● 解题技巧与方法 ●● ． ． ．－Ｉ －． ● 将军锻马问ｌ题’’ 型撰 ◎叶志敏 李秋容 （１．广东省广州市天河区体育东路小学，广东 广州５１０６２３； ２．广东省广州市天河区高塘石小学，广东 广州５１０６２３） 【摘要】“将军饮马问题”是一个经典的数学问题，把已 一些． 知两点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，再根据“两 二、模型推广１ 点之间线段最短”的原理，将问题得以解决．根据这个思路， 如图４所示，Ａ，Ｂ两村位于一条河 ·Ａ村 本文对模型进行了三种推广，将已知两点置于直线的不同 的两岸，假定河的两岸笔直且平行，现 侧，把几条线段转化到同一直线上，寻求出最短路线． 在要在河上垂直于河岸建一座桥．应把 【关键词】将军饮马问题；推广；路程最短 桥建在什么位置，才能使由Ａ村经过这 座桥到曰村的路程最短？… 南 将军饮马问题源自古希腊，是一个经典的数学问题，实 解如图５（１）所示，作ＡＥ垂直于 图４ 际上它利用了点的轴对称把问题转化成“两点之间线段最 河岸，使ＡＥ的长度等于河的宽度．连接衄，交河岸于点Ｃ， 短”，从而使问题得以顺利解决． 在Ｃ点处建桥ｃＤ，连接 ，那么ＡＤ＋ＤＣ＋ｃ８就是Ａ村到 一、“将军饮马问题”回顾 Ｂ村的最短路程． 如图１所示，古希腊的一位将 营地Ｂ 营地 军要从营地Ａ出发，到笔直的河 岸边去饮马，然后到营地 ．应该 河岸Ｌ 怎样走才能使路程最短呢？ 将军百思不得其解，于是向 住在亚历山大久负盛名的学者海 图１ 肼 Ｂ村 （１） （２） 伦求教．海伦略加思索就给出了解决办法． 图５ 如图２所示，作点曰关于河岸￡的对称点曰 ，连接ＡＢ 图５（２）是同种问题的另一种作图方法，原理一样． 与 交于点ｃ，则ｃ点为将军所要找的饮水点，ＡＣ＋ＣＢ是 以下只对图５的情况做理由说明． 将军所要走的路程，此时路程最短． 理由如下： 营地 营地Ｂ 如图６所示，假如在河的其他任意 位置建桥ｒＧ（不同于桥ＣＯ），连接ＡＦ， 河岸￡ 河岸 ＢＧ，则ＡＦ＋ＦＧ＋船是Ａ村到Ｂ村的路 程，下面证明ＡＦ＋，Ｇ＋ＧＢ＞ＡＤ＋ Ｄｃ＋ＣＢ． ８ 图２ 图３ 由于ＡＥ垂直于河岸且长度等于河 理由如下： 宽，桥ＣＤ也垂直于河岸且长度等于河 图６ 如图３所示，设Ｄ是河岸 上不同于ｃ的其他任意一 宽，即ＣＤ∥ＡＥ且ＣＤ＝ＡＥ，所以四边形ＡＤＣＥ是平行四边 点，连接ＡＤ、ＤＢ，则ＡＤ＋ＤＢ是将军所走的路程，以下要证 形，从而有ＡＤ＝ＥＣ 明ＡＤ＋ＤＢ＞ＡＣ＋ＣＢ． 连接ＥＧ，ＧＢ，由于桥ＦＧ也垂直于河岸且长度等于河 连接ＤＢ ，由于 是点丑关于直线 的对称点，所以直 宽，同理可知四边形ＡＦＧＥ是平行四边形，那么ＡＦ＝ＥＧ． 