高三物理万有引力定律和天体运动

重点难点

1．研究天体运动的基本方法：

研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体圆周运动的向心力．

υ22m1m2

即 G2 = m2 = m2ω2r = m2（）r

rrT2．卫星的速度、角速度、加速度、周期和轨道半径的关系 ①υ= ②ω =

GM1

，即线速度 υ∝； rrGM13，即角速度ω∝rr3

2

4242r3T23③T = ，即周期T∝r，或3 = ，即开普勒第三定律

rGMGM④a =

GM1

2，即向心加速度a∝2rr

规律方法

【例1】由于万有引力定律和库仑定律都满足于平方反比律，因此引力场和电场之间有许多相似的性质，在处理有关问题时可以将它们进行类比．例如电场中反映各点电场强弱的物理量是电场F

强度，其定义式为E = ，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱．设地球

q质量为M，半径为R，地球表面处重力加速度为g，引力常量为G．如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是 （AD）

A．G

Mm

B．G

(2R)2(2R)2 C．G

Mmg

D． 24(2R)训练题在某星球表面以初速度υ0竖直上抛一个物体，若物体受到该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为

A．（ A ）

C．20dh B．0dh20h D．dh0d

【例2】已知万有引力常量是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运动周期为T1，地球的自转周期为T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：

224hMm

同步卫星绕地心作圆周运动，由G2 = m（）h，得M =

hTGT2223

2（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果． （2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．

【解析】（1）地球半径约为6400km，同步卫星的高度约为36000km．计算同步卫星轨道半径时，

就不能忽略地球的半径．故题中的结果是错误的．

224(Rh)Mm

正确的解法和结果是：由G）（R+h），得： M = 2 = m（(R+h)TGT2223

232224rMm

（2）方法一：由月球绕地球做圆周运动，有：G2 = m（）r，得：M = 2rTGT11GMmR2g方法二：在地面附近重力近似等于万有引力，由2 = mg得：M = ．

RG

【例3】一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球做圆周运动，用摄像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的飞行周期为T（小于24h）．试求摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积4

之比．（万有引力常量为G；球体体积公式为V = πr3，r为球半径；球冠面积公式为S = 2πrh，r为

3球半径，h为球冠高）

【解析】如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分的球冠表面积是不能拍摄到的区域．

4GMm

卫星绕地球运动，有：2 = m2R

RT4

其中地球的质量为M，则M = πr3ρ

3图中球冠的高为h，则h = r（1-cosα） 其中cosα =

R-rR

222

而球冠的总面积为 S′ = 2πrh×2，地球的表面积为 S = 4πr2

S-S′解得摄像机所能拍摄到的总面积与地球表面积之比为 =

S

331()．

GpT22训练题宇宙飞船上的科研人员在探索某星球时，完成如下实验：①当飞船停留在距该星球一定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经过时间t后收到反射回来的信号，并测得此时刻星球对观察者的眼睛所张视角为；②当飞船在该星球着陆后，科研人员在距星球表面h处以初速度vo水平抛出一个小球，并测出落点到抛出点的水平距离为S。已知万有引力恒量G，光速c，星球的自转影响以及大气对物体的阻力均不计。试根据以上信息，求： （1）星球的半径R。 （2）星球的质量M。

ctsin答案：R

22(1sin)2，M2 2GS2(1sin)2c2t2v0hsin22【例4】阅读下列材料，并结合该材料解题．

开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星三定律：

第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个公共焦点上． 第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．

第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等． 实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动．如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，当开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道上，如图所示．问在这之后卫星经过多长时间着陆。空气阻力不计，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，圆形轨道应为椭圆轨道的一种特殊形式．

【解析】卫星在半径为r的圆轨道运动有：

GMm42 m2r

r2T1得此时卫星的周期为T1 = 2π

r3 GM

R+r

2

卫星沿椭圆轨道运动时，其半长轴为a =

2

T2T21由开普勒第三定律有：3 = ，得

rR+r

()32

T2 = π（R+r）R+r GM

GMm

另外，在地球表面时，近似有：2 = mg，得 GM = R2g．

R从开始制动到飞船着陆，经过时间为t，则t =

RrT2

，得t = (Rr)． 222Rg训练题卢瑟福的α粒子散射实验，建立了原子的核式模型，原子的核式模型又叫做原子的行星模型，这是因为两者之间有极大的相似之处，带电粒子间遵循库仑定律，而星体之间遵循万有引力Q

定律，两定律有相同的表达形式．以无穷远处电势为零点，点电荷的电势为u = k，可推出氢原子

r基态能级为-13．6eV．

（1）令距地球无穷远处为重力势能的零点，计算：质量为1t的卫星，绕地表飞行，其总机械能为多大?

