高中数学 综合测试题2 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题

一、选择题（每题小题5分）

1.设y=x2－x,则x∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B －

111 C D 4242

2.若质点P的运动方程为S(t)=2t+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速

度为（ ）

A 2米/秒 B 3米/秒 C 4米/秒 D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－

513x－2在点（－1，）处切线的倾斜角为（ ）

33Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x+ x3的单调递减区间是（ ）

A (－∞,－

666666) B (－,) C(－∞,－)∪(,+∞) D (,+∞) 33333335.过曲线ｙ＝x＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝6.曲线ｙ＝

xx1＋３ Ｃ ｙ＝-- Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 333131x在点（１，）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 3332Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º

7.已知函数f(x)=x+ax+b的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a、b的值分别为（ ）.

A －3, 2 B －3, 0 C 3, 2 D 3, －4 8.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f(1)=4,则a的值等于（ ） A

/19101613 B C D 33339.函数y= x3－12x+16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 16

10.已知a>0，函数ｙ＝x-aｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3

11.已知f(x)=2x-6x+m（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）

A -37 B -29 C -5 D -11

1

323学而思网校 www.xueersi.com

12.已知f(x)=x+x3, 且x1+x2<0, x2+x3<0, x3+x1<0则（ ）

A f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D f(x1)+f(x2)+f(x3)符号不能确定. 二、填空题（每小题4分）

13.过抛物线y=f(x)上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则f(1)=__________. 14.函数f(x)=x3－3x的递减区间是__________

15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝3x2－4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.

16.函数f(x)=x(1－x2)在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题

17.已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图像经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x－2. 求f(x)的解析式；12分

18.证明：过抛物线y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0, x1< x2)上两点A(x1,0),B(x2,0)的切线与x轴所成的锐角相等。12分

19.已知f(x)=ax+bx+cx（a0）在x=±1时取得极值且f（1）= -1 试求常数a、b、c的值并求极值。12分 20.已知函数f(x)=

32/a3xax2x1. 3（1）若f(x)在（－∞，+∞）上是增函数，求a的取值范围.

(2) 若f(x)在x=x1及x=x2 (x1, x2>0)处有极值，且1<

x1≤5,求a的取值范围。12分 x221.已知函数f(x)=ax+cx+d(a≠0)在R上满足 f(x)=－f(x), 当x=1时f(x)取得极值－2. (1)求f(x)的单调区间和极大值;

(2)证明：对任意x1,x2∈(－1,1),不等式│f(x1)f(x2)│<4恒成立. 14分

22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.

3

2

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x

x

（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积V1是多少？

（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积V2>V1 14分

答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[－1,1] 15.2x－y+4=0 16.

23 9提示：1.A f(1)=f(0)=0最大

2. D∵S=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒

/3. 选Ｃ∵f(x)=－x2∴f(1)=－1即tanα=－1∴α=135º

/4. 选B∵y=－2+3x2<0,∴－

2661(x+1)即Ｃ答案 36. 选Ｄ∵y =x2, y│x=1=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为90º

7. A∵f(x)=3x2+2ax，切线的斜率k=3+2a，3+2a= -3 ∴a=-3又∵f（1）=a+b+1=0 ∴b=2，故选A

/8. 选B∵f(x)=3ax2+6x∴f(1)=3a－6∴a=

//10 39. 选B ∵y=3x2－12, 由y=0得x=±2当x=±2，x=±3时求得最大值32，最小值0 10. D∵f(x)=3x2－a，∴若f(x)为增函数，则f(x)>0即a<3x2要使a<3x2, x∈[1,+∞)，上恒成立，∴a≤3故选D

/11. A令f(x)=0得x=0或x=2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m显然

//f(0)>f(2)>f(－2)∴m=3

3

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最小值为f(－2)=－37故选A

12. B∵f(x)=3x2+1,∴f(x)>0∴f(x)在上是增函数，且f(x)是奇函数，

∴f(x1)13.由题意可知切线斜率为1，由导数定义知f(1)=1 14. ∵f(x)=3x2－3∴令3x2－3≤0解得－1≤x≤1

15. ∵y=6x－4∴k=y│x=1=2∴直线方程为y－2=2(x+1)即2x－y+4=0

////16. ∵f(x)=x－x3∴f(x)=1－3x2=0得x=

/33可知当x=时函数值为最大值，最33大值是

23 917. 解：由题意可知f(0)=1，f(1)=－1，f(1)=1，.…………..6分

c1c15∴4a2b1解之得a.………….11分

2abc19b2∴f(x)=

5492xx1.…………..12分 222

18. 证明：∵y= a(x－x1)(x－x2)=ax－a(x1+ x2)x+a x1 x2.…………..3分 ∴y=2ax－a(x1+x2) .………….6分

∴k1=y│x=x1=a(x1－x2) k2=y│x=x2=a(x2－x1) .…………..9分

设两切线与x轴所成锐角为θ1和θ2

则tanθ1=│a(x1－x2)│=│a│(x2－x1)>0, tanθ2=│a(x2－x1)│=│a│(x2－x1)>0………11分

∴tanθ1= tanθ2.…………..12分

19. 解：f(x)=3ax2+2bx+c，.…………3分

∵f(x)在x=±1时取得极值∴x=±1是f(x)=0即3ax2+2bx+c=0的两根………6分

//∴3a2bc0(1) ∵f（1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）

3a2bc0(2)4

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13， b=0，c=………9分 22133/∴f(x)= x3x，∴f(x)=（x –1）（x+1）