线 垂直平分ＢＢ ，故有ＣＢ＝ＣＢ ，ＤＢ＝ＤＢ ．那么ＡＤ＋ ＡＦ＋ＦＧ＋ＧＢ＝ＡＥ＋ＥＧ＋ＧＢ． ＤＢ：ＡＤ＋ＤＢ ．ａＣ＋ＣＢ＝ＡＣ＋ＣＢ ＝ＡＢ ． ＡＤ＋ＤＣ＋ＣＢ＝ＡＥ＋ＥＣ＋ＣＢ＝ＡＥ＋ＥＢ． 由于Ａ，Ｂ 两点的所有连线中，线段ＡＢ 是最短的，所以 由于两点之间线段最短，所以ＥＧ＋ＧＢ＞ＥＢ， ＡＤ＋ＤＢ ＞ＡＢ ，从而有ＡＤ＋ＤＢ＞ＡＣ＋ＣＢ，也就是说选择在 所以ＡＥ＋ＥＧ＋ＧＢ＞ＡＥ＋ＥＢ， ． ｃ点饮水所走路程最短，选择到其他位置所走路程都要远 即ＡＦ＋ＦＧ＋ＧＢ＞ＡＤ＋ＤＣ＋ＣＢ． 数学学习与研究２０１７．２１ 解题技巧与方法 · · ●● ● 也就是说在ＣＤ处建桥才能使由 村经过这座桥到 村的路程最短，其他位置建桥路程都要更长． 三、模型推广２ 使ＡＤＤ Ｅ ＥＢ的路程最短？ 如图７所示，Ａ，Ｂ两村之间隔着两条河，假定两条河互 相平行并且河的两岸笔直且平行，现在要在每条河上垂直 于河岸分别建一座桥．应把桥建在什么位置，才能使由Ａ村 经过这两座桥到Ｂ村的路程最短？ Ａ村 图ｌＯ 图１１ 解如图ｌ１所示，分别作ＡＭ上￡ｌ，ＢＮ上 ，且使ＡＭ＝ ＤＤ ，ＢＮ＝ＥＥ ，连接ＭＮ，分别交河岸厶内侧于点Ｄ 和点 ，在Ｄ 处垂直于河岸三，架桥ＤＤ ，在Ｅ 处垂直于河岸 Ｂ村 图７ 架桥ＥＥ ，连接ＡＤ，Ｄ Ｅ 和ＥＢ，此时ＡＤＤ Ｅ ＥＢ的路程最短． 图８ 理由如下： 如图１２所示，假设在河厶， 的其他任意位置架桥 解如图８所示，分别作ＡＭ上Ｌｌ，ＢＮ上 ，且使ＡＭ的 长度等于河厶的宽度，ＢＮ的长度等于河 的宽度，连接 ＭＮ，分别交两条河内侧于点Ｃ，Ｄ，在ｃ点处建桥ＣＣ ，在Ｄ 点处建桥ＤＤ ，连接ＡＣ ，ＢＤ ，那么ＡＣ ＣＤＤ Ｂ就是从 村 经过这两座桥到 村的路程，此时路程最短． 理由如下： 如图９所示，假设在河￡。， 的 ＰＰ 和ＱＱ （不同于桥ＤＩＤ ，ＥＥ ），连接ＡＰ，Ｐ Ｑ ， ，那么ＡＰＰ Ｑ Ｑ８就是从Ａ处到曰处的路程，下面证明ＡＰ尸 ｑ Ｑ８＞ＡＤＤ Ｅ８． 其他任意位置架桥ＥＥ 和ＦＦ （不同于 桥ＣＣ ，ＤＤ ），连接ＡＥ ，ＥＦ，Ｆ Ｂ，那么 ＡＥ ＥＦＦ Ｂ是从Ａ处到曰处的路程，下 面 ＡＥ｜ＥＦＦ’Ｂ＞ＡＣ ＣＤＤｔＢ． 由于ＡＭ上Ｌｌ且ＡＭ＝Ｃ Ｃ，所以 四边形ＡＣ ＣＭ是平行四边形，所以有 ＡＣ ＋Ｃ Ｃ＝ＡＭ＋ Ｃ． 