维普资讯 http://www.cqvip.com 第２７卷第２期 上海海事大学学报 Ｖ０ｌ＿２７ Ｎｏ．２ ２００６年６月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＡＮＧＨＡＩ ＭＡＲＩＴＩＭＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｊｕｎ．２００６ 文章编号：１６７２－９４９８（２００６）０２－００１２－０５ 岸边集装箱起重机起升动载系数的 动力学模型及其解 张纪元，钟怀茂 （上海海事大学物流工程学院，上海２００１３５） 摘要：建立确定大型岸边集装箱起重机起升动载系数的动力学模型，并用模态分析法求得其解析 解．理论计算和实际测试结果的比对表明：该动力学模型与实际情况较接近，计算公式和计算方法 正确．测试结果可信． 关键词：集装箱起重机；起升动载系数；动力学模型 中图分类号：Ｕ６７６．１ 文献标识码：Ａ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｕｐｒｉｓｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ｉｔｓ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ＺＨＡＮＧ Ｊｉｙｕａｎ，ＺＨＯＮＧ Ｈｕａｉｍａｏ （Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ Ｅｎｇ．Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖ．，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００１３５，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｂｕｉｌｔ ａｎｄ ｉｔｓ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｓｔｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｎｄ ａｃｔｕａｌ ｔｅｓｔｉｎｇ ｒｅ－ ｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｆａｃｔ，ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔ，ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｃｒｅｄｉｂｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ；ｕｐｒｉｓｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃ ｌｏａｄ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ；ｄｙｎａｍｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ０ 引 言 １ 动力学模型 起升质量突然离地起升或下降制动时，对起重 如图１所示，设小车停留在大梁的Ｄ点不动， 机承载结构和传动结构产生附加的动载荷作用．