《排列组合》
一、排列与组合
1. 从 9 人中选派 2 人参加某一活动，有多少种不同选法？
2. 从 9 人中选派 2 人参加文艺活动， 1 人下乡演出， 1 人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女 8 名学生干部中选出 2 名男同学和 1 名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有 90 种不同的方案，那么男、女同学的人数是
A. 男同学 2 人，女同学 6 人 B. 男同学 3 人，女同学 5 人 男同学 6 人，女同学 2 人
C. 男同学 5 人，女同学 3 人 D.
4. 一条铁路原有 m个车站，为了适应客运需要新增加 n 个车站（ n>1），则客运车票增加了 58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 个
个
个
个
5．用 0，1，2，3，4， 5 这六个数字， （ 1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （ 2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （ 3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （ 4）可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数？
（ 5）可以组成多少个大于 3000，小于 5421 的数字不重复的四位数？
二、注意附加条件
人排成一列 （1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？ （ 2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？
2. 由 1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且是 6 的倍数的五位数？ 3. 由数字 1，2，3，4，5，6，7 所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第 379 个数是
4. 设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
种
种 种 种
5. 从编号为 1，2， ， 10,11 的 11 个球中取 5 个，使这 5 个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是
种
种 种 种
6. 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有 1 双同色的取法有 种
种
种
种
7. 用 0，1，2， 3，4， 5 这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列 起来，第 71 个数是 。 三、间接与直接
1. 有 4 名女同学， 6 名男同学，现选 3 名同学参加某一比赛，至少有 同选法？ 2. 6 名男生 4 名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？
1 名女同学，由多少种不
3. 已知集合 A 和 B 各 12 个元素， 个数：（ 1）
AI B
含有 4 个元素，试求同时满足下列两个条件的集合 C 的 C ( A U B) 且 C中含有三个元素；（ 2） C I A , 表示空集。
4. 从 5 门不同的文科学科和 4 门不同的理科学科中任选 4 门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数
种
种 种 种
5. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点不同取法有多少种？ 6. 以正方体的 8 个顶点为顶点的四棱锥有多少个？
7. 对正方体的 8 个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？ 四、分类与分步
1. 求下列集合的元素个数． （1） （2）
M H
{( x, y) | x, y N , x y 6} ； {( x, y) | x, y N ,1 x 4,1 y 5} ．
2. 一个文艺团队有 9 名成员，有 7 人会唱歌， 5 人会跳舞，现派 2 人参加演出，其中 1 名会唱歌， 1 名会跳舞，有多少种不同选派方法？
3. 已知直线 1 和
l// l
2
，在 上取 3 个点，在 上取 4 个点，每两个点连成直线， 那么这些直线在
l1l2l1
l 2
之间的交点（不包括
个
、 上的点）最多有
个
个
l1l2
A.18个
4. 9 名翻译人员中， 6 人懂英语， 4 人懂日语，从中选拔 5 人参加外事活动，要求其中 3 人担 任英语翻译， 2 人担任日语翻译，选拔的方法有 种（用数字作答）。 5. 某博物馆要在 20 天内接待 8 所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观 3 天，其余学校只参观 1 天，则在这 20 天内不同的安排方法为
3
7 17
8
1
7
18
A.
CA
20
种
B.
A
20
种
C.
CA
18
种
17
D.
A
18
种
6. 从 10 种不同的作物种子选出 6 种放入 6 个不同的瓶子展出， 如果甲乙两种种子不许放第一号瓶内，那么不同的放法共有
A. C102 A84 种 B.
C19 A 59 种
C.
C18A 59 种
D.
C19A 58 种
7. 在画廊要展出 1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一起，还要求水彩画不能摆两端，那么不同的陈列方式有
A. A 14A 55 种 B.
A 23A 44A 55 种 C. A14A 44A 55 种 D.
A 22A 44A 55 种
8. 把一个圆周 24 等分，过其中任意 3 个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的个数是
9. 有三张纸片，正、反面分别写着数字 1、 2、 3 和 4、5、6 ，将这三张纸片上的数字排成三位数，共能组不同三位数的个数是
A. 24
10. 在 1～20 共 20 个整数中取两个数相加 , 使其和为偶数的不同取法共有多少种 ? 11. 如下图 , 共有多少个不同的三角形 ? 解 : 所有不同的三角形可分为三类：
第一类 : 其中有两条边是原五边形的边 , 这样的三角形共有 5 个
第二类 : 其中有且只有一条边是原五边形的边 , 这样的三角形共有 5×4=20 个
第三类 : 没有一条边是原五边形的边 , 即由五条对角线围成的三角形 , 共有 5+5=10个
由分类计数原理得 , 不同的三角形共有 5+20+10=35个.
