高考数学(理科)前三道大题冲刺训练及答案(整理)

高考数学理科前三道大题冲刺训练

1．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

2 日销售量 1

} （

10 15 频数 25 频率

（1）填充上表；

（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为吨的概率；

②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列.

~

】

2．（本小题满分14分）如图，多面体EFABCD中，ABCD是梯形，AB//CD，ACFE是矩形，平面ACFE平面ABCD，ADDCCBAEa，ACB;



2（1）若M是棱EF上一点，AM//平面BDF，求EM；

（2）求二面角BEFD的平面角的余弦值．

D． FE

~

CA B

'

@

3．（本小题满分12分）己知点A(1,0),B(0,1),C(2sin，cos). （1）若(OA2OB)OC1，其中O为坐标原点，求sin2的值； /

（2）若ACBC，且在第三象限．求sin(

，

3)值.

4．（本小题满分13分）

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.

频率（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要

组距从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收

0.0005入在[1500,2000)（元）段应抽出的人数；

（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)（元）

的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的

0.00040.00030.0002居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每

O1000150020002500300035004000月收入(元)三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数

如下： 第17题图907 966 191 925 271 932 812 458 。

569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率. (3)任意抽取该社区6个居民，用表示月收入在（2000,3000）（元）的人数，求的数学期望。

]

0.0001

5. （本小题满分12分）在ABC中，△ABC的面积S满足Sa、b、c分别为角A、B、C的对边，（1）求角A的值； （2）若a

~

3bccosA.23，设角B的大小为x,用x表示c，并求c的取值范围．

【

6.(本小题满分12分)

人数性别某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现

科别采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个

科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. 甲科室（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；

乙科室（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；

（3）记表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求的分布列及数学期望.

—

男63女42

…

,

7. （本小题满分14分）

已知数列an是首项a11，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为Sn，数列{bn}是首项b12的等比数列，且b2S216,b3S372．

(1) 求an和bn；

(2) 令c11，c2ka2k1，c2k1a2kkbk（k1,2,3,），求数列cn的前2n1项和T2n1．

！

》

\\

8．（本小题满分14分）

已知如图5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2, PAB120,PBC90. (1)求证：平面PAD平面PAB； ：

D(2)求三棱锥D－PAC的体积； C(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值． 图5 ABP

~

…

9、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。

！

#

n*6、设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3，nN． n（Ⅰ）设bnSn3，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围．

*：

1．(本小题满分12分)解：(1 ) 求得a b.

(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率p0.5

%

设5天中该种商品有X天的销售量为吨，则X～B（5,）

2P(X2)C50.52(10.5)30.3125 ②的可能取值为4,5,6,7,8，则P(4)0.20.04

2P(5)20.20.50.2，P(6)0.5220.20.30.37 P(7)20.30.50.3，P(8)0.320.09 的分布列:

*



4

5

>

6

7

8

p

2．（本小题满分14分）

解（1）连接BD，记ACBDO，在梯形ABCD中，因为ADDCCBa，AB//CD，所以

ACDCABDAC，

（2）以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0 , 0 , 0)，

<

623a，连接FO，由AM//平面BDF从而CBO，又因为ACB，CBa，所以CO3623a。 得AM//FO，因为ACFE是矩形，所以EMCO33aa ,  , 0)，F(0 , 0 , a)，E(3a , 0 , a)， 22ABCBCDDABACDACB3DAC，DAC，

A(3a , 0 , 0)，B(0 , a , 0)，D(设平面DEF的一个法向量为n1(r . s . t)，

3ar0nEF01则有，即， 解得n1(0 . 2 . 1)， 3aarsat0n1DF022同理可得平面BEF的一个法向量为n2(0 . 1 . 1)

观察知二面角BEFD的平面角为锐角，所以其余弦值为cos|n1n2||n1||n2|10。 10

5.解：（1）在ABC中，由S∵0A ∴A<

31bccosAbcsinA 得tanA3 22-------------------------------------------5分

3

（2）由a3,A3及正弦定理得

acsinAsinC2x)--------------------------9分 3222x ∵A∴0x∴0--------------------10分

3 3 3322x)1， 02sin(x)2 即c(0,2] --------12分 ∴0sin(33336.解：（1）从甲组应抽取的人数为102，从乙组中应抽取的人数为51；--------2分

15152112C6C4C6C422（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率P12（或P） 2C103C103（3）的可能取值为0，1，2，3

∴c2sinC2sin(AB)2sin(21C4C24， P(0)21C10C57511112C4C6C2C3C422， P(1)2121C10C5C10C57521C6C31P(3)21，

C10C5532，------------7分 32,

P(2)1P(0)P(1)P(3)34（或 7521111C6C6C4C3C234P(2)2121)-------10分

C10C5C10C575∴的分布列如右

4223419E0123---------------------------------12分

757575557.解：(1)设数列an的公差为d（d0）数列{bn}的公比为q， 则an1(n1)d, bn2qn1

&

依题意得b2S22q(2d)16，b3S32q2(33d)72 由此得q(2d)82q(1d)12(2) ∵T2n1c1a1(a2b1)a3a42b2 a2n1(a2nnbn)

∵d0,解得d2.-∴an2n1，bn2n.

q2 ＝1S2n(b12b2nbn)

令Ab12b2则A2222nbn

n2n

2A22223(n1)2nn2n1

8. (1)证明：∵ABCD为矩形 ∴ADAB且AD//BC∵BCPB ∴DAPB且AB∴DA平面PAB,又∵DA平面PAD ∴平面PAD平面PAB

(2) ∵VDPACVPDACVPABCVCPAB-

~

A2222nn2n1，∴An2n12n12

2n(1a2n)4n2， ∴T2n114n2n2n12n1234n2(n1)2n1. 又S2n2PBB

由（1）知DA平面PAB，且AD//BC ∴BC平面PAB ∴VCPABz1331111----10分 SPABBCPAABsinPABBC12626332D（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如 右图示，则依题意可得D(0,0,1),C(0,2,1),P(可得CP(&

C31,,0) 22PxABy

平面ABCD的单位法向量为m(1,0,0)，设直线PC与平面ABCD所成角为，

35,,1), 22DC3mCP62则cos() 28|m||CP|325114466∴sin，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.

88解法2：由（1）知DA平面PAB，∵AD面ABCD

∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E， 则PE⊥平面ABCD，连结EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角 在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴PE222EABP3, 2又PBPAAB2PAABcos1207 ∴PCPB2BC222

3PE662在Rt△PEC中sin.即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值. PC22882、【解】：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

（Ⅰ）CABAB

PCPABABPABPABPAPBPAPB

0.50.40.50.60.5

（Ⅱ）DAB PDPABPAPB0.50.40.2 PD1PD0.8 （Ⅲ）B3,0.8，故的分布列

P00.230.008

1P1C30.80.220.096 2P2C30.820.20.384

P30.830.512

所以E30.82.4 6、解：

nn（Ⅰ）依题意，Sn1Snan1Sn3，即Sn12Sn3，

由此得Sn13n12(Sn3n)． ······························································································ 4分

因此，所求通项公式为

bnSn3n(a3)2n1，nN*．① ················································································· 6分

nn1*（Ⅱ）由①知Sn3(a3)2，nN，于是，当n≥2时，anSnSn1

3n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2， an1an43n1(a3)2n2当n≥2时，

n23n2212a3，

23an1≥an122

n2a3≥0a≥9．

又a2a13a1．

综上，所求的a的取值范围是9，··········································································· 12分 ． ·