在 起升荷重在离地（或离舱）瞬间的起升初速度为 ， 考虑这种工作情况的载荷组合时，应将起升载荷乘 起升加速度为口 ；起升质量为ｍ ，按下式计算： 以大于１的起升动载系数 ． 的取值对起重机 的设计、整机重量、安全性和经济性等都有较大的影 ｍ ＝ｍ＋ ｍ （１） 响．因此，国内外专家学者对确定动载系数的理论 式中，ｍ为吊重、吊具和吊具上架的总质量，ｍ 为下 和方法作了大量的研究¨ ，取得丰硕的成果．本 垂钢丝绳的质量． 文对确定大型岸边集装箱起重机起升动载系数的动 ｍ 为小车在大梁Ｄ处的等效质量，按下式计算： 力学模型、求解方法和计算公式等进行探讨，并以实 ｍ ＝ｍ ＋ｍＤ （２） 际测试结果验证有关理论和计算公式的正确性． 式中，ｍ 为行走小车的质量，ｍ。为大梁在Ｄ处的等 收稿日期：２００５－１０－３０；修回日期：２００６－０３－２７ 基金项目：上海市重点学科建设项目（ＩＤ６０１） 作者简介：张纪元（１９４９・），男，江苏江阴人，教授，博士，研究方向为机械设计，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｊｙｚｈ¨铲＠１２６．ｃｏｍ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 张纪元，等：岸边集装箱起重机起升动栽系数的动力学模型及其解 １３ 效到小车上的质量；ｋ 为钢丝绳的刚度系数，ｋ。为 大梁在Ｄ处的等效刚度． 图１动力学模型 １．１静平衡状态 当上述系统处于静止状态时，设钢丝绳的静伸 长量为 ，大梁Ｄ处的静挠度为６ ，则由静力平衡 条件可得： 』Ｔｏ ｍ６ｇ＝ｋｓ６ｂ （３） 【Ｒ珊＝Ｔｏ＋ｍ ｇ＝ｋｏ６ 式中， 为钢丝绳的静拉力，尺珊为大梁对小车的静 反力，ｇ为重力加速度． １．２动平衡状态 若取静平衡状态时的位置为振动位移的度量基 准位置，Ｙ 为起升质量的振动位移，Ｙ 为大梁Ｄ处 的振动挠度，则由牛顿第二定律可得： 』卜ｍｂｇ ｌｌｌａ，ｈ—ｂＹｂ （４） 【 一尺Ｄ＋ｍ ｇ＝ｍ 夕 式中， 为钢丝绳的动拉力，Ｒｏ为大梁对小车的动反力． 』Ｔ＝ｋｓ（６６＋Ｙ６一Ｙｕ）＝Ｔｏ＋ ６（ｙ６一Ｙｕ （５） 【ＲＤ＝ｋＤ（６ ＋Ｙ ）＝尺珊＋ｋｏｙ 由式（４）和式（５）整理可得如下的振动微分方 程组： （ｙ６一ｙｕ） ｍｎ （６） 【ｍ Ｙ 一ｋｓＹ６＋（ｋ ＋ｋＤ）Ｙ ＝０ 起升荷重离地瞬间的运动初始条件为 』‘ Ｙｂ（０）＝０，ｙ６＝一％ （～，，７） 【Ｙ （０）＝０，少 （０）＝０ 式中，％为起升初速度． 这里要区分两种运动：一是正常的起升运动， 起升质量的加速度为ｎ ；二是振动运动．