一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 若收入3元记为+3，则支出2元记为( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
2. 如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是
( )
A. B. C.
D.
3. 计算𝑎2⋅𝑎( )
A. 𝑎 B. 3𝑎 C. 2𝑎2 D. 𝑎3
⏜上，则∠𝐵𝐴𝐶的度4. 如图，在⊙𝑂中，∠𝐵𝑂𝐶=130°，点𝐴在𝐵𝐴𝐶
数为( )
A. 55° B. 65° C. 75° D. 130°
5. 不等式3𝑥+1<2𝑥的解集在数轴上表示正确的是( )
A. C.
B. D.
6. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全
等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2𝑐𝑚的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐵𝐷方向平移1𝑐𝑚得到正方形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，形成一个“方胜”图案，则点𝐷，𝐵′之间的距离为( )
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A. 1𝑐𝑚 B. 2𝑐𝑚 C. (√2−1)𝑐𝑚 D. (2√2−1)𝑐𝑚
7. 𝐴，𝐵两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和
方差的描述中，能说明𝐴成绩较好且更稳定的是( )
22
A. 𝑥𝐴>𝑥𝐵且𝑆𝐴>𝑆𝐵22 C. 𝑥𝐴>𝑥𝐵且𝑆𝐴<𝑆𝐵
−
−
−
−
22
B. 𝑥𝐴<𝑥𝐵且𝑆𝐴>𝑆𝐵22 D. 𝑥𝐴<𝑥𝐵且𝑆𝐴<𝑆𝐵
−
−
−
−
8. “市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一
场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了𝑥场，平了𝑦场，根据题意可列方程组为( )
A. {3𝑥+𝑦=17
𝑥+𝑦=7
B. {3𝑥+𝑦=17
𝑥+𝑦=9
C. {𝑥+3𝑦=17
𝑥+𝑦=7
D. {𝑥+3𝑦=17
𝑥+𝑦=9
9. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=8，点𝐸，𝐹，𝐺分别在边𝐴𝐵，
𝐵𝐶，𝐴𝐶上，𝐸𝐹//𝐴𝐶，𝐺𝐹//𝐴𝐵，则四边形𝐴𝐸𝐹𝐺的周长是( )
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
10. 已知点𝐴(𝑎,𝑏)，𝐵(4,𝑐)在直线𝑦=𝑘𝑥+3(𝑘为常数，𝑘≠0)上，若𝑎𝑏的最大值为9，
则𝑐的值为( )
A. 1
B. 2
3
C. 2
D. 2
5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 11. 分解因式：𝑚2−1=______．
12. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从
袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是______．
13. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条
件______．
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14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90°，∠𝐴=60°，直
𝐴𝐶于点𝐷，尺的一边与𝐵𝐶重合，另一边分别交𝐴𝐵，𝐸.点𝐵，𝐶，𝐷，𝐸处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽𝐵𝐷的长为______．
15. 某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点𝑃处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水
