抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性

一、 抽象函数的对称性

定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (b－x)，则函数y=f (x) 的

ab图象关于直线x= 2对称。

推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (a－x)

（或f (2a－x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。

推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)=f (a－x)， 又若方程f (x)=0有n个根，则此n个根的和为na 。

定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (b－x)=c，（a,b,c为常

abc,)22 对称。 数），则函数y=f (x) 的图象关于点

(推论1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件：f (a+x)+f (a－x)=0，（a为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。

定理3.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=f (b－x)两函数的图象关

ba于直线x=2对称。

定理4.若函数y=f (x) 定义域为R，则函数y=f (a+x) 与y=c－f (b－x)两函数的图象

bac,)关于点22对称。

(ab性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b－x)成立，则y=f(x)的图象关于点（2,0）

对称。

性质2：函数y=f(x－a)与函数y=f(a－x)的图象关于直线x=a对称。

性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a－x)的图象关于直线x=0对称。

ba性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b－x)图象关于点（2,0）对称。

二、抽象函数的周期性

定理5.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数。

定理6.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。

定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数。

定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数。

性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；

性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)，则函数有周期4(a－b).

特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。