设想在起 升质量离地瞬间，起升电机突然制动，则起升质量在 起升初速度 的激励下，以离地位置为平衡位置， 上下做振动运动，Ｙ 为其振动位移， 为其振动加 速度；ｙ 为相应的小车振动位移．起升动载系数 主要考虑振动运动引起的动载效应． １．３ 起升动载系数 若设整个系统是一个线性弹性系统，则应力与 力成正比．于是由式（５）可得大梁Ｄ处的起升动载 系数 。为 Ｒｏ一。 一 一Ｒｏｏ・＋ ＋ ≤・＋ ≤¨ ㈣’ 下滑轮处的起升动载系数 为 Ｔ ≤・＋ ２动力学模型的解 微分方程组（６）是一个二元二阶的线性非齐次 微分方程组，现用模态分析法求解．［６ ］ ２．１ 模态矩阵和正则振型矩阵 微分方程组（６）可用矩阵表示为 Ｍｙ＋ｇｙ＝Ｆ ｆ １０） 式中，Ｍ为质量矩阵， 为刚度矩阵，Ｙ＝［Ｙ ，Ｙ ］ ’ 为位移矩阵，Ｆ＝［，凇 ，０］ 为激振力矩阵．其中： Ｍ＝ ｋｇ 二 振动系统方程（１０）的特征矩阵为 Ｈ＝Ｋ一∞ Ｍ＝Ｋ—ＡＭ （１１） 式中，Ａ＝∞ ，∞为频率． 令特征矩阵Ｈ的行列式： ｄｅｔ（Ｈ）＝ＩＫ－ＡＭＩ＝ 二 －Ａｍｂ－ｋｓ－ｊ￣ｍｕ ｌ：０ ） 可得一个关于Ａ的一元二次方程： ｍ６ｍ Ａ 一（ｋｓｍ ＋ｋｓｍｂ＋ｋｏｍ６）Ａ＋ｋｓｋＤ＝０（１３） 其解为 Ａ１。２＝（ｋｓｍ ＋ ，ｎ６＋ Ｄ，ｎ６± √（．１｝ｇｍ ＋．１｝ｇｍ６＋ ｎｔｂ） 一４ｍ６ｍ ｋｇｋＤ）／２ｍ６ｍ ＝ ‘１） ． （１４） 式中，∞ 和∞ 为系统的２个频率值，规定∞ ＜∞ ． 特征矩阵日的伴随矩阵为 詹： ＋ｋｏ－Ａｍ，， ｋｓ １ 【 ｋｋｇ—Ａｍ６ Ｊ ｇ 将Ａ 和Ａ 代入上述伴随矩阵日，并对其中的任一 列归一化，可得系统的２个主振型： ｙ ＝ １ 】 】（１５） 进而可得模态矩阵： 维普资讯 http://www.cqvip.com １４ ［Ｙ］：［ｙ ，ｙ２］ 上海海事大学学报 第２７卷 （１６） 可得ｃ＝Ｚ／ｔｏ ＝ｆ，／ａｌ； 由运动初始条件：ｇ （０）＝０，可得：Ⅱ＝一ｃ；由运 与主振型ｙ 和ｙ２对应的主质量为 ｍ ＝ ＝ｍ ＋ｍ １一／￣ ｌｍ ｂＩ‘（１７） ／‘动初始条件ｑ （０）＝ｑ ０，可得：ｂ＝ｑ１ｏ／ｔｏ ；于是方程 组（２１）满足初始条件（２２）的一个特解为 ｍ：＝ ＝ｍ ＋ｍ １一／￣２ ｍ ｂＩ／（１８） 记：Ｙ ＝Ｙ ／ ｍ ，ｙ２＝ｙ２／ ｍ ，则可得正则振 型矩阵： ［Ｙ］＝［ｙ ，ｙ２］＝［Ｙ ／ ｍ ，Ｙ２／ ｍ ］ （１９） ２．２坐标变换 作坐标变换： Ｙ：［Ｙ］口 （２０） 其中，口＝［ｑ ，ｑ ］Ｔ；代入方程（１０），可得： Ｍ［Ｙ］口＋ｇ［Ｙ］口＝Ｆ 以［ｙ］Ｔ乘上式两边，可得： ［ ］ Ｍ［ ］口＋［ ］ Ｋ［ｇ ］口＝［ｇ ］ Ｆ 根据主振型的正交性，展开上式，＝ ＝ 可得： ｆｇ 一‘ｇ ／ 一 （２１） 【口２＋０一）２２ｑ２＝ 一 Ｃ Ｃ 式中 ＝， ＾／ ｍｌ， ＝，ｏ Ｓ ＾／ ｏ Ｓ ２－ ｏ ２．３ 微分方程组的特解 为求原微分方程组（６）满足初始运动条件（７）． 的一个特解，应根据坐标变换关系式（２０）将初始运 ‰一Ｏ一＋ ● ．‰一０—＋ ２ Ｓ Ｓ 动条件（７）变换为 ｎ ｎ 口。＝［； 兰；］＝ －ｌｙ０ 一 ［ ： 三；］＝ ２ ３ 。