平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点𝐴，𝐵处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为𝑘(𝑁).若铁笼固定不动，移动弹簧秤使𝐵𝑃扩大到原来的𝑛(𝑛>1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为______(𝑁)(用含𝑛，𝑘的代数式表示)．
⏜上，⏜沿弦𝐶𝐷折𝐷在𝐴𝐵16. 如图，在扇形𝐴𝑂𝐵中，点𝐶，将𝐶𝐷
𝑂𝐵相切于点𝐸，𝐹.已知∠𝐴𝑂𝐵=120°，叠后恰好与𝑂𝐴，
⏜的度数为______，𝑂𝐴=6，则𝐸𝐹折痕𝐶𝐷的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
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17. (1)计算：(1−3√8)0−√4．
(2)解方程：2𝑥−1=1．
四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
18. 小惠自编一题：“如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
𝑂𝐵=𝑂𝐷.求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴𝐴𝐶垂直平分𝐵𝐷． ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐶𝐵=𝐶𝐷， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形． 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 𝑥−3
19. 设𝑎5是一个两位数，其中𝑎是十位上的数字(1≤𝑎≤9).例如，当𝑎=4时，𝑎5表示
的两位数是45． (1)尝试：
①当𝑎=1时，152=225=1×2×100+25； ②当𝑎=2时，252=625=2×3×100+25； ③当𝑎=3时，352=1225=______；
……
(2)归纳：𝑎52与100𝑎(𝑎+1)+25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若𝑎52与100𝑎的差为2525，求𝑎的值．
20. 6月13日，某港口的湖水高度𝑦(𝑐𝑚)和时间𝑥(ℎ)的部分数据及函数图象如下：
𝑥(ℎ) 𝑦(𝑐𝑚) … … 11 189 12 137 13 103 14 80 15 101 16 133 17 202 18 260 … … −−
−
−
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(数据来自某海洋研究所)(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象． ②观察函数图象，当𝑥=4时，𝑦的值为多少？当𝑦的值最大时，𝑥的值为多少？ (2)数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． (3)数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260𝑐𝑚时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，21. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，
其示意图如图2，已知𝐴𝐷=𝐵𝐸=10𝑐𝑚，𝐶𝐷=𝐶𝐸=5𝑐𝑚，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸，∠𝐷𝐶𝐸=40°．
(1)连结𝐷𝐸，求线段𝐷𝐸的长． (2)求点𝐴，𝐵之间的距离．
(结果精确到0.1𝑐𝑚.参考数据：𝑠𝑖𝑛20°≈0.34，𝑐𝑜𝑠20°≈0.94，𝑡𝑎𝑛20°≈0.36，𝑠𝑖𝑛40°≈0.64，𝑐𝑜𝑠40°≈0.77，𝑡𝑎𝑛40°≈0.84)
22. 某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区
1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷(部分)和结果描述如下：
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调查问卷(部分) 1.你每周参加家庭劳动时间大约是______ℎ． 如果你每周参加家庭劳动时间不足2ℎ，请回答第2个问题： 2.影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______(单选)． A.没时间 B.家长不舍得 C.不喜欢 D.其它
