北京市平谷区2021~2022学年第一学期期末高二数学试卷 带答案

高二数学试卷

2022．1

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1. 直线x3y10的倾斜角为（ ） A. 30

2. 下列直线中，与直线3xy20垂直的是（ ） A. 3xy20 C. x3y20

22B.150 C. 60

0D. 120

B. 3xy20 D. x3y20

223.圆xy2x0和圆xy4y0的位置关系是（ ）

A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外离

4.甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）

A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98 5． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:yax (a0)上点M(1,m)到焦点的距离 为3，则焦点到准线的距离为（ ）

A．2

B．8

C．1

D．4

26.甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：

甲 9 8 16 15 15 14 乙 7 8 13 15 17 22

x1,x2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1,s2分别表示甲乙两名运动员这项

测试成绩的标准差，则有（ ）

A．x1x2，s1s2 B．x1x2，s1s2 C．x1x2，s1s2 D．x1x2，s1s2

7. 已知实数x，y满足x2y22x4y200，则y的最小值是

A．3 B．2 C．7 D．6

8．已知三棱锥OABC，点M,N分别为AB,OC的中点，且OAa,OBb,OCc，用a，b，c表示MN，则MN等于( )

1(b+ca) 21B．(abc)

21C．(abc)

21D．(cab)

2A．

O

N

A

M

B

C

9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取2次，则在两次取得小球中，标号最大值是3的概率为（ ） A.

1251 B. C. D. 9393x210．已知点P是椭圆方程y21上的动点，M,N是直线l：yx上的两个动点，且满

3足|MN|t，则

A．存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P仅有一个 B．存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P仅有两个 C．存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P仅有三个 D．存在实数t使MNP为等腰直角三角形的点P有无数个

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 11．点(2,0)到直线yx1的距离为_______.

12．抛物线x=4y上的点到其焦点的最短距离为___________.

13．若直线axy10与直线xay10平行，则a________.

14．某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示频率分布直方图.则a_______；这300辆汽车中车速低于限速60 km/h的汽车有 辆.

2频率组距0.0350.030a0.010O4050607080车速x2y2315.若双曲线221(a0 ，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率

ab2为___________；若a2，则双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.

16．某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：

日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 雨 雨 阴 晴 晴 晴 雨 估计运动会期间不下雨的概率为_____________.

17．已知曲线C的方程是xy|x||y|，给出下列四个结论： ① 曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C有4条对称轴；

③ 曲线C上任意一点到原点的距离都不小于1； ④ 曲线C所围成图形的面积大于4； 其中，所有正确结论的序号是_____．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题共13分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90， ABACAA12,E是BC中点. （I）求点A1到平面AEC1的的距离；

（II）求平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值；

BEACB1A1C12219．（本小题共13分）

立德中学举行冬令营活动期间，对20位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在(90,110]认定为“一般”，成绩在(110,130]认定为“良好”，成绩在(130,150]认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：

一般 良好 优秀 0 3 2 体能 一般 良好 优秀 文化 2 1 1 a b 3 例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人．

（I）若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为求a，b的值；

（II）在（I）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；

（III）若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出b的值．（直接写出答案）

20．（本小题共12分）

1 ．2y2x233已知椭圆C：221（ab0）的离心率为，并且经过点P(1,)，

ab22（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P关于坐标原点O的对称点为Q，点M(x0,y0)(x01)为椭圆C上任意一点，直线PM,QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

21．（本小题共13分）

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从[20,30）[30,40）[80,90]，中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，┄，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）已知样本中分数在[40,50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （Ⅱ）试估计测评成绩的75%分位数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

22.（本小题满分14分）

如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABF．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD//BC，BAF90，ABAD1，BC3．

（Ⅰ）求证：BFAD；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDF所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线CE//平面AFM? 若存在，求存在，请说明理由．

A B

D

C

E

BM的值；若不BDF

平谷区2020 — 2021学年度第二学期质量监控

高二数学参考答案

2022．1

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B 二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分. 题号 答案 11 12 13 14 15 16 17 ②③④ 2 2其它得3分。