＝【 ］＝ ｉ， 一 。＝ 一 【 ： 兰；］＝ ｋ ｓ一－Ａ２一））【［（ １－Ａ２ｍｂ／ｋｓｍｂ（Ａ Ａ２ 【一（一１ Ａ Ｉｍｂ／ ｋ ）、 Ｊ【 ０Ｊ］ ＝ ｍｂ（－Ａ Ａｋｓｖｏ２ １（１－Ａ２ｍｂ／ｋｓ）一、 、 Ａ１ｍｂ／ｋ … ．…￣ ］， 【 ∞Ｊ 即对应于方程组（２１）的与原初始运动条件（７）等价 的初始运动条件为 』ｇ （０）＝０， ｇｚ（０）＝０ （２２） 【 （０）＝ 。， （０）＝ ∞ 方程组（２１）中的第１个方程的解可设为 ｑｌ＝ａ Ｃ０Ｓ￣０ｌｔ＋ｂ ｓｉｎｗｌｔ＋ｃ 其中，ａ，ｂ和ｃ为待定系数．代人方程尊 ＋ ２ ｇ ＝ ， 根据坐标变换方程（２０），易得原微分方程组 （６）满足初始运动条件（７）的一个特解为 【 ：］＝［ ］口 ［ ，１：２］［ｑ １］ ｇ－ ＋ｇｚ １ｍ６／ 卜去 ｌｍ６／ ］ 即 Ｉｌ【ｙ ｇ ／￣／（ｍ１＿ｃ ＋ｇｏｓ２ ？＋ｑ／￣／ｍｚ ｍ ｓｉｎｗ￣ｔ］／ ＋ ｌ［笔（１＿ｃｏｓ ）＋ｑ Ｅ￣ ｓｉｎｗ２一ｔ］／ １－Ａｌｍｂ／ ） ＋ｑ２（卜 ｚ％ ＝ Ｉ（１－Ａ１ｒｎ６ ［ （１一 ｔ】／ ＋ ｌ（１－Ａ２％／ ）［ （１一 ｔ】／ （ ） 在ａ ＞０， ＞０的情况下，对应于起升动载系 数ｐ 和ｐ 计算式（８）和式（９），有： ｆ，ｍａｘｌｙ Ｉ＜Ｉ１一Ａｌｍｂ／ｋｇＩ（Ｚ ／Ａｌ＋Ｉｑｌ０Ｉ／ｗ１） ，ｎｌ＋ １Ｉ１一Ａ２ｍ６／ｋｇＩ（ ／Ａ２＋Ｉ ｑ２． ０Ｉ／ ２）／￣／广．ｍ２． ｌｍａｘＩＹ６一Ｙ Ｉ≤ｍａｘＩＹ Ｉ＋ｍａｘＩＹ６Ｉ＜ｍａｘＩＹ Ｉ＋ １Ｌ（ ／Ａｌ＋Ｉｑｌ．０Ｉ／ｗ１）／√ｍｌ＋（—— ／Ａ２＋Ｉｇ∞Ｉ．／ｏｈ）／√ —— （２５） ３等效刚度和等效质量 对于图２（ａ）所示的某集装箱起重机大梁的支 持系统，可近似地简化为图２（ｂ）所示的梁系．其 中，ＡＢ段为简支梁，ＢＣＨ段为外伸简支梁，Ａ Ｅ段为 简支梁， 段为简支梁．因ＡＡ 段很短，可不加考 虑．取前、后大梁铰点Ａ为原点，海侧方向为 轴正 向，建立图２所示的ｘＡｙ坐标系． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期 张纪元，等：岸边集装箱起重机起升动载系数的动力学模型及其解 图２等效■计算 ３．１大梁的等效刚度 根据力学理论和大梁的简化模型可写出如下坐 标为 的大梁截面处的等效刚度ｋ。的表达式： ： ０＜ ＜Ｚ＾口 （Ｚ＾丑一 ） ’ ａ （Ｚ口ｃ—ａ） ’ Ｚ＾丑＜ ＜Ｚ＾丑＋Ｚ丑ｃ， 其中ａ＝Ｚ＾口＋Ｚ口ｃ— ｂ ｂ （＋Ｚ口ｃ） ’， 。 ＜ 、一 ’， ｋＤ＝ 其中ｂ＝ —Ｚ＾口一Ｚ口ｃ 口 （ 一口） ’， …＜－△２，一’ 其中ａ＝Ｚ＾Ｅ＋ ，Ｚ＾Ｅ＝ｌａ，ｓ＋Ａｌ 口 （ＺＥ，一口 ）’， … ＜ ， 其中ａ＝一（ ＋ ，Ｅ＋△Ｚ） （２６） 式中，，Ｄ为大梁横截面的惯量矩． ３．２大梁的等效质量ｍ。 可按变形能等效的条件确定大梁的等效质量 ｍ。，即：均布重力ｍ ｇ作用在长度为ｚ的大梁上时， 大梁积聚的变形能应等于集中重力ｍ。ｇ缓慢加于 梁上某截面时积聚的变形能．