（2）再补充多少能量可使它脱离地球的引力答案：（1）E=－3．1×1010J

（2）E/=3．1×1010J

能力训练

1． 2005年10月12日，我国利用“神舟六号”飞船将宇航员费俊龙、聂海胜送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家．设费俊龙测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T．离地面的高度为H，地球半径为R．则根据T、H、R和万有引力恒量G，费俊龙不能计算出下面的哪一项（ C ）

A．地球的质量 B．地球的平均密度

．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小

2．如图在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则 （ CD ）

A．该卫星的发射速度必定大于11.

B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.

C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点速度大于在Q点的速度 D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ

3． “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，则飞船在上述圆轨道上运行的动能

11

A．等于mg（R+h） B．小于mg（R+h）

2211

C．大于mg（R+h） D．等于mgh

22

4．氢原子中的电子绕原子核旋转和人造地球卫星绕地球旋转相比较（不计算空气阻力），下列说法正确的是

A．轨道半径越大，线速度都越小 B．轨道半径越大，周期都越大

C．电子从内层轨道向外层轨道跃迁时，总能量（动能和电势能）不变，人造卫星从远地点向近地点运动时，总能量（动能和重力势能）也不变

D．电子可以在大于基态轨道半径的任意轨道上运动，卫星可以在大于地球半径的任意轨道上运动

5．我国的航天技术正在飞速发展，在我国航天史上第一颗人造卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，它在近地点时离地面高度为h，速度为υ，又知地球半径为R，地面附近重力加速度为g，则它在近地点时的加速度大小（ A ）

（ AB ） （ B ）

υR2g(R+h)2g

A． B． C．g D． 2(R+h)2R(R+h)2

6．某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用Ek1、Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则（ B ）

A．r1＜r2，Ek1＜Ek2 C．r1＜r2，Ek2＞Ek2 7

B．r1＞r2，Ek1＜Ek2 D．r1＞r2，Ek1＞Ek2

2

一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为r=2R (R为地球半径)，卫星的运动方向与地

球自转方向相同。已知地球自转的角速度为ω，地球表面处的重力加速度为g。

（1）求人造卫星绕地球转动的角速度。

（2）若某时刻卫星通过赤道上某建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物上方需要的时间。 答案：（1）地球对卫星的万有引力提供作圆周运动的向心力 GMm2 mr卫2r地面表面附近的重力加速度g =G

把r＝2R代入，解方程可得

M R2卫g 8R弧度，所需时间

（2）卫星下次通过该建筑物上方时，卫星比地球多转

t2＝卫2g8R

8

侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半

径为R，地面表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T。 ⑴ 试求该卫星的运行速度；

⑵ 要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是多少?

答案：⑴ 设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，由万有引力提供向心力：

Mmv2 Gm2Rh(Rh)设地球表面有个质量为m0的物体，则：m0g=G由①②式联立，卫星的运行速度为：v⑵设卫星的运动周期为T′，则：GMm0 2RRg(Rh)

RhMm222(Rh)m(T)(Rh)

2得：TR(Rh)3 gT T2R摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S＝

N一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：N42得：S＝

T

(Rh)3 g万有引力定律在天体运动中的应用 典型例题

[例题1] 两颗人造卫星的质量之比m1∶m2＝1∶2，轨道半径之比R1∶R2＝3∶1．求： (1)两颗卫星运行的线速度之比； (2)两颗卫星运行的角速度之比； (3)两颗卫星运行的周期之比； (4)两颗卫星运行的向心加速度之比； (5)两颗卫星运行的向心力之比．

[思路点拨] 将卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力系万有引力，即

应用时根据实际情况选用适当公式进行分析为求解此类问题的基本方法．

[小结] 本题是典型地把天体(或卫星)的运动视为圆周运动，并应用万有引力等于向心力解题的题目．此方法主要用于计算天体的质量，讨论天体(或卫星)的速度、角速度、周期及半径等问题．在应用以上思路解题时，一般常采用比例计算法．

[例题2] 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图6－2所示．试求飞船由A点到B点所需的时间(已知地球半径为R0)？

[思路点拨] 设飞船沿椭圆轨道运动时的周期为T′，因椭圆轨道

故飞船由A点到B点所需的时间为

[小结] 分析天体运动的问题，基本方法是把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，依此分析和求解．但同时也应注意开普勒行星运动三大定律也是解决有关天体运动的重要方法．

[例题3] 如图6－3所示，某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行．它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点时的速率为vA，行星的远日点B离太阳的距离为b，求它经过远日点时速度的大小．

[思路点拨] 尽管该题是一个椭圆轨道问题，但我们仍可以利用太阳对行星的万有引力等于行星所需的向心力来解题．但此时要注意向心力公式中的r应为该点的曲率半径．

解：设A、B点的曲率半径为r，于是有

[小结] 由于受圆周运动计算半径的习惯影响，解题者往往误认为椭圆在A、B两点的曲率半径就等于A、B两点至太阳C的距离．其实，椭圆的形状是左右对称的，A点与B点的曲率半径应该相等．