第３期 李强，等：基于混沌和二维近似熵的滚动轴承故障诊断 １ １ １ Ｏ Ｏ ９ 率，即 。一 －。设Ｆ。略小于 ，振子的原始状态为 ２ 的存在。然而当微弱信号被强背景噪声淹没时，系统 Ｏ ８ 混沌状态，当把同频率的周期信号加入振子时，只要 Ｆｏ＋Ｆ ＞ ，振子就会发生从混沌到大尺度周期状 态的改变，辨识振子状态的改变就可以判断被测信 号中是否存在频率等于 。的周期成分。 实际应用中，在无噪声或噪声相对较弱的情况 的相变演化是渐进的，经过由混沌到阵发混沌再到 大尺度周期运动的变化过程，仅从相图或时域波形 目测很难进行识别。 对于式（２），若令Ｆ１—０．０２，Ｎ（ｔ）一０．４ｎ（ｆ），其 中 （￡）是均值为０，方差为１的白噪声，其余各值均 与图１（ｃ）和（ｄ）中相同。混沌振子的输出结果如图２ 下可以通过相图或时域波形的变化来判断微弱信号 （ａ）时域波形， ：０．２ （ｂ）相图，Ｐｏ：０．２ １ ０ —１ （ｃ）时域波形， ＝０．６ （ｄ）相图， ：０．６ １ ０ —１ （ｅ）时域波形， ＝０．６２ （Ｄ相图， ＝０．６２ 图１ Ｄｕｆｆｉｎｇ振子在不同参数下的时域输出及相图 １ ０ —１ ０ １０ ２０ ３０ ４０ 一１ ０ １ （ａ）时域波形 （ｂ）相图 图２ Ｄｕｆｆｉｎｇ振子在Ｆ。一０．６，Ｆ ＝０．０２，Ｎ（ｆ）：ｏ．４ｎ（ｆ）时的时域输出及相图 维普资讯 http://www.cqvip.com ２７０ 振 动 工 程 学 报 第２Ｏ卷 所示，是一种无明显规律的阵发混沌现象，振子并未 发生相变，如果按理想情况分析就会得出输入信号 中不存在上述频率的微弱周期信号的错误结论。因 此，在应用基于Ｄｕｆｆｉｎｇ振子的微弱信号特征检测 中，相变的判断需要可靠而快速的量化测度。 ＡＥ２ｄ Ｏｎ，ｒ）一声” （ｒ）一声” （７一） （７） 与一维近似熵类似，嵌入维数 通常取２，考虑 到在某些情况下，合成振子相图的两个振动方向信 号的幅值相差比较大，因此可取相似容限为 ７ 一 ｘ Ｓ （ ），＆ｘ Ｓ （ ，）］ （８） 式中 Ｓ （ ）表示时间序列的标准差； 为ｒ的控制 ２ Ｄｕｆｆｉｎｇ振子状态的定量描述 ２．１二维近似熵原理 参数，ａ的取值范围通常为０．１≤ａ≤０．２５。此时 的物理意义为一个与各方向信号幅值相适应的矩形 区域，ＡＥ２ｄ具有较为合理的统计特性。在本文的应 ２Ｏ世纪９Ｏ年代初，Ｐｉｎｃｕｓ为了克服混沌现象 中求解熵的困难，从衡量非线性时间序列复杂性的 角度提出了近似熵（Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ Ｅｎｔｒｏｐｙ，ＡｐＥｎ） 的概念［６］，并在生物电信号、机械设备故障信号和电 弧焊电流信号等领域进行了尝试并获得了良好效 果［７叫 。然而，常规的近似熵只适合于一维信号的 描述，欲表征振子相图（二维信号）的复杂程度，还必 须对其进行概念上的扩充。因此，本文提出了二维近 似熵（ＡＥ２ｄ）的概念。ＡＥ２ｄ是用一个非负数来表示 某二维时间序列的复杂性，越复杂的时间序列对应 的值越大，下面给出具体的算法步骤。 设合成振子相图的原始数据为 （ ），ｙ（ ）（ 一 １，２，…，Ⅳ），预先给定模式嵌入维数 和相似容限 ｒ的值，则ＡＥ２ｄ可以通过以下步骤计算得到。 （１）将序列｛ｚ（ ），ｙ（ ））按顺序组成 维矢量 Ｏ（ｉ），即 Ｏ（ｉ）一［（ （ ），ｙ（ ）），…，（ （ ＋ 一１）， ｙ（ ＋ 一１））］， ｉ一１，２，…，Ｎ— ＋１ （３） （２）对每一个ｉ值计算Ｏ（ｉ）与其余矢量Ｄ（ ）之 间的距离 ［Ｄ（ ），Ｄ（ ）］一 ｍａｘ Ｉｘ（ｉ＋五）一 （ ＋五）， ｙ（ ＋五）一Ｙ（ ＋五）Ｉ （４） （３）按照给定的阈值ｒ（ｒ＞０），对每一个ｉ值统 计 Ｄ（ ），Ｄ（ ）］＜ｒ的数目，以及此数目与总的矢 量数目Ⅳ一 ＋１的比值，记作ｃ （ｒ），即 ＣＴ（ｒ）一｛ｄ［－Ｏ（ｉ），Ｄ（ ）］＜ｒ的数目｝／ （Ⅳ一 ＋１） （５） （４）先将Ｃ７（ｒ）取对数，再求其对所有ｉ的平均 值，记作５６ （ｒ），即 １ Ｎ－－ｍ＋１ ｒ）一 ∑ｌ （ｒ） （６） （５）对 ＋１重复式（１）～（４）的过程，得到 （ｒ） （６）理论上此序列的近似熵为 用实例中，均采用 一２，ａ一０．