于是可得等效质量 ｍ。的等效条件表达式： ，ｆ ，ｆ — Ｊ。 （ ）ｄｘ＝Ｊ。 （ ） （２７） 式中，Ｍ（ｘ）为在均布重力ｍ ｇ作用下截面 处的弯矩； （ ）为在集中重力ｍ。ｇ作用下截面 处的弯矩． 根据变形能等效条件式（２７）和图２（ｂ）所示的 大梁简化图，可得大梁在截面 处的等效质量ｍ。 的计算式： — ，０＜ｘ＜ｌａｂ２，ＡＯｘ ｌ（＾丑一 ） ：盈 煎亚 ２ （－一 ）（－专）’ ｌａｂ＜ ＜￡＾丑＋￡丑ｃ， 其中ａ＝Ｚ＾口＋Ｚ口ｃ— ，Ｚ１＝Ｚ口ｃ，Ｚ２＝ｌｃＨ √（－＋寺）［６（等） ＋－。（ ） 一５（ ） ＋－】 ２僻（－＋寺）（－＋ ） ’ Ｚ＾口＋Ｚ口ｃ＜ ≤ＺＧ， 其中ｂ＝ —Ｚ＾口一Ｚ口ｃ，ｍｚ ＝ｍ口ｃ＋，ｎ凹 ＜ ＜一△ｆ， ２ａ １０（ ， 一ａ） ， ～ 其中ａ＝ ＋ＡＺ＋Ｚ。， ．Ｚ＝Ｚ。， ２ａ￣ｉ－６（ｚ ，一口）’， ，≤ … ＜ ， 其中ａ＝一（ ＋ ，Ｅ＋△Ｚ），Ｚ＝ＺＥ， （２８） ４起升动载系数的数值计算 根据某岸边集装箱起重机的有关数据，可用式 （８）和式（９）计算小车停在大梁相应位置时的大梁 和下滑轮处的起升动载系数 。和 的值． 当大车不动、小车停在大梁最大前伸距处不动、 满载起升质量以额定起升加速度ａ ＝０．５ｍ／ｓ 离舱 加速起升时，对应于离舱瞬间的起升初速度 。的５ 种不同值，由式（８）计算得某岸边集装箱起重机在 大梁最大前伸距处起升动载系数 。的值（见表１）． 表１ 小车位于大梁最大前伸距处时 起升动载系数 。的理论计算值 Ｏ．Ｏ５ Ｏ．１Ｏ Ｏ．１６ Ｏ．２８ ０．４０ 最大前伸距位置 １．０９ １．１３ １．１８ １．３ｌ １．４５ ５ 影响起升动载系数的主要因素 影响起升动载系数的因素有很多．从起升动载 系数的动力学模型及其解中可以看出，影响起升动 载系数的主要因素是：钢丝绳的刚度ｋ ，大梁的等 效刚度ｋ。，起升质量ｍ，大梁与小车的等效质量ｍ 和起升初速度 理论上，不同位置的起升动载系数的值是不同 的，但从计算和测试结果可以看出，前大梁在最大 前伸距处的起升动载系数 。的值最大．因此，下面 维普资讯 http://www.cqvip.com １６ 上海海事大学学报 第２７卷 只考虑ｋ ，ｋ。，ｍ，ｍ 和起升初速度 对前大梁在最 大前伸距处的起升动载系数 。的影响． 通过计算 。对ｋ ，ｋ。，ｍ，ｍ 和 。的偏导数的 值及对曲线 Ｄ—ｋ ， Ｄ—ｋＤ， Ｄ—ｍ， Ｄ—ｍ 和 的分析可知，钢丝绳的刚度ｋ 和大梁的刚度ｋ。 对起升动载系数 。的值有影响，但影响程度有限； 一 ７ 主要结论 根据上述理论研究、计算分析和测试实验，可得 如下的主要结论： （１）以起升荷重和行走小车为示力体，将起升 加速度引起的惯性力作为激振力，建立了岸边集装 刚度越小，起升动载系数越小．起升质量ｍ和大梁 与小车的等效质量ｍ 对起升动载系数 。的影响 较小；大体上质量越大，起升动载系数越小．但是， 起升初速度 对起升动载系数 。的影响非常大， 是影响起升动载系数的一个最主要的因素． 。越大， 起升动载系数越大．