222由（1），（2），（3）得a=

当x<-1或x>1时，f(x)>0，当-1∴f(x)在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）是减函数………11分 ∴当x= -1时函数取得极大值f（-1）=1

当x=1时函数取得极小值f（1）= -1………12分

20. 解：(1)∵f(x)=ax－2ax+1……………………………...….1分

2

//∴当a=0时，，f(x)=1>0,故结论成立………………………………2分 当a>0时,[ f(x)]min=f(1)=1－a≥0,∴a≤1即0(2) 令f(x)=ax－2ax+1=0，由题知其二根为x1，x2且x1+x2=2，x1x2=

2

1…………..7分 a∵1<

x11≤5 ∴x1≤2－x2≤5x1 ∴≤x1<1 …………..9分 x23112

∴=－(x1－1)+1…………..11分 aa519∴≤<1 ∴121. 解：（1）由f(x)=－f(x)(x∈R)得.d=0∴f(x)= ax+cx , f(x)=ax+c. …………2

3

2

分

由题设f(1)=－2为f(x)的极值,必有f(1)=0∴2

ac0解得a=1,c=－3

3ac0∴f(x) =3x－3=3(x－1)(x+1) 从而f(1)=f(1)=0. …………4分

当x∈(－∞,－1)时, f(x)>0则f(x)在(－∞,－1)上是增函数; …………5分 在x∈(－1,1)时, f(x)<0则f(x)在(－1,1)上是减函数…………6分 当x∈(1,+∞)时, f(x)>0则f(x)在(1,+∞)上是增函数…………7分 ∴f(1)=2为极大值. …………9分

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(2)由(1)知, f(x)=x33x在[－1,1]上是减函数,且f(x)在[－1,1]上的最大值M=f(1)=2,在

[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………12分

对任意的x1,x2∈(－1,1),恒有│f(x1)f(x2)│V1=(4－2x)2·x=4(x3－4x2+4x),(0∴V1=4(3x2－8x+4). ………6分

222 ,x2=2（舍去）而V1=12(x－)(x－2)又当x<时，V1>0, 33322128当方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子

311121422123

图a 图b 图c

新焊成的盒子的容积V2为：3×2×1=6,显然V2>V1故此方案符合要求。………14分

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题

一、选择题

1、函数yx在区间[1,2]上的平均变化率为（ ）

（A）2 （B）3 （B）4 （D）5 答案：（B）

2曲线yx在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为（ ） （A）

328754 （B） （C） （D） 3333答案：（A）；

3、已知直线ykx是ylnx的切线，则k的值为（ ）

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（A）

1122 （B） （C） （D） eeee答案：（A）

4、设1,abi,bai是一等比数列的连续三项，则a,b的值分别为（ ）

（A）a3113,b （B）a,b2222

（C）a3113,b （D）a,b 22223a22abb22 答案：（C）；由(bai)abi2abab125、方程x(4i)x4ai0(aR)有实根b，且zabi，则z（ ） （A）22i （B）22i （C）22i （D）22i

2b24b40b2答案：（A）；由，则z22i a2ba06、已知三角形的三边分别为a,b,c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s1(a 2bc)r；四面体的四个面的面积分别为s1,s2,s3,s4，内切球的半径为R。类比三角形的

面积可得四面体的体积为（ ）

11(s1s2s3s4)R （B）V(s1s2s3s4)R 231（C）V(s1s2s3s4)R （D）V(s1s2s3s4)R

4（A）V答案：（B）

7、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,的第50项是（ ）

（A）8 （B）9 （C）10 （D）11 答案：（C）

8、在证明f(x)2x1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)2x1满足增函数的定义是小前提；④函数

f(x)2x1满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）

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（A）①② （B）②④ （C）①③ （D）②③ 答案：（C）