中小学生每周参加家庭劳动时间𝑥(ℎ)分为5组：第一组(0≤𝑥<0.5)，第二组(0.5≤𝑥<1)，第三组(1≤𝑥<1.5)，第四组(1.5≤𝑥<2)，第五组(𝑥≥2)． 根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？ (2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2ℎ.请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
23. 已知抛物线𝐿1：𝑦=𝑎(𝑥+1)2−4(𝑎≠0)经过点𝐴(1,0)．
(1)求抛物线𝐿1的函数表达式．
(2)将抛物线𝐿1向上平移𝑚(𝑚>0)个单位得到抛物线𝐿2.若抛物线𝐿2的顶点关于坐标原点𝑂的对称点在抛物线𝐿1上，求𝑚的值．
(3)把抛物线𝐿1向右平移𝑛(𝑛>0)个单位得到抛物线𝐿3，若点𝐵(1,𝑦1)，𝐶(3,𝑦2)在抛物线𝐿3上，且𝑦1>𝑦2，求𝑛的取值范围．
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“1：已知线段𝐴𝐵(如图1)，24. 小东在做九上课本123页习题：√2也是一个很有趣的比．
𝐴𝐵=1：用直尺和圆规作𝐴𝐵上的一点𝑃，使𝐴𝑃：如图2，以𝐴𝐵√2.”小东的作法是：为斜边作等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶，再以点𝐴为圆心，𝐴𝐶长为半径作弧，交线段𝐴𝐵于点𝑃，点𝑃即为所求作的点．小东称点𝑃为线段𝐴𝐵的“趣点”． (1)你赞同他的作法吗？请说明理由．
(2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结𝐶𝑃，点𝐷为线段𝐴𝐶上的动点，点𝐸在𝐴𝐵的上方，构造△𝐷𝑃𝐸，使得△𝐷𝑃𝐸∽△𝐶𝑃𝐵． ①如图3，当点𝐷运动到点𝐴时，求∠𝐶𝑃𝐸的度数．
𝐷𝐸分别交𝐶𝑃，𝐶𝐵于点𝑀，𝑁，当点𝐷为线段𝐴𝐶的“趣点”时(𝐶𝐷<𝐴𝐷)，②如图4，
猜想：点𝑁是否为线段𝑀𝐸的“趣点”？并说明理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐴
【解析】解：由题意知，收入3元记为+3，则支出2元记为−2， 故选：𝐴．
根据正负数的概念得出结论即可．
本题主要考查正负数的概念，熟练掌握正负数的概念是解题的关键．
2.【答案】𝐶
【解析】解：由图可知主视图为：
故选：𝐶．
根据主视方向判断出主视图即可．
本题主要考查视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
3.【答案】𝐷
【解析】解：原式=𝑎1+2=𝑎3． 故选：𝐷．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解决问题．
本题主要考查了同底数幂乘法，解决本题的关键是掌握同底数幂乘法法则．
4.【答案】𝐵
⏜上， 【解析】解：∵∠𝐵𝑂𝐶=130°，点𝐴在𝐵𝐴𝐶∴∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐵𝑂𝐶=2×130°=65°， 故选：𝐵．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠𝐵𝐴𝐶的度数． 本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
1
1
5.【答案】𝐵
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【解析】解：3𝑥+1<2𝑥， 移项，得：3𝑥−2𝑥<−1， 合并同类项，得：𝑥<−1， 其解集在数轴上表示如下：
，
故选：𝐵．
根据解不等式的方法可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
6.【答案】𝐷
【解析】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为边长为2𝑐𝑚的正方形， ∴𝐵𝐷=√22+22=2√2(𝑐𝑚)， 由平移的性质可知，𝐵𝐵′=1𝑐𝑚， ∴𝐵′𝐷=(2√2−1)𝑐𝑚， 故选：𝐷．
根据正方形的性质、勾股定理求出𝐵𝐷，根据平移的概念求出𝐵𝐵′，计算即可． 本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出𝐵𝐵′是解题的关键．