２５来计算振子相图 的二维近似熵。 ２．２二维近似熵的性质 以实例来说明ＡＥ２ｄ在度量振子相图复杂性方 面的能力。以图１中（ｄ）和（ｆ）两种状态为例。从直观 上可以看出，图１（ｄ）要比图１（ｆ）复杂得多，按上述 算法求出相应的ＡＥ２ｄ分别为０．０９６ ７７９和 ０．０３９ ４，前者约是后者的２．５倍，即越复杂的振子 相图熵值就越大，表明ＡＥ２ｄ可以很好地用来表征 振子相图的复杂性。 在计算ＡＥ２ｄ时，若时间序列内含噪声的幅度 低于ｒ，该噪声将被抑制。若信号中存在较大的瞬态 干扰，干扰数据（即“野点”）对应的矢量与其他矢量 的距离必定很大，因而在闽值检测中将被去除。因 此，ＡＥ２ｄ具有一定的抗噪、抗野点能力。ＡＥ２ｄ只是 希望从统计的角度来区别振子相图的复杂性，而不 企图描述或重建奇异吸引子的全貌，因此只需用较 短的数据就可以估计出合理的熵值。需要指出的是， 由于ＡＥ２ｄ大致相当于维数变化时新模式出现的对 数条件概率的均值，在衡量二维时间序列的复杂性 方面具有一般意义，因此这不仅仅只是一个非线性 动力学参数，而且对随机过程和确定性过程都适用。 ２．３ 基于二维近似熵的Ｄｕｆｆｉｎｇ振子相图的定量 判断 下面给出ＡＥ２ｄ在度量Ｄｕｆｆｉｎｇ振子相变中的 实现步骤：对式（２），令Ｆ。一Ｆ。，Ｆ 一０，以一定步长 增加噪声的强度，计算振子相应的输出．２７（￡），Ｙ（￡）和 ＡＥ２ｄ 值；再加入外部周期信号，并使Ｆ。＋Ｆ ＞Ｆ ， 重复上述过程，得到振子加入被测周期信号和噪声 后的ｚ（￡），Ｙ（￡）和ＡＥ２ｄ：值。通过前后两组近似熵 曲线的交点可以确定一个阈值ＡＥ２ｄｃ，作为判别输 入信号中是否包含有待检测频率微弱信号的临界 值，并且定义此处的信噪比为在此情况下振子可检 测的最小信噪比。若待检测振子相图的ＡＥ２ｄ大于 维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期 李强，等：基于混沌和二维近似熵的滚动轴承故障诊断 此阈值，就认为振子处于混沌状态，不能确定输入信 实测信号是从滚动轴承实验台上采集到的３个 号中是否含有频率为 。的周期成分。反之，则可以 振动加速度信号，选用的滚动轴承型号为３０８，采样 确定输入信号中含有频率为 。的周期成分。ＡＥ２ｄ 频率为２０ ｋＨｚ。已知这３个轴承的状态分别为正 作为一个新的度量指标，从二维角度全面量化了振 常、内圈剥落和外圈剥落，但不能确定各轴承分属于 子的相变规律，有效地提高了混沌振子对微弱周期 哪种状态。轴承参数 一１５ ｍｍ，Ｄ一６５ ｍｍ，ａ一０。， 信号的检测能力。 ，２—８，由式（９）得到 约为 ．的４．９２倍，由式（１０） 得到 约为 ．的３．０８倍。根据分析，得知这两个 ３在滚动轴承故障诊断中的应用 故障频率的成分均具有窄带内惟一性．所以适合前 面提到的利用混沌振子进行检测的场合。因此．分别 滚动轴承的故障一般表现为滚动副局部缺陷， 检测各轴承的４．９２倍转频分量和３．０８倍转频分 其具体形式为：内、外圈剥落，内、外圈压痕，滚动体 量，若存在４．９２倍转频分量，则证明轴承故障为内 剥落，保持架断裂等等。当滚动副出现缺陷时，匀速 圈剥落；若存在３．０８倍转频分量，则证明轴承故障 回转的滚动体在经过这些缺陷时会产生一个具有周 为外圈剥落；若两者皆无，则证明轴承为正常。 期性的冲击信号。对发生在不同滚动副的缺陷，冲击 轴承１，２，３的轴旋转频率分别为１８．６ Ｈｚ， 信号具有不同的频率，这个频率通常称为特征频 １９．４ Ｈｚ和１８．３５ Ｈｚ。由于只关心振动信号的低频 率Ｉ】］。这里，对内圈剥落和外圈剥落故障进行检测， 部分，所以对信号进行抽取以减少数据量，并将采样 其对应的特征频率为 频率降低至５ ｋＨｚ。当ｈ一１／５ ０００，频率分别为各轴 承转频的４．９２，３．