）
（A） （B）－ （C） （D）－
（4）设函数 的取值范围是（ ）
（A）（－1，1） （B） （C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）
是平面上一定点，
是平面上不共线的三个点，动点
满足
的轨迹一定通过
的
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
（6）函数 的反函数为（ ）
） （A） （B）
（C）（7）棱长为
（D）
的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
（A）（8）设
（B） （C） （D）
处切线的倾斜角的取值范围为
，曲线 在点
到曲线 对称轴距离的取值范围为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）已知方程 的四个根组成一个首项为 的的等差数列，则
（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标
（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线
为 ，则此双曲线的方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点角
的方向射到BC上的点
，0），若
后，依次反射到CD、DA和AB上的点
，则tg
、
和
沿与AB的夹
（入射角等于反射角），设
的坐标为（ 的取值范围是 （ ）
（A）（ ，1） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ）
（12）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（A）
（B）4 （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（13）
的展开式中
系数是
（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆。
（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种。（以数字作答） （16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①②③
。 ④
其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 （17）（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验。 （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率。（精确到0.001） （18）（本小题满分12分） 已知函数
上的偶函数，其图象关于点
对称，且在区间
上是单调函数。求
（19）（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱与
的值。
中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，D、E分别是
的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求点 到平面AED的距离
（20）（本小题满分12分） 已知常数
。经过原点O以
为方向向量的直线与经过定点
为方向向量的直线相交于P，其中 。试问：是否存在两个定点E、F，使得
为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。
（21）（本小题满分12分） 已知
为正整数。
（Ⅰ）设 ，证明 ；
（Ⅱ）设
（22）（本小题满分14分） 设
，如图，已知直线
，对任意 ，证明 。
及曲线 作直线平行于
上的点 轴，交直线
的横坐标为
作直线平行于
轴，
交曲线（Ⅰ）试求
的关系，并求
的横坐标构成数列 的通项公式；
（Ⅱ）当 时，证明
（Ⅲ）当 时，证明
数学试题参考解答及评分标准
（江苏卷）
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 （1）C （2）B （3）D （4）D （5）B （6）B （7）C （8）B （9）C （10）D （11）C （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分
（13）三、解答题
（14）6，30，10 （15）120 （16）① ④
（17）本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分。 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C。 （1）P(A)=0.90, P(B)=P(C)=0.95, （2）P(
)=0.01,P(
)=P(
)=0.05。
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P(A·B· )+ P(A· ·C)+ P(= P(A)·P(B)·P(
)+P(A)·P(
·B·C) )·P(C) +P(
)·P(B)·P(C)
=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95 =0.176
答：恰有一件不合格的概率为0.176. （Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为 P(A· · )+ P(
·B· )+ P(
· ·C)+ P(
· · )
=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052 =0.012
答：至少有两件不合格的概率为0.012. 解法二：三件产品都合格的概率为 P(A·B·C)= P(A)·P(B)·P(C) =0.90×0.952 =0.812
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1-[ P(A·B·C)+0.176] =1-（0.812+0.176） =0.012
答：至少有两件不合格的概率为0.012
（18）本小题主要考查三角函数的图像和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力。满分12分 解：由f(x)是函数，得f(-x)= f(x)， 即 sin(-ωx +所以 -cos
)= sin(ωx +
),
sinωx= cos sinωx
=0，
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cos
依题设0≤ ≤π，所以解得 = .
由f(x)的图像关于点M对称，得f( )=-f( )
取x=0,得f( )=-f( )，所以f( )=0，
∵f( )=sin（ ）=cos ，
∴cos =0，又ω＞0，得 = +kπ, k=0,1,2…，
∴ω= ，k=0,1,2…
当k=0时，ω= ，f(x)=sin( )在[0， ]上是减函数；
当k=1时，ω=2，f(x)=sin（2x+ ）在[0， ]上是减函数；
当k≥2时，ω≥ ，f(x)=sin（ωx+ ）在[0， ]上不是单调函数。
所以，综合得ω= 或ω=2。
（19）本小题主要考查线面关系和直棱柱等基本知识，同时考查空间想象能力的推理运算能力，满分12分。 解法一：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角。 设F为AB中点，连结EF、FC，
∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC， ∴CDEF为矩形。
连结DF，G是ΔADB的重心，∴G∈DF。在直角三角形EFD中，EF2=FG·FD= FD2，
∵EF=1，∴FD= 。
于是ED= ∵FC=ED=
，EG= ，∴AB=2
= 。
，EB=
，A1B=2
∴sin∠EBG= = · = 。
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F。 ∴ED⊥平面A1AB，
设A1到平面AED的距离为h， 则
·h=
·ED。
又出 = = ·AB=
= AE·ED=
∴ h =
即A1到平面AED的距离为 。
解法二：（I）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角。 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a
则 A(2a,0,0), B(0,2a,0), D(0,0,1), A1(2a,0,2), E(a,a,1), G( ).