7.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴，𝐵两名射击运动员进行了相同次数的射击，当𝐴的平均数大于𝐵，且方差比𝐵小时，能说明𝐴成绩较好且更稳定． 故选：𝐶．
根据平均数及方差的意义直接求解即可．
本题主要考查平均数及方差的意义，熟练掌握平均数及方差的意义是解答此题的关键．
8.【答案】𝐴
𝑥+𝑦=9−2【解析】解：根据题意得：{，
3𝑥+𝑦=17𝑥+𝑦=7即{， 3𝑥+𝑦=17故选：𝐴．
由题意：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9
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场，只负了2场，共得17分．列出二元一次方程组即可．
此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝐸𝐹//𝐴𝐶，𝐺𝐹//𝐴𝐵，
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐺是平行四边形，∠𝐵=∠𝐺𝐹𝐶，∠𝐶=∠𝐸𝐹𝐵， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐵=∠𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐸𝐹𝐵，∠𝐺𝐹𝐶=∠𝐶， ∴𝐸𝐵=𝐸𝐹，𝐹𝐺=𝐺𝐶，
∵四边形𝐴𝐸𝐹𝐺的周长=𝐴𝐸+𝐸𝐹+𝐹𝐺+𝐴𝐺，
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐺的周长=𝐴𝐸+𝐸𝐵+𝐺𝐶+𝐴𝐺=𝐴𝐵+𝐴𝐶， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=8，
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐺的周长=𝐴𝐵+𝐴𝐶=8+8=16， 故选：𝐵．
由𝐸𝐹//𝐴𝐶，𝐺𝐹//𝐴𝐵，得四边形𝐴𝐸𝐹𝐺是平行四边形，∠𝐵=∠𝐺𝐹𝐶，∠𝐶=∠𝐸𝐹𝐵，再由𝐴𝐵=𝐴𝐶=8和等量代换，即可求得四边形𝐴𝐸𝐹𝐺的周长．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的在等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】𝐶
【解析】解：∵点𝐴(𝑎,𝑏)，𝐵(4,𝑐)在直线𝑦=𝑘𝑥+3上， ∴{
𝑎𝑘+3=𝑏①
，
4𝑘+3=𝑐②
3
9
由①可得：𝑎𝑏=𝑎(𝑎𝑘+3)=𝑘𝑎2+3𝑎=𝑘(𝑎+2𝑘)2−4𝑘， ∵𝑎𝑏的最大值为9， ∴𝑘<0，−4𝑘=9， 解得𝑘=−4，
把𝑘=−4代入②得：4×(−4)+3=𝑐， ∴𝑐=2，
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1
1
19
故选：𝐶．
由点𝐴(𝑎,𝑏)，𝐵(4,𝑐)在直线𝑦=𝑘𝑥+3上，可得{𝑘𝑎2+3𝑎=𝑘(𝑎+
32)2𝑘
𝑎𝑘+3=𝑏①
，即得𝑎𝑏=𝑎(𝑎𝑘+3)=
4𝑘+3=𝑐②
1
−
，根据𝑎𝑏的最大值为9，得𝑘=−4，即可求出𝑐=2． 4𝑘
9
本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
11.【答案】(𝑚+1)(𝑚−1)
【解析】解：𝑚2−1=(𝑚+1)(𝑚−1)．
本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
12.【答案】5 【解析】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是5； 故答案为：5．
直接根据概率公式可求解．
本题考查了概率公式：随机事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=事件𝐴可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
2
2
2
13.【答案】∠𝐵=60°
【解析】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：∠𝐵=60°．
根据等边三角形的判定定理填空即可．
本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．
314.【答案】2√ 3