０８倍时，其Ｄｕｆｆｉｎｇ振子相应的 一 ｆ １＋ ｃ上／ ｏｓａｌ／ 厂ｒ （９） ，振子相变的ＡＥ２ｄ阈值和振子可检测到的最小 ｆｏ一号（１一 ｃｏｓａｌ ． （１０） 信噪比（ ⅣＲ）如表１所示。将式（２）中（Ｆ ＣＯＳ（ ｆ＋ ）＋Ⅳ（ｆ））用滚动轴承振动信号代替。为防止幅值 式中 为内圈故障的特征频率； 为外圈故障的 过大的信号加入Ｄｕｆｆｉｎｇ振子后直接破坏振子状 特征频率； 为轴旋转频率；Ｄ为轴承节径；ｄ为滚 态，在振动信号通过混沌振子前，应先对数据进行去 动体的直径；ａ为接触角； 为滚动体个数。 均值和等比例缩小预处理。 表１ 各轴承在不同转频下的Ｄｕｆｆｉｎｇ振子、ＡＥ２ｄ和ＳＮＲ参数 图３是上述振动信号加入相应的混沌检测振子 后的输出相图。可以看到，轴承１两组检测振子输出 ４ 结 论 的ＡＥ２－ｄ均大于阈值，表明轴承１的振动信号中不 包含上面提到的两种故障特征频率成分，可以认为 （１）利用非线性方法检测强噪声背景下的微弱 轴承１为正常轴承。在轴承２的两组检测振子输出 信号，将描述二维相图的复杂度指标用于混沌振子 中，４．９２倍转频的检测振子输出的ＡＥ２ｄ小于阈 的相变检测，提出了基于混沌和二维近似熵的滚动 值，因此认为其中存在４．９２倍转频的成分，并判定 轴承故障诊断方法。该方法可以直接针对滚动轴承 轴承故障为内圈剥落。在轴承３的两组检测振子输 微弱的故障特征信号进行检测，同时以二维近似熵 出中，３．０８倍转频检测振子输出的ＡＥ２ｄ小于阈 作为测度，能够客观、准确地判断振子相图的输出状 值，因此认为其中存在３．０８倍转频成分，并判定轴 态，从而降低了误诊率，完成轴承的故障诊断。 承故障为外圈剥落。 （２）二维近似熵描述了二维时间序列在维数变 维普资讯 http://www.cqvip.com ２７２ 振 动 工 程 学 报 第２Ｏ卷 （ａ）轴承ｌ（４．９２｛￣Ｎｉ，ＡＥ２ｄ＝０．８９ｏ ８１ （ｂ）轴承ｌ（３．Ｏ８倍转频，ＡＥ２ｄ＝０．０４６ ９７１） （Ｃ）轴承２（４．９２倍转频，ＡＥ２ｄ＝０．０６８ ６９７） （ｄ）轴承２（３．０８倍转频，ＡＥ２ｄ－－０．０５７ ５０６） （ｅ）轴承３（４．９２倍转频，ＡＥ２ｄ＝０．０８９ ４４８１ （Ｄ轴承３０．０８倍转频，ＡＥ２ｄ＝０．０３９ ３５） 图３滚动轴承信号的相平面轨迹 化时产生新模式概率的大小，包含了时间模式的信 息，反映了数据在结构上的复杂性，在衡量二维时间 序列的复杂性方面具有普遍意义。 （３）二维近似熵估计需要的数据短，对随机和确 研究ｒＪ］．振动工程学报，２００２，１５（１）：１１１—１１３． ｄ Ｌ Ｂ，Ｓｔｅｐｈｅｎ Ｊ Ｐ．Ｃｈａｏｔｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ ａｎｄ ［４］ Ｄｏｎａｌｃｏｍｐｌｅｘ ｍａｐｐｉｎｇ ｆｅｅｄ ｆｏｒｗａｒｄ ｎｅｔｗｏｒｋｓ（ＣＭＦＦＮＳ） ｆｏｒ ｓｉｇｎａｌ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｎｏｉｓｙ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ａ］．Ｃａｕｄｉｌｌ Ｍａｕｒｅｅｎ．ｔＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｉｎｔ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ ＮｅｔｗｏｒｋｒＣ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９９２：８８１—８８８． Ｆ Ｃ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈａｏｔｉｃ ［５］ Ｈｏｐｐｅｎｓｔｅａｄｔ定性过程都适用，在定量表征混沌振子相图的复杂 性方面具有很强的分辨能力，可以作为状态监测和 故障诊断的一种新的无量纲指标。 Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｓｅｃｏｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ— 参考文献： ［１］ 屈梁生，何正嘉．机械故障诊断学［Ｍ］．上海：上海科技 出版社，１９８７． Ｖｅｒｌａｇ，２０００：１７４—１８６． ｍａｔｅ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｓ ａ ｍｅａｓｕｒｅ ［６］ Ｓｔｅｖｅｎ Ｍ．Ｐｉｎｃｕｓ．Ａｐｐｒｏｘｉｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ ｒＪ］．Ｐｒｏｃ Ｎａｔ［Ａｃａｄ Ｓｃｉ ＵＳＡ， １９９１，８８（６）：２ ２９７—２ ３０１． Ｉ－２］ 李强，王太勇，冷永刚，等．基于变步长随机共振的弱信 号检测技术ｒＪ］．天津大学学报，２００６，３９（４）：４３２— ４３７． ［７］ 谢勇，徐健学，康艳梅，等．皮层脑电的非线性降噪ｒＪ］． 物理学报，２００２，５２（５）：１ １２１—１ １２６． ［８］ 胥永刚，李凌均，何正嘉．近似熵及其在机械设备故障 诊断中的应用ｒＪ］．信息与控制，２００２，３１（６）：５４７— ［３］ 唐英，孙巧．滚动轴承振动信号的小波奇异性故障检测 维普资讯 http://www.cqvip.com
第３期 ５５１． 芝强，等：基于混沌和二维近似熵的滚动轴承故障诊断 （２）：８２４—８３９． ．２７３ ［９３ Ｒｕｑｉａｎｇ Ｙａｎ，Ｒｏｂｅｒｔ Ｘ ＧａｏＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｓ ［３０３曹彪，吕小青，曾敏，等．短路过渡电弧焊电流信号的近 似熵分析［Ｊ３．物理学报，２００６，５５（４）：１ ６９６—１ ７０５． ａ ｄｉａｇｎｏｓｔｉｃ ｔｏｏｌ ｆｏｒ ｍａｃｈｉｎｅ ｈｅａｌｔｈ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ［Ｊ］． Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，２１ Ｆａｕｌｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ｏｆ ｒｏｉｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｈａｏｓ ａｎｄ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｅｎｔｒｏｐｙ ＬＩ Ｑｉａ ｇ，ＷＡＮＧ Ｔａｉ一３，ｏ ｇ，ＸＵ Ｙｏｎｇ—ｇａ ｇ，ＨＥ Ｈｕｉ—ｌｏ ｇＺＨＡＮＧ Ｙｉ 譬 ，（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３０００７２Ｃｈｉｎａ） ，Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆａｕｌｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｓｉｇｎａｌｓ ｏｆ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇｓ ａｒｅ ｉｎ ｌｏｗ ｆｒｅ（１ｕｅｎｃｙ ｂａｎｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｕｓｅｆｕｌ ｓｉｇｎａｌｓ ａｒｅ ｏｆｔｅｎ ｂｕｒ ｅｄ ｍ ｈｅａＶＹ ｎｏｉｓｅ ａｎｄ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｂｅ ｄｅｔｅｃｔｅｄＴｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｅｎｔｒｏｐｙ（