2012届卢湾区高三一模数学理

2012.1

（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式x2x10的解集为 ． 2．若sin，则cos2 ． 313．函数ylnx(x0)的反函数为 ．

2k4．若集合A{x|0≤x≤5,xZ}，B{x|x,kA}，则AB （用列举法

2表示）．

5．若函数f(x)axb的零点为x2，则函数g(x)bx2ax的零点是x0和x ．

a1b1c1a1xb1yc1,6．已知二元一次方程组，若记a，b，c，则该方程组

axbyc222b2c2a2存在唯一解的条件为 （用a、b、c表示）．

17．若(1ax)5110xbx2a5x5，则b ． 8．若常数t满足|t|1，则lim1ttttn2n1n ．

9．已知数列{an}，若a114，an1an值是 ．

23（nN*），则使anan20成立的n的

10．甲、乙、丙三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是 （结果用数值表示）．

11．已知甲射手射中目标的概率为80%，乙射手射中目标的概率为70%．若甲乙两射手的射击相互独立，则甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为 （结果用数值表示）．

12．为了解某校高三学生的视力情况，随机查了该校100名高三学生的视力情况，得到分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据

频率 组距 地抽频率丢

0.30.14.34.44.54.64.74.84.95.05.15.2视力

第1页

失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，那么最大频率为 ，视力在4.6到5.0之间的学生数为 ．

13．已知函数f(x)abxc(b0,b1)，x[0,)，若其值域为[2,3)，则该函数的一个解析式可以为f(x) ．

14．若对于满足1≤t≤3的一切实数t，不等式x2(t2t3)xt2(t3)0恒成立，则x的取值范围为 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在复平面内，复数z(1i)i（i为虚数单位）对应的点位于（ ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．“2k(kZ)”是“tantan”成立的（ ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

17．若函数f(x)同时满足下列三个条件：①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同，则函数f(x)可以是（ ）．

A．f(x)sinx（2≤x≤2） B．f(x)eexxC．f(x)x3 D．f(x)ln21x1x

18．已知函数f(x)|x21|，若0xy，且f(x)f(y)，则（ ）．

A．yC．y24x（0x22x（0x2） B．y2） D．y24x（0x2） 22x（0x1）

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2bcosC，bc3a． 求sinA的值．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

已知函数f(x)|xa|，g(x)x22ax1（a为正常数），且函数f(x)与g(x)的图像在y轴上的截距相等．

（1）求a的值；

（2）若h(x)f(x)bg(x)（b为常数），试讨论函数h(x)的奇偶性．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

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已知a、b是两个不共线的非零向量．

1（1）设OAa，OBtb（tR），OC(ab)，当A、B、C三点共线时，求t的

3值．

（2）如图，若aOD，bOE，a与b夹角为120，E上一动点，设|a||b|1，点P是以O为圆心的圆弧D（，求xy的最大值． OPxODyOEx,yR）

EP

OD第（2）小题

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．

已知数列{bn}，若存在正整数T，对一切nN*都有bnTbn，则称数列{bn}为周期数列，T是它的一个周期．例如：

数列a，a，a，a，„ ① 可看作周期为1的数列； 数列a，b，a，b，„ ② 可看作周期为2的数列； 数列a，b，c，a，b，c，„ ③ 可看作周期为3的数列„ （1）对于数列②，它的一个通项公式可以是an个通项公式；

（2）求数列③的前n项和Sn； （3）在数列③中，若a2,b12,c1，且它有一个形如bnAsin(n)B的通

2abn为正奇数，n为正偶数.试再写出该数列的一

项公式，其中A、B、、均为实数，A0，0，||式bn．

，求该数列的一个通项公

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数f(x)x1ttxy（t为常数）．

（1）当t1时，在图中的直角坐标系内作出函数

11O11x第3页

． yf(x)的大致图像，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）

（2）设anf(n)（nN*），当t10，且tN*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．

（3）利用函数yf(x)构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令

*，„ x2f(x1)，x3f(x2)，„，xnf(xn1)（n≥2，nN）

在上述构造过程中，若xi（iN*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．

若取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数t的值．

数学参考答案及评分标准 2012.1

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1． 2．

7912 3．ye2x(xR) 4．{0,1,2} 5．

16．a与b不平行 7．40 8． 9．21

t1110． 11．（理）0.94 12．0.27，78

441113．53（满足0b1的b均可） 14．(,4)(9,)

2x二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得5分，否则一律得零分． 15．B 16．D 17．C 18．D 三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）

由a2bcosC及正弦定理，得sinA2sinBcosC，又A(BC)， 可化为sin(BC)2sinBcosC，展开整理得sin(BC)0，（4分） 在三角形中得BC0，即BC，可得bc，（6分） 于是由bc3a，得2b3a，因此cosC可得sinC223a2b13，（8分）

，（10分）

429故sinAsin(2C)2sinCcosC．（12分）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分． （1）由题意，f(0)g(0)，即|a|1，又a0，故a1．（4分）

第4页

（2）h(x)f(x)bg(x)|x1|b|x1|，其定义域为R，（8分）

h(x)|x1|b|x1||x1|b|x1|．

若h(x)为偶函数，即h(x)h(x)，则有b1，此时h(2)4，h(2)4， 故h(2)h(2)，即h(x)不为奇函数；

若h(x)为奇函数，即h(x)h(x)，则b1，此时h(2)2，h(2)2， 故h(2)h(2)，即h(x)不为偶函数；

综上，当且仅当b1时，函数h(x)为偶函数，且不为奇函数，（10分） 当且仅当b1时，函数h(x)为奇函数，且不为偶函数，（12分） 当b1时，函数h(x)既非奇函数又非偶函数．（14分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）由题意，可设ABkBC，（2分）

11将ABOBOAtba，BCOCOBa(t)b代入上式，

33k11得tbaak(t)b，解得k3，t．（6分）

332（2）以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，则D(1,0)，E(,213设POD（0≤≤sin32y，于是y323），则P(cos,由OPxODyOEsin)，

13sin，（10分）

2)．

，得cosx12y，

sin，xcos于是xycos3sin2sin(故当36)，

时，xy的最大值为2．（14分）

3），由OPODxODODyOEOD，

另解：设POD（0≤≤11)xy， OPOExODOEyOEOE，可得cosxy，cos(322)]2sin()， 于是xy2[coscos(36故当时，xy的最大值为2．

322．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分． （1）ana2[1(1)n1]b2[1(1)]或ana|sinn13nn2|b|cosn2|等．（3分）

（2）当n3k1时，Sn(abc)a；（5分）

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当n3k2时，Sn当n3k3时，Snn23n3（7分） (abc)ab；

．（9分） (abc)（kN）

23，得23（3）由题意，0，应有于是bnAsin(23，（10分）

n)B，

(1)(2)（12分） (3)2Asin()B2,3411把b12，b2，b31代入上式得Asin()B,322Asin(2)B1,由(1)(2)可得Acos（13分）

Asin3232，再代入(1)的展开式，可得2A2sinB54，与(3)联立得B

12

，

，于是tan3，因为||，所以3，（14分）

于是可求得A3．（15分） 故bn3sin(或写成bn2n332n3)12（nN*）

3]123sin[(3k1)（kZ,nN*）．（16分）

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）当t1时，f(x)图像如图（2分） 基本性质：（每个2分）

奇偶性：既非奇函数又非偶函数； 单调性：在(,1)和(1,)上分别递增； 零点：x0；

最值：无最大、小值．（6分） （2）ann1ttn11nt11O11x1x11x1．

yx，

当1≤n≤[t]，nN*时，数列单调递增，且此时an均大于1， 当n≥[t]1，nN*时，数列单调递增，且此时an均小于1，（8分） 因此，数列中的最大项为a[t][t]1tt[t]，（10分）

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最小项为a[t]1[t]2tt1[t]．（12分）

x1ttxt在R中无实数解，

（3）（理）由题意，f(x)亦即当xt时，方程(1t)xt2t1无实数解．（14分） 由于xt不是方程(1t)xt2t1的解，（16分）

因此对任意xR，使方程(1t)xt2t1无实数解，则t1为所求．（18分）

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