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【解析】解：由题意得，𝐷𝐸=1，𝐵𝐶=3， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=60°， 则𝐴𝐵=𝑡𝑎𝑛𝐴=√3=√3， ∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵，即=√3解得：𝐵𝐷=故答案为：
𝐷𝐸
𝐴𝐷
1
3−𝐵𝐷√3𝐵𝐶
3，
2√3
， 3
2√3
． 3
根据正切的定义求出𝐴𝐵，证明△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
15.【答案】𝑛
【解析】解：如图，设装有大象的铁笼重力为𝑎 𝑁，将弹簧秤移动到𝐵′的位置时，弹簧秤的度数为𝑘′，
𝑘
由题意可得𝐵𝑃⋅𝑘=𝑃𝐴⋅𝑎，𝐵′𝑃⋅𝑘′=𝑃𝐴⋅𝑎， ∴𝐵𝑃⋅𝑘=𝐵′𝑃⋅𝑘′， 又∵𝐵′𝑃=𝑛𝐵𝑃， ∴𝑘′=
𝐵𝑃⋅𝑘𝐵′𝑃
=
𝑘
𝐵𝑃⋅𝑘𝑛𝐵𝑃
=𝑛，
𝑘
故答案为：𝑛．
根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”分别列式，从而代入计算．
本题考查列代数式，属于跨学科综合题目，理解题意，掌握杠杆原理(动力×动力臂=阻
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力×阻力臂)是解题关键．
16.【答案】60° 4√6
𝑂′𝐹，𝑂𝑂′，𝑂′𝐶，𝑂𝑂′交𝐶𝐷于【解析】如图，设翻折后的弧的圆心为𝑂′，连接𝑂′𝐸，√3解：点𝐻，
∴𝑂𝑂′⊥𝐶𝐷，𝐶𝐻=𝐷𝐻，𝑂′𝐶=𝑂𝐴=6，
⏜沿弦𝐶𝐷折叠后恰好与𝑂𝐴，𝑂𝐵相切于点𝐸，𝐹． ∵将𝐶𝐷
∴∠𝑂′𝐸𝑂=∠𝑂′𝐹𝑂=90°， ∵∠𝐴𝑂𝐵=120°， ∴∠𝐸𝑂′𝐹=60°， ⏜的度数为60°； 则𝐸𝐹
∵∠𝐴𝑂𝐵=120°， ∴∠𝑂′𝑂𝐹=60°，
∵𝑂′𝐹⊥𝑂𝐵，𝑂′𝐸=𝑂′𝐹=𝑂′𝐶=6， ∴𝑂𝑂′=𝑠𝑖𝑛60∘=∴𝑂′𝐻=2√3，
∴𝐶𝐻=√𝑂′𝐶2−𝑂′𝐻2=√36−12=2√6， ∴𝐶𝐷=2𝐶𝐻=4√6． 故答案为：60°，4√6．
𝑂′𝐹，𝑂𝑂′，𝑂′𝐶，𝑂𝑂′交𝐶𝐷于点𝐻，设翻折后的弧的圆心为𝑂′，连接𝑂′𝐸，可得𝑂𝑂′⊥𝐶𝐷，⏜的度数；然𝐶𝐻=𝐷𝐻，𝑂′𝐶=𝑂𝐴=6，根据切线的性质开证明∠𝐸𝑂𝐹=60°，则可得𝐸𝐹后根据垂径定理和勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，切线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
𝑂′𝐹
6√32
=4√3，
17.【答案】解：(1)原式=1−2=−1；
(2)去分母得𝑥−3=2𝑥−1， ∴−𝑥=3−1， ∴𝑥=−2，
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经检验𝑥=−2是分式方程的解， ∴原方程的解为：𝑥=−2．
【解析】(1)分别利用0指数幂、算术平方根的定义化简，然后加减求解； (2)首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根．
本题分别考查了实数的运算和解分式方程，实数的运算主要利用0指数幂及算术平方根的定义，解分式方程的基本方法时去分母．
18.【答案】解：赞成小洁的说法，补充条件：𝑂𝐴=𝑂𝐶，证明如下：
∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， 又∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形．
【解析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定和菱形的判定方法(对角线互相垂直平分的四边形是菱形)是解题关键．
19.【答案】3×4×100+25
【解析】解：(1)∵①当𝑎=1时，152=225=1×2×100+25；②当𝑎=2时，252=625=2×3×100+25；
∴③当𝑎=3时，352=1225=3×4×100+25， 故答案为：3×4×100+25；
(2)𝑎52=100𝑎(𝑎+1)+25，理由如下：
𝑎52=(10𝑎+5)(10𝑎+5)=100𝑎2+100𝑎+25=100𝑎(𝑎+1)+25； (3)由题知，𝑎52−100𝑎=2525， 即100𝑎2+100𝑎+25−100𝑎=2525， 解得𝑎=5或−5(舍去)， ∴𝑎的值为5．
(1)根据规律直接得出结论即可；
(2)根据𝑎52=(10𝑎+5)(10𝑎+5)=100𝑎2+100𝑎+25=100𝑎(𝑎+1)+25即可得出结论；