9、若a,bR，则复数(a4a5)(b2b6)i表示的点在（ ） （A）在第一象限 （B）在第二象限 （C）在第三象限 （D）在第四象限

答案：（D）；由a4a5(a2)10，b2b6(b1)50，知在第四象限；

10、用数学归纳法证明不等式“

22222211113(n2)”时的过程中，n1n22n24由nk到nk1时，不等式的左边（ ）

（A）增加了一项

111 （B）增加了两项 2k12(k1)2(k1)111，又减少了； 2k12(k1)k1（C）增加了两项

（D）增加了一项答案：（C）；

11，又减少了一项；

2(k1)k13211、如图是函数f(x)xbxcxd的大致 图象，则x1x2等于（ ）

2224 （B） 33812（C） （D）

33（A）

答案：（C）；提示，由图象过(0,0),(1,0),(2,0)知f(x)x(x1)(x2)经比较可得

x1x22 b3,c2,d0，即f(x)x33x22x，由f/(x)3x26x2得2；

x1x2312、对于函数f(x)x3x，给出下列四个命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，有极值；③f(x)在区间(,0]及[2,)上是增函数；④f(x)有极大值为0，极小值4；其中正确命题的个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

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答案：（B）；其中命题③与命题④是正确的。 二、填空题

13、函数f(x)x3x1在闭区间[3,0]上的最大值与最小值分别为： 答案：3,17；

14、若z113i，z268i，且

3111，则z的值为 ； zz1z2答案：z113422i i；提示，由z113i，得z1101055134111211ii，那么 z25050zz2z150又由z268i，得

15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .

答案：an2n1

16、物体A的运动速度v与时间t之间的关系为v2t1（v的单位是m/s，t的单位是s），物体B的运动速度v与时间t之间的关系为v18t，两个物体在相距为405m的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时，A物体的运动路程为：

tt答案：72m；提示，设运动ts时两物体相遇，那么(2t1)dt(18t)dt405

009得t9，由于(2t1)dt72，得相遇时A物体运动72m；

0三、解答题

17、已知复数z1,z2满足10z15z22z1z2，且z12z2为纯虚数，求证：3z1z2为实数

证明：由10z15z22z1z2，得10z12z1z25z20，

即(3z1z2)(z12z2)0，那么(3z1z2)(z12z2)[(z12z2)i] 由于，z12z2为纯虚数，可设z12z2bi(bR且b0) 所以(3z1z2)b，从而3z1z2b

2222222222222 9

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故3z1z2为实数

18、求由ysinx与直线y22x所围成图形的面积 33xysinx4解：由或 22x2yy23xx034或，本题的图形由两部分构成，首先计出[,0]上的面积，再计算出4y0y22[0,3]上的面积，然后两者相加即可；于是 40 S34(22x22x2xsinx)dx(sinx)dx(cosx)(cosx 33330434202x216(832) )30819、用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另以一边长多0.5m那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.

解：设该容器低面矩形边长为xm,则另一边长为(x0.5)m，此容器的高为

34h14.8x(x0.5)3.22x， 4于是，此容器的容积为： V(x)x(x0.5)(3.22x)2x2.2x1.6x，其中

320x1.6

（x）6x4.4x1.60，得x11，x2由V/24（舍去） 15/因为，V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且x(0,1)时，V(x)0，函数V(x)递增；x(1,1.6)时，V(x)0，函数V(x)递减；

所以，当x1时，函数V(x)有最大值V(1)1(10.5)(3.221)1.8m 即当高为1.2m时, 长方体容器的容积最大，最大容积为1.8米.

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20、已知a0，函数f(x)(x2ax)e．

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设f(x)在[1,1]上是单调函数，求a的取值范围 解析：（1）略

（2）由f(x)(2x2a)e(x2ax)ee[x2(1a)x2a]

/令f(x)0，即x2(1a)x2a0，得x1a11a2，x2a1

2/x2xx22x1a2，其中x1x2

当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：

/x

(,x1)x1

0

(x1,x2)x2 

0 极小值(x2,)

f/(x)

f(x)极大值当a0时，x11,x20,f(x)在(x1,x2)上单调递减；

由此可得：f(x)在[1,1]上是单调函数的充要条件为x21，即a11a21，解得a3； 434即所求a的取值范围为[,)；

21、若xi0(i1,2,3,,n)，观察下列不等式：

(x1x2)(11111)4，(x1x2x3)()9，…，请你猜测x1x2x1x2x3111)将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。 x1x2xn111)n2(n2)，证明如下： x1x2xn(x1x2xn)(解：将满足的不等式为(x1x2xn)(10当n2时，结论成立；

20假设nk时，结论成立，即(x1x2xk)(

11

111)k2 x1x2xk学而思网校 www.xueersi.com

那么，当nk1时，(x1x2xkxk1)(1111) x1x2xkxk1(x1x2xk)(111111)(x1x2xk)xk1( x1x2xkxk1x1x21111)1k22(x1x2xk)()1k22k1(k1)2 xkx1x2xk显然，当nk1时，结论成立。

由10、20知对于大于2的整数n，(x1x2xn)(111)n2成立。 x1x2xn

12