∴ =（ ， ， ）， =（0，-2a，1）
∴ · = - + =0， 解得a =1
∴ =（2，-2，2）， =（ ，- ， ）。
∴cos∠A1BG= = =
A1B与平面ABD所成角是arccos .
（Ⅱ）由（I）有A(2,0,0), A1(2,0,0), E(1,1,1),D(0,0,1).
·
=（-1，1，1）·（-1，-1，0）=0，
平面AED，
·
=（0，0，2）·（-1，-1，0）=0，
∴ED⊥平面AA1E，又ED
∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED∩面AA1E=AE， ∴点A1在平面AED的射影K在AE上。 设
，
则 （-λ，λ，λ-2）。
由 · =0，即λ+λ+λ-2=0，
解得λ= 。
∴ = 。
∴ =
故A1到平面AED的距离 。
（20）本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分。
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点，使得点P到两定点距离的和为定值。
∵i=（1,0），c=（0，a）
∴c+λi=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa）。 因此，直线OP和AP的方程分别为 λy=ax 和 y-a= -2λax
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y(y – a)= -2a2x2,
整理得
因为a＞0，所以得：
=1. ①
（ⅰ）当a= 时，，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ⅱ）当0＜a＜定点：
时，方程①也表示椭圆，焦点E 和F 为合乎题意的两个
（ⅲ）当a＞意的两个定点。
时，方程①也表示椭圆，焦点E 和F 为合乎题
（21）本小题主要考查导数、不等工证明等知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力。满分12分。
证明：（I）因为(x – a)n = ,
所以y 1 =
= =n(x-a)n-1
（Ⅱ）对函数f n1(x)=xn-(x-a)n求导数： f n1(x)=nxn-1 - n( x – a)n-1 所以 f n1(n)=n[nn-1-(n-a)n-1]. 当x≥a≥0时f n1(x)＞0。
∴当x≥a时f n(x)=xn-(x-a)n是关于x的增函数。 因此当n≥a时，
(n+1)n-(n+1-a)n＞nn-(n-a)n
f n+11(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1-a)n]＞(n+1)(nn-(n-a)n)
＞(n+1)(nn-n(n-a)n-1) = (n+1)f n1(n). 即对任意n≥a，f n+11(n+1)＞(n+1)f n1(n)。
（22）本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。
（1）解：∵Qn（an, ），Pn+1( ), Qn+1( ),
∴an+1= ,
∴an= = =
= = ……
=
= =
∴ an=
(Ⅱ)证明：由a=1知an+1=
∵ a1≤ ，
∴ a2≤ ，a3≤
∵当k≥1时，ak+2≤a3≤
∴ ≤ = ＜ 。
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，an=因此
= ）
≤
=（1-a1）
＜（1-a1） ·
=
＜
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.设集合M＝{(x,y)|x2＋y2＝1,x∈R,y∈R}，N＝{(x,y)|x2－y＝0,x∈R,y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为
A1 B2 C3 D4
2.函数y＝|sin
|的最小正周期是A Bπ
C2π D4π
3.记函数y＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)＝
A2 B－2 C3 D－1 4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为
A81 B120 C168 D192 5.圆x2＋y2－4x＝0在点P(1, Ax＋ Cx－ 6.
)处的切线方程为
y－4＝0 y＋2＝0
y－2＝0 Bx＋ y＋4＝0 Dx－ 的展开式中的常数项为
A15 B－15 C20 D－20 7.设复数z的辐角主值为A－2－2 ＋2i
8.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y＝＝
A5 B
C
D
x，则该双曲线的离心率为e
，虚部为
，则z2＝
i D2
i B－2 －2i C2＋2
9.不等式1＜|x＋1|＜3的解集为
A(0,2) B(－2,0)∪(2,4) C(－4,0) D(－4，－2)∪(0，2)
10.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 A
B
C
D
11.在三角形ABC中，AB＝3，BC＝
，AC＝4，则边AC上的高为
A B C D3
12.将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有
A12种 B24种 C36种 D48种 二、填空题(每小题4分，共16分) 13.函数y＝
的定义域是＿＿＿＿。
14.用平面α截半径为R的球，如果球心到平面α的距离为的面积与球的表面积的比值为＿＿＿＿。 15.函数y＝sinx－
，那么截得小圆
16.设P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为＿＿＿＿。
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17.(本题满分12分)解方程：4x－2x＋2－12＝0。 18.(本题满分12分)已知α为锐角，且tanα＝
19.(本题满分12分)设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且
＝9S2，S4＝4S2，求数列的通项公式。
，求
的值。
cosx(x∈R)的最大值为＿＿＿＿。
20.(本题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
21.(本题满分12分)三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3。
(1)求证：AB⊥BC； (2)设AB＝BC＝2
，求AC与平面PBC所成角的大小。
的两个焦点是F1(－c,0)与F2(c,0)(c＞0)，
22.(本题满分12分)设椭圆
且椭圆上存在点P，使得直线PF1与PF2垂直。 (1)求实数m的取值范围；
(2)设L是相应于焦点F2的准线，直线PF2与L相交于点Q。若
＝2－
，求直线PF2的方程
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