12. 从 5 部不同的影片中选出 4 部，在 3 个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放 映一场，共有种不同的放映方法（用数字作答）。
五、元素与位置——位置分析
人争夺 5 项冠军，结果有多少种情况？
2. 75600 有多少个正约数 ?有多少个奇约数 ?
解 :75600 的约数就是能整除 75600 的整数 , 所以本题就是分别求能整除 75600 的整数和奇约数的个数 .
由于 75600=24 ×33×52×7
(1) 75600
的每个约数都可以写成
2l 3 j
5k 7l 的形式 , 其中 0
i
4 ,
0
j
3
, 0 k 2 , 0 l 1
i, j, k,l
分别在各自的范围内任取一个值 , 这样
5
于是 , 要确定 75600 的一个约数 , 可分四步完成 , 即
i
有 5 种取法 , 有 4 种取法 , 有 3 种取法 , 有 2 种取法 , 根据分步计数原理得约数的个数为
j
kl
× 4× 3× 2=120 个 .
(2) 奇约数中步不含有 2 的因数 , 因此 75600 的每个奇约数都可以写成 数的个数为 4× 3×2=24 个 .
3j5k7l
的形式 , 同上奇约
3. 2 名医生和 4 名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同分配方法有多少种？
4．有四位同学参加三项不同的比赛，
（ 1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （ 2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？
解：（ 1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：
33 33
81
种；
（ 2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：
444
64
种 .
六、染色问题
1. 如图一 , 要给① , ②, ③, ④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同颜色 , 则不同涂色方法种数为 ()
A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
①
②
③
①
图一
②
图二
①
④
③
④
③
②
④ 图三
若变为图二 , 图三呢 ?(240 种,5 ×4×4×4=320 种)
2. 某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A、 B、C、D（如图）每一部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，
则不同颜色粉笔书写的方法共有
种（用具体数字作答）。
七、消序
1. 有 4 名男生， 3 名女生。现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法？
2. 书架上有 6 本书，现再放入 3 本书，要求不改变原来 6 本书前后的相对顺序，有多少种不同排法？
八、分组分配
1. 某校高中一年级有 6 个班，分派 3 名教师任教，每名教师任教二个班，不同的安排方法有多少种？
2. 高三级 8 个班，分派 4 名数学老师任教， 每位教师任教 2 个班，则不同安排方法有多少种？ 3. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？ 项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有
种
5.. 六人住 A、 B、 C三间房，每房最多住三人， （1）每间住两人，有
种不同的住法，
种不同的住宿方案。
（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有
6. 8 人住 ABC三个房间，每间最多住 3 人，有多少种不同住宿方案？
7. 有 4 个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？
7. 把标有 a，b，c，d， 的 8 件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中 个人，则不同的赠送方法有 九、捆绑
种（用数字作答）。
a、b 不赠给同一
2. 有 8 本不同的书， 其中科技书 3 本，文艺书 2 本，其它书 3 本，将这些书竖排在书架上， 则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8 本书的不同排法之比为
1. A 、B、C、D、E 五个人并排站成一列，若 A、B 必相邻，则有多少种不同排法？
:14 :28 :140 :336
十、插空
1. 要排一个有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？
2、4 名男生和 4 名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）
3. 要排一个有 5 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少种不同排法？
4. 5 人排成一排，要求甲、乙之间至少有 1 人，共有多少种不同排法？
5.. 把 5 本不同的书排列在书架的同一层上，其中某 3 本书要排在中间位置，有多少种不同排法？
到 7 七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中偶数不相邻的个数有
个.
7. 排成一排的 8 个空位上，坐 3 人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？张椅子放成一排， 4 人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
9. 排成一排的 9 个空位上，坐 3 人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？
10. 排成一排的 9 个空位上，坐 3 人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？
11. 某城市修建的一条道路上有 12 只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭 其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有 种
A.