因此，ＦＥＭ标准的修改稿和我 箱起重机起升运动的等效动力学模型及其二元二阶 线性非齐次振动微分方程组（６）； （２）用模态分析法求得振动微分方程组（６）在 初始运动条件（７）下的解析解（２４）； （３）建立确定起升动载系数的计算式（８）和 （９）； 国的起重机设计规范（征求意见稿）等最新的起重 机设计规范或标准中，起升动载系数 均表达为起 升速度或稳定起升速度的线性函数，而起升速度或 稳定起升速度是根据起升时的平稳程度确定的．这 样做的实质就是考虑起升初速度 。的主要影响． （４）引进大梁等效刚度和等效质量的概念并建 立了相应的计算式（２６）和（２８）； （５）编制计算机程序并对某一大型岸边集装 箱起重机的起升动载系数等进行数值计算，得到与 测试结果较为吻合的计算结果； （６）对影响起升动载系数的主要因素作了数值 分析，得知钢丝绳的刚度ｋ ，大梁等效刚度ｋ。，起升 质量ｍ和大梁与小车的等效质量ｍ 对起升动载系 数的影响较小，而起升初速度 。对起升动载系数的 影响最大． 这次研究采用了理论研究与实际测试相结合的 方法，理论计算的结果可用实际测试值加以验证． 这是一次对大型岸边集装箱起重机动载系数较为系 统和全面的研究与测试． ６起升动载系数的测试验证 对上述计算中用到的某一大型岸边集装箱起重 机的起升动载系数，针对不同工况、小车位于大梁不 同位置和吊重以不同起升加速度起升等情况进行实 际的测试．在相同工况下，与表１相对应的小车位 于大梁最大前伸距位置时的起升动载系数 。的比 较见表２．其他情况下的起升动载系数的计算与比 较不再赘述． 表２小车位于大梁最大前伸距位置时 起升动载系数的比较 Ｖｏ／（ｍ・ｓ ） 理论计算值 实际测试值 ０．０５ １．Ｏ９ １．１７ １．１３ ０．１０ １．１３ １．１７ １．１５ ０．１６ １．１８ １．１８ １．１８ ０．２８ １．３ｌ １．２２ １．２７ ０．４０ １．４５ １．２４ ｌ，３５ 理论计算和实际测试结果的比对表明：本文提出 的动力学模型与实际情况较接近，计算公式和计算方 法正确，测试结果可信．动力学模型的建立和理论计 算公式的提出是本论文的创新之处．有关研究成果 对确定大型岸边集装箱起重机合适的动载系数和改 进结构设计等具有较大的参考价值与指导意义． 平均值 参考文献： ［１］ＧＢ ３８１ｌ一１９８３．起重机设计规范［ｓ］．北京：中国标准出版社，１９８４． ［２］ＦＥＭ．欧洲起重机械设计规范［ｓ］．潘钟林，译．１９９８年修订版．上海：上海振华港ｉ：／机械公司译丛，１９９８ ［３］胡宗武．起重机的动态计算［Ｊ］．起重运输机械，１９８７（９）：２—６． ［４］苏嘉科．桥式起重机的起升动栽荷几种动栽系数公式的讨论［Ｊ］．起重运输机械，１９８５（２）：２４—２９． ［５］程文明，王金诺．起重机的动态分析方法［Ｊ］．起重运输机械，２００２（２）：ｌ一３． ［６］张纪元，沈守范．计算机构学［Ｍ］．北京：国防工业出版社，１９９６． ［７］张纪元．机械学的数学方法［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２００３． （编辑李佩芬）