2005年全国高中数学联赛试题及答案

一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，

D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x的不等式x36x≥k有解的实数k的最大值是（ ） A．63 B．3 C．63 D．6

2．空间四点A、B、C、D满足|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9,则ACBD的取值（ ）

A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 3．ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后

ABCAA1cosBB1cosCC1cos222 分别交此圆于A1、B1、C1。则

sinAsinBsinC的值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．如图，ABCDABCD为正方体。任作平面与对角线AC 垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值

x2y25.方程1表示的曲线是（ ）

sin2sin3cos2cos3A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线

a3a4aa|aiT,i1,2,3,4},将M中的元6.记集合T{0,1,2,3,4,5,6},M{127727374素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

556355621104234 B．234C．234 A．

7777777777771103D．234

7777二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在

横线上。

7.将关于x的多项式f(x)1xx2x3x19x20表为关于y的多项式g(y)

a0a1ya2y2a19y19a20y20,其中yx4.则a0a1a20_____. 8.已知f(x)是定义在(0,)上的减函数，若f(2a2a1)f(3a24a1)成立，则a的取值范围是_______

9.设、、满足02，若对于

任意xR,cos(x)cos(x)cos(x)0,则___.

110.如图，四面体DABC的体积为，

6AC且满足ACB45,ADBC3,则CD___. 211.若正方形ABCD的一条边在直线y2x17上，另外两个顶点在抛物线yx2上.则该正方形面积的最小值为 .

12.如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,,若an2005,则a5n_____. 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13.数列{an}满足：a01,an127an45an362证明：（1）对任意nN,an为正整数；(2)对任意nN,anan11为完全平方数。 14.将编号为1,2，„，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）.

15.过抛物线yx2上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴

AE1;点F在线段BC上，满于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足ECBF2，且121，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，足FC求点P的轨迹方程.

,nN.

二○○五年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、（本题满分50分）

如图，在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l.又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段AB于D;交直线l于E、F.

证明：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心） 二、（本题满分50分）

设正数a、b、c、x、y、z满足cybza;azcxb;bxayc.

x2y2z2求函数f(x,y,z)的最小值。 1x1y1z 三、（本题满分50分）

0当n为平方数，对每个正整数n,定义函数f(n)[1]当n不为平方数。（其中[x]表示

n不超过x的最大整数，xx[x]）。试求：f(k)的值。

k1240

二○○五年全国高中数学联合竞赛

加试试题参考答案及评分标准

说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。2.如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 1.证明：（１）先证DE过ABC的内心.如图，连DE、DC，作BAC的平分线分别交DE于I、DC于G，GDC，IDIC.10连IC，则由ADAC，得A1分又D、C、E在A上，A、IACDACIEC，

2I、C、E四点共圆，CIECAEABC，而

CIE2ICD，ICA1ABC.20分

211AICIGCICG90ABC,ACIACB.I为ABC的内心。30分22（2）再证DF过ABC的一个旁心。

连FD并延长交ABC的外角平分线于ＩBI，由（1）知，I１，连II1、BI、1为内心，IBI190EDI1,D、B、I1、I四点共圆，

11BII1BDI190ADI(BACADG)ADIBACIDG,

22A、I、I1共线。I1是ABC的BC边外的旁心，50分

2.解：由条件得，b(azcxb)c(bxayc)a(cybza)0，即

b2c2a2，同理，得a2c2b2a2b2c22bcxabc0,xy,z.10分

2bc2ac2ab222a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，

b2c2a2,a2c2b2,a2b2c2,故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角

形ABC，xcosA,ycosB,zcosC，问题转化为：在锐角ABC中，求函数

cos2Acos2Bcos2C的最小值.20分令

f(cosA,cosB,cosC)1cosA1cosB1cosCucotA,vcotB,wcotC,则u,v,wR,uvvwwu1,且u21(uv)(uw), v21(uv)(vw),w21(uw)(vw).30分

cosA1cosA122u2u1u2u2u21(u21u)u2(u21u)u21u2u3u21u12v311cos2Bu3u31122同理，v(), uu(),2uvvw1cosB2uvuw(uv)(uw)cos2Cw3112w().40分

1cosC2uwvw1u3v3v3w3u3w31222fuvw()u2v2w2[(u2uvv2)(v2vw2uvvwuw2

11w2)(u2uww2)](uvvwuw).50分2211abc,xyz),[f(x,y,z)]min. （取等号当且仅当uvw,此时，

221注：若考生直接令xyz,得答案f(x,y,z)min,则只给10分。

23.解：对任意a、kN,若k2a(k1)2,则1ak22k,设

ak,01,则

1a2121ak2k2k1，[1][2k2].让a跑遍区间 222akakakakaka2k(n1)n2k(k,(k1))中的所有整数，则[1][2k]，于是f(a)[2k]①

iii1a1k1i1k2a(k1)2a220分

2k]：画一张2k2k的表，第i行中，凡是i的倍数处填写“*”ii12k2k2k号，则这行的“*”号共[]个，全表的“*”号共[]个；另一方面，按列

iii1收集“*”号数：第j列中，若j有(j)个正因数，则该列便有(j)个“*”号，

下面计算[2k故全表的“*”号个数共(j)个，因此[2k](j)。示例如下：

j1i12k2k2kij1 j i 1 2 3 4 5 6 则

(n1)21 * n2kk1j12 * * 3 * * 4 * * * 5 * * 6 * * * * a1f(a)(j)n[(1)(2)](n1)[(3)(4)][(2n1)(2n)]②

16215由此，f(k)(16k)[(2k1)(2k)]③ 30分

k1k1记ak(2k1)(2k),k1,2,15,易得ak的取值情况如下： k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ak 3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 25615k1k113 7 14 10 15 10 因此，f(k)(16k)ak783④40分据定义f(256)f(162)0,又当

k241,242,255，设k152r(16r30)，

k15152r15rrr，30152r1531152r15301r,256r， 312r152r1240则[1]1,k241,242,,255⑤，从而f(k)783f(k)78315768.50kk1k1分