图９ 图１２ 如前所证，四边形ＡＤＤ Ｍ，ＡＰＰ Ｍ，ＢＥＥ Ｎ，ｎｑｑ Ｎ都是 平行四边形，那么 同理，四边形ＡＥ ＥＭ，ＢＤ ＤＮ，ＢＦ 嘟是平行四边形， 分别有ＡＥ ＋Ｅ Ｅ＝ＡＭ＋ＭＥ， Ｄ Ｄ＋Ｄ’Ｂ：ＤＮ＋ＮＢ． ＦＦ’＋Ｆ Ｂ＝Ｆ ＋ Ｂ． ＡＤ＋ＤＤ ＝ＡＭ＋ＭＤ ，ＡＰ＋ＰＰ＝ＡＭ＋ＭＰ ． Ｅ Ｅ＋ＥＢ＝Ｅ Ｎ＋ＮＢ，Ｑ Ｑ＋ＱＢ：Ｑ Ｎ＋ＮＢ． ＡＤＤ ＥｆＥＢ＝ＡＤ＋ＤＤｌ＋ＤｌＥ’＋Ｅ Ｅ＋ＥＢ ＝ＡＭ＋ＭＤ ｒ＋ＤｆＥ’＋Ｅ Ｎ＋ＮＢ ＡＣｌＣＤＤｔＢ＝ＡＣ’＋ＣｔＣ＋ＣＤ＋ＤＤ ＋Ｄ Ｂ：ＡＭ＋ＭＣ＋ ：ＡＭ ＭＮ＋ＮＢ． ＣＤ＋Ｄ］Ｖ＋ＮＢ：ＡＭ＋ＭＮ＋ｂｉｂ． ＡＰＰ’ｑ ＱＢ＝ＡＰ＋ＰＰ ＋Ｐ Ｑ ＋ｑ ｑ＋ＱＢ ＝ＡＭ＋ＭＰＩ＋Ｐ ｑ ＋Ｑ｜Ｎ＋ＮＢ． ＡＥｔＥＦＦｌＢ＝ＡＥｔ ４－ＥｔＥ＋ＥＦ＋ＦＦ｜＋ＦｆＢ：ＡＭ＋ＭＥ＋ ＥＦ＋Ｆ ＋ＮＢ． 由于两点之间线段最短，所以 所以ＡＭ＋ ＋Ｐ Ｑ ＋Ｑ Ｎ＞删， 由于两点之间线段最短，所以ＭＥ＋ＥＦ＋ＦＮ＞删， 所以有ＡＭ＋ＭＥ＋ＥＦ＋ Ⅳ＋ＮＢ＞ＡＭ ４－ＭＮ＋ＮＢ， ＡＥ‘ＥＦＦ ｒＢ＞ＡＣ ＣＤＤｔ Ｂ． ＋Ｐ Ｑ ＋ｑ Ｎ＋ＮＢ＞ＡＭ＋ＭＮ＋ＮＢ， 即Ａ Ｑ Ｑ８＞ＡＤＤ Ｅ ＥＢ，也就是在ＤＤ 和ＥＥ 处架桥 从Ａ处去往８处的路程最短． 另外，图１３（１）至图（４）是同个问题作图方法，原理 一四、模型推广３ （改编第十五届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题１６） 如图１０所示，护城河在ＣＣ 处直角转弯，从Ａ处去往日处， 经过两座桥ＤＤ 和ＥＥ ，桥垂直于河岸．怎样恰当地架桥可 样． （下转１４６页） 数学学习与研究２０１７．２１ ● · · ●● ● Ａ Ｃ ２ Ｂ．（０， ） 值为 ，则点Ｐ的轨迹是（ Ｊ ）． Ｂ．椭圆的一部分 。．（ ， Ａ．圆的一部分 Ｃ．抛物线的一部分 解析Ｄ．双曲线的一部分 动线段ＭＮ形成面ＡＢＣＤ，则有Ｄ，Ｐ与ＭＮ所成 角０的最小值（０） Ｄ 即ＤｉＰ与面ＡＢＣＤ的线面角为（ ） ｉ ＝号， 即Ｄ ｍＰ与ＤｉＤ的定角为 ＝詈， 即Ｐ在以Ｄ，Ｄ为轴的圆锥面上，母线与圆锥轴所成角 为 ＝詈， Ｐ又在面Ａ。ｃ。Ｄ上，相当于用平面Ａ。Ｃ Ｄ去截圆锥形 成的曲线． 一 又Ｄ，Ｄ与面ＡｌＣ。Ｄ的线面角为 ，连接ＢＤ 交面 。于日，ｓｉ ＝ｓｉｎ／＿ＤｉＤＨ＝ １ ｓｉｎ ‘．’口＞ ’．．．圆锥的截Ｉ＝ｌ线为椭圆的一段． 故选Ｂ． （上接１４４页） 以上三种推广，已知的两点都不在河的同一边，其解决 方法仍是根据“两点之间线段最短”的原理求出最短路线． 两条河不管是互相平行还是互相垂直，只要考虑把几条线 段转化到同一条直线上，即先作出与河宽相等的线段，然后 连线，问题即可得到解决． 【参考文献】 ［１］李克民．从经典模型的改造谈数学试题的命制—— （２） 以“将军饮马”问题为例［Ｊ］．教育研究与评论（中学教育教 学），２０１６（１）：４１—４５． （３） 图１３ （４） 数学学习与研究２０１７．２１