(3)根据题意列出方程求解即可．
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−
−
−
−
本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出𝑎52=100𝑎(𝑎+1)+25的结论是解题的关键．
−
20.【答案】解：(1)①如图：
②通过观察函数图象，当𝑥=4时，𝑦=200，当𝑦值最大时，𝑥=21； (2)该函数的两条性质如下(答案不唯一)： ①当2≤𝑥≤7时，𝑦随𝑥的增大而增大； ②当𝑥=14时，𝑦有最小值为80；
(3)由图象，当𝑦=260时，𝑥=5或𝑥=10或𝑥=18或𝑥=23， ∴当5<𝑥<10或18<𝑥<23时，𝑦>260， 即当5<𝑥<10或18<𝑥<23时，货轮进出此港口． 【解析】(1)①先描点，然后画出函数图象； ②利用数形结合思想分析求解；
(2)结合函数图象增减性及最值进行分析说明； (3)结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围．
本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键．
21.【答案】解：(1)如图，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐷𝐸于点𝐹，
∵𝐶𝐷=𝐶𝐸=5𝑐𝑚，∠𝐷𝐶𝐸=40°． ∴∠𝐷𝐶𝐹=20°，
∴𝐷𝐹=𝐶𝐷⋅𝑠𝑖𝑛20°≈5×0.34≈1.7(𝑐𝑚)，
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∴𝐷𝐸=2𝐷𝐹≈3.4𝑐𝑚， ∴线段𝐷𝐸的长约为3.4𝑐𝑚； (2)∵横截面是一个轴对称图形， ∴延长𝐶𝐹交𝐴𝐷、𝐵𝐸延长线于点𝐺， 连接𝐴𝐵， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐵， ∴∠𝐴=∠𝐺𝐷𝐸， ∵𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸， ∴∠𝐺𝐷𝐹+∠𝐹𝐷𝐶=90°， ∵∠𝐷𝐶𝐹+∠𝐹𝐷𝐶=90°， ∴∠𝐺𝐷𝐹=∠𝐷𝐶𝐹=20°， ∴∠𝐴=20°，
∴𝐷𝐺=𝑐𝑜𝑠20∘≈0.94≈1.8(𝑐𝑚)，
∴𝐴𝐺=𝐴𝐷+𝐷𝐺=10+1.8=11.8(𝑐𝑚)，
∴𝐴𝐵=2𝐴𝐺⋅𝑐𝑜𝑠20°≈2×11.8×0.94≈22.2(𝑐𝑚)． ∴点𝐴，𝐵之间的距离22.2𝑐𝑚．
【解析】(1)过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝐷𝐸于点𝐹，根据等腰三角形的性质可得∠𝐷𝐶𝐹=20°，利用锐角三角函数即可解决问题；
(2)根据横截面是一个轴对称图形，延长𝐶𝐹交𝐴𝐷、𝐵𝐸延长线于点𝐺，连接𝐴𝐵，所以𝐷𝐸//𝐴𝐵，根据直角三角形两个锐角互余可得∠𝐴=∠𝐺𝐷𝐸=20°，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
𝐷𝐹
1.7
22.【答案】解：(1)由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位
数为第600个和第601个数据的平均数， 故中位数落在第三组；
(2)(1200−200)×(1−8.7%−43.2%−30.6%)=175(人)， 答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
(3)由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于2ℎ，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．(答案不唯一)． 【解析】(1)由中位数的定义即可得出结论； (2)用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
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(3)根据中位数解答即可．
本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵𝑦=𝑎(𝑥+1)2−4(𝑎≠0)经过点𝐴(1,0)，
∴4𝑎−4=0， ∴𝑎=1，
∴抛物线𝐿1的函数表达式为𝑦=𝑥2+2𝑥−3；
(2)∵𝑦=(𝑥+1)2−4， ∴抛物线的顶点(−1,−4)，
将抛物线𝐿1向上平移𝑚(𝑚>0)个单位得到抛物线𝐿2.若抛物线𝐿2的顶点(−1,−4+𝑚)， 而(−1,−4+𝑚)关于原点的对称点为(1,4−𝑚)，