1, 1 0.025,180 13，3 24 7注：第14，15题第一空3分,第二空2分；第17题全部选对得5分，不选或有错选得0分，三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题共13分） 解：（I）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系 所以A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0), 因为AE(1,1,0),AC1(0,2,2)，………………3分

xy0AEn0 设平面AEC1的法向量为n(x,y,z)， 则有，得，

yz0AC1n0 令y1,则x1,z1，所以可以取n(1,1,1)， ………………6分

|AA1n|223， |n|3323所以点A1到平面AEC1的的距离的距离为．………………9分

3（II） 因为AC平面ABB1A1,取平面ABB1A1的法向量为 AC(0,2,0)

设点A1到平面AEC1的距离为d，则d 设平面AEC1与平面ABB1A1的夹角为， 所以cos|cosAC,n||ACn|3．

|AC||n|33． ………………13分 3 平面AEC1与平面ABB1A1夹角的余弦值

19．（本小题共13分）

解：（I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生． 由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(7a)人．

则P(A)7a2． 205解得 a3．所以b5． …………… 4分

（II）体能成绩为优秀的学生共有5人，在这5人中，文化成绩一般的人记为a1；文化成绩良好的人记为b1；文化成绩优秀的人记为c1,c2,c3．从文化成绩优秀的学生中，随机抽取2人的样本空间{a1b1,a1c1,a1c2,a1c3,b1c1,b1c2,b1c3,c1c2,c1c3,c2c3}，设事件B：至少有一个人文化的成绩为优秀，B{a1c1,a1c2,a1c3,b1c1,b1c2,b1c3,c1c2,c1c3,c2c3}

P(B)n(B)9n()10

9。 10所以，体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，至少有一个人文化成绩为优秀的概率是 …………… 10分

（III）b8 …………… 13分

20．（本小题共12分）

c3a2222 解得a24，b21. 解：（1）由题意abc3()2121b2a2x2所以椭圆C的方程为y21. …………… 6分

4（2）设点P关于坐标原点O的对称点为Q，所以Q的坐标为(1,3). 2333332y0y0y0y02，k2，所以，kk224 k12122x01x01x01x01x01y02x02又因为点M(x0,y0)(x01)为椭圆C上的点，所以y01.

42x031 …………… 12分 21(1x0)1444k1k2.22x01x014

21．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图知,分数在[50,90）的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50,90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40,90）的人数为95人，所以分数在[40,90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人． …………………5分

（Ⅱ）测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70,80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为70100.750.4708.7578.75．…………………9分

0.80.4（Ⅲ）由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为

603．…………………13分 402

22.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）证明：因为ADEF为正方形， 所以AFAD．

又因为平面ADEF平面ABF，

且平面ADEF平面ABCDAF， 所以AD平面ABF．

BF平面ABF．

所以BFAD．………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AD平面ABF，所以ABAD，AFAD． 因为BAF90，所以AB,AD,AF两两垂直．

分别以AB,AD,AF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为ABAD1，BC3，

所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,3,0),D(0,1,0),E(0,1,1),F(0,0,1)， 所以BF(1,0,1),BD(1,1,0)，CE(1,2,1) ………………6分 设平面BDF的一个法向量为n(x,y,z)， zxz0,nBF0,则 即 xy0. nBD0.令x1，则y1，z1；

所以n(1,1,1)．………………8分

设直线CE与平面BDF所成角为， 则sin|cosn,CE|DF E A D M C yD|121|2．  33632xD2．……………….10分 直线CE与平面BDF所成角为的正弦值为3BM（Ⅲ）设 ，易知(0,1)

BD2B 设Mx1,y1,z1，则x11,y1,z1(1,1,0)， 所以x11,y1,z10，所以M1,,0， 所以AM1,,0．

mAM0,设平面AFM的一个法向量为m(x0,y0,z0)，则

mAF0.(1)x0y00,因为AF0,0,1，所以

z00. 令x0，则y01，所以m(,1,0)．

在线段BD上存在点M，使得CE//平面AFM等价于存在(0,1)，使得mCE0． 因为CE1,2,1，由mCE0， 所以2(1)0， 解得2(0,1)， 3所以线段BD上存在点M，使得CE//平面AFM，且

BM2．……………….14分 BD3