C3
8
B.
A 3
8
C.
C3
9
D.
A 3
9
12. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共 15 只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必需有 6 只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必需点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是
种
种 种 种
13. 一排长椅上共有 10 个座位，现有 4 人就座，恰有五个连续空位的坐法种数 为 。（用数字作答） 十一、隔板法
1. 不定方程
xx12 x3 x4 7
的正整数解的组数是
，非负整数解的组数是 。 2. 某运输公司有 7 个车队，每个车队的车多于 4 辆，现从这 7 个车队中抽出 10 辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
种
种
种 种
3. 要从 7 所学校选出 10 人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加
种分配方法。 有
1 人，则这 10 个名额共
4. 有编号为 1、2、3 的 3 个盒子和 10 个相同的小球，现把 10 个小球全部装入 3 个盒子中，使得
每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
种
种 种 种
5. 将 7 只相同的小球全部放入 4 个不同盒子，每盒至少 1 球的方法有多少种？
6. 某中学从高中 7 个班中选出 12 名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有 1 人参加的选法有多少种？
十二、对应的思想
1. 在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
十三、找规律
1. 在 1～20 共 20 个整数中取两个数相加 , 使其和大于 20 的不同取法共有多少种 ?
解 : 分类标准一 , 固定小加数 . 小加数为 1 时 , 大加数只有 20 这 1 种取法 ; 小加数为 2 时 , 大加数有 19 或 20 两种取法 ; 小加数为 3 时 , 大加数为 18,19 或 20 共 3 种取法 小加数为 10 时, 大加数为 11,12, ,20 共 10 种取法 ; 小加数为 11 时, 大加数有 9 种取法 小加数取 19 时, 大加数有 1 种取法 . 由分类计数原理 , 得不同取法共有 1+2+ +9+10+9+ +2+1=100种 . 分类标准二 : 固定和的值 . 有和为 21,22, ,39 这几类 , 依次有取法 10,9,9,8,8, 由分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+ +2+2+1+1=100种.
,2,2,1,1 种.
2. 从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于一百，则不同的取法有 种
种
种
种
十四、实验——写出所有的排列或组合
1. 将数字 1,2,3,4 填入标号 1,2,3,4 的四个方格中，每个格填一个，则每一个方格的标号与所 填的数字均不同的填法有 种.
解 : 列表排出所有的分配方案 , 共有 3+3+3=9种 , 或
3 3 1 19
种．
未归类几道题
1. 从数字 0，1，3，5， 7 中取出不同的三位数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个？
变式：若直线 Ax+By+C=0的系数 A、B 可以从 0，1，2，3，6，7 这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（ A ）
2. 在 100 件产品中 , 有 98 件合格品 ,2 件不合格品 . 从这 100 件产品中任意抽出 3 件 (1) 一共有多少种不同的抽法 ?
(2) 抽出的 3 件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种 ? (3) 抽出的 3 件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种 ? 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取
4 只，试求各有多少种情况出现如下结果
(1)4 只鞋子没有成双； (2) 4 只鞋子恰好成双；
(3) 4 只鞋子有 2 只成双，另 2 只不成双
是集合 M={a,b,c,d} 到 N{0,1,2} 的映射，且 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,
则不同的映射有多少个？
解：根据 a,b,c,d
对应的象为 2 的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象为 2，其和又为 4，则集合 M所有元素的象都为 1，这样的映射只有 1 个
第二类，有一个元素的象为 2，其和又为 4，则其余 3 个元素的象为 0，1，1，这样的映射有 C41C3 1C22个
第三类，有两个元素的象为 2，其和又为 4，则其余 2 个元素的象必为 0，这样的映射有 C42C22 个
根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19 个
5. 四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中， 则恰有一个空盒的方法共有多少种？ 6. 由 12 个人组成的课外文娱小组，其中 5 个人只会跳舞， 5 个人只会唱歌， 2 个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同选法？
排列、组合练习题参考答案 :
1. C92
36
2.