把(1,4−𝑚)代入𝑦=𝑥2+2𝑥−3得到，1+2−3=4−𝑚， ∴𝑚=4；
(3)抛物线𝐿1向右平移𝑛(𝑛>0)个单位得到抛物线𝐿3，的解析式为𝑦=(𝑥−𝑛+1)2−4， ∵点𝐵(1,𝑦1)，𝐶(3,𝑦2)在抛物线𝐿3上， ∴𝑦1=(2−𝑛)2−4，𝑦2=(4−𝑛)2−4， ∵𝑦1>𝑦2，
∴(2−𝑛)2−4>(4−𝑛)2−4， 解得𝑛>3，
∴𝑛的取值范围为𝑛>3．
【解析】(1)把(1,0)代入抛物线的解析式求出𝑎即可；
(2)求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可； (3)抛物线𝐿1向右平移𝑛(𝑛>0)个单位得到抛物线𝐿3，的解析式为𝑦=(𝑥−𝑛+1)2−4，根据𝑦1>𝑦2，构建不等式求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)赞同，理由如下：
∵△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，
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∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴=∠𝐵=45°， ∴𝑐𝑜𝑠45°=
𝐴𝐶𝐴𝐵
=
√22
=
1√2，
∵𝐴𝐶=𝐴𝑃， ∴
𝐴𝑃𝐴𝐵
=
1√2，
∴点𝑃为线段𝐴𝐵的“趣点”．
(2)①由题意得：∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐵=45°， ∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐴𝑃=𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐴𝑃𝐶=2(180°−45°)=67.5°， ∴∠𝐵𝐶𝑃=90°−67.5°=22.5°， ∴∠𝐶𝑃𝐵=180°−45°−22.5°=112.5°， ∵△𝐷𝑃𝐸∽△𝐶𝑃𝐵，𝐷，𝐴重合， ∴∠𝐷𝑃𝐸=∠𝐶𝑃𝐵=112.5°，
∴∠𝐶𝑃𝐸=∠𝐷𝑃𝐸+∠𝐶𝑃𝐵−180°=45°； ②点𝑁是线段𝑀𝐸的趣点，理由如下： 当点𝐷为线段𝐴𝐶的趣点时(𝐶𝐷<𝐴𝐷)， ∴
𝐴𝐷𝐴𝐶
1
=
1√2，
∵𝐴𝐶=𝐴𝑃， ∴𝐴𝑃=∵𝐴𝐵=
𝐴𝐶𝐴𝐷
1√21，
√2，∠𝐴=∠𝐴，
∴△𝐴𝐷𝑃∽△𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝑃=∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴𝑃𝐷=45°，𝐷𝑃//𝐶𝐵， ∴∠𝐷𝑃𝐶=∠𝑃𝐶𝐵=22.5°=∠𝑃𝐷𝐸， ∴𝐷𝑀=𝑃𝑀，
∴∠𝑀𝐷𝐶=∠𝑀𝐶𝐷=90°−22.5°=67.5°， ∴𝑀𝐷=𝑀𝐶， 同理可得𝑀𝐶=𝑀𝑁， ∴𝑀𝑃=𝑀𝐷=𝑀𝐶=𝑀𝑁，
∵∠𝑀𝐷𝑃=∠𝑀𝑃𝐷=22.5°，∠𝐸=∠𝐵=45°， ∴∠𝐸𝑀𝑃=45°，∠𝑀𝑃𝐸=90°，
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∴
𝑀𝑃𝑀𝐸
=
1√2=
𝑀𝑁𝑀𝐸
，
∴点𝑁是线段𝑀𝐸的“趣点”．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质证明𝐴𝐵=√2，再利用𝐴𝐶=𝐴𝑃，即可得出结论； (2)①由题意可得：∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐵=45°，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐴𝑃=𝐵𝐶，再求解∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐴𝑃𝐶=67.5°，∠𝐶𝑃𝐵=112.5°，证明∠𝐷𝑃𝐸=∠𝐶𝑃𝐵=112.5°，从而可得答案； 𝐷𝑃//𝐶𝐵，可得∠𝐴𝑃𝐷=45°，再证明𝑀𝑃=𝑀𝐷=𝑀𝐶=𝑀𝑁，②先证明△𝐴𝐷𝑃∽△𝐴𝐶𝐵，
∠𝐸𝑀𝑃=45°，∠𝑀𝑃𝐸=90°，从而可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角形函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键．
𝐴𝐶
1
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