A92 72
3. 解析：设男生有 n 人，则女生有（ 8-n ）人，由题意得
213Cn C8 n A3 n n 1 2
(8 n) 6 90
即 n n
1 (8 n) 30
用选支验证选（ B）
4. 分类：①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
C52 2 20 种；
②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 C53 10 种；
③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法， 只有五个杯盖和茶杯的编号完全相同的盖法 故选（ B）31 种。
1 种。 5 . 分类：① 1 奇 4 偶： C1C4 6530
②3 奇 2 偶： C3C2 65200 选（ A）
分步： 6.
C1C222240
6
5
选（A）
间接法：7.
C
10
3C
6
3
2 1
3
1 2
或分类：
CC
4
6
+C4 C6 +C4
B
A
4
8
A44 A77 8. 间接法： A1010
9. 间接法：
C
20
3C
8
3
10. 对应：一交点对应 l1
、 l 2 C32C42 18 个选（ A）
上各两点：
11. 分类：①英语翻译从单会英语中选派：
C53C42
60
②英语翻译选派中一人既会英语又会日语：
C52
C32
30
填 90
懂英语
1
12. 分步：
A22
A44
A5
5
5
选（ D）
13. 元素与位置：以冠军为位置，选人：
7 7 7 7 7 75
14. 75600
24 33 52 7① 5 4 3 2 120；② 4 3 2 24
15. 分步：
5
4 3 3
180
填180
A99
16. 消序： A7 8 9
66
=504或分步插空： 7 8 9 =504
C62C423 C22 A33
2 2 2
17. 先分组后分配：
A3
或位置分析： C6 C4 C2
8
懂日语6
3
或
A
9
18. 先分组后分配： 19. 位置分析：
8
C3C2C1A3
6
3
1
3
C3C1C2C2
5
4
2
C3C2C1A3
6
3
1
3
20. （ 1）仿 17 题；（ 2）先分组后分配：
C83 C53C22
3
21.先分组后分配：
A2
2
A3
或分类，先确定住两人的房间——位置分析：
2
3
C1C2C3C3
3
8
6
32
1
1
重复题目 : 先分组后分配：
C4A3
或分类——位置分析： 3
C4C2C1
A55 A33 A22 1 28
22. 捆绑：
A88 选（ B） 23. 插空 :
A4A3
4
5
24.
3
插空 : 4
A
25. 插空 : A44 A52 26. 插空 : A33C43
27.插空 :
A
3
3
A3 28.(A) C3
4
8
C96 C93
29. 隔板法：
9 8 7 84
选（ A） 3 2 1
30. 1o先在编号为 2、3 的 2 个盒子分别放入 1 个小球、 2 个小球；
2 对余下 7 个小球用隔板法
o
C
2
6
15
。选（C）
31. 对应的思想： 100 名选手之间进行单循环淘汰赛，最后产生一名冠军，要环淘每淘汰 1 名选手，对应一场比赛。故要举行 99 场比赛。
99 名选手，
32.[ 解法一 ]: 找规律：固定小加数 . 小加数为 1 时, 大加数只有 20 这 1 种取法 ; 小加数为 2 时,大加数有 19 或 20 两种取法 ; 小加数为 3 时, 大加数为 18,19 或 20 共 3 种取法 小加数为 10 时,大加数为 11,12, ,20 共 10 种取法 ; 小加数为 11 时 , 大加数有 9 种取法 小加数取 19 时 , 大加数有 1 种取法 . 由分类计数原理 , 得不同取法共有 1+2+ +9+10+9+ +2+1=100种 .
[ 法二 ]: 固定和的值 . 有和为 21,22, ,39 这几类 , 依次有取法 10,9,9,8,8, 分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+ +2+2+1+1=100种. 以上两种方法是两种不同的分类。
,2,2,1,1 种. 由
33. 解: 列表排出所有的分配方案 , 共有 3+3+3=9种, 或
3 3 1 1 9
种．
34.(1) C104 24 (2) C102 (3) C101 C92 22
35. 解：根据 a,b,c,d 对应的象为 2 的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象为 2，其和又为 4，则集合 M所有元素的象都为 1，这样的映射只有 1 个
第二类，有一个元素的象为 2，其和又为 4，则其余 3 个元素的象为 0，1，1，这样的映射有
C14C31C22 =12 个
第三类，有两个元素的象为 2，其和又为 4，则其余 2 个元素的象必为 个
0，这样的映射有
C2C2 42=6
根据加法原理共有
1+ C4C3C2112 +C42C22 =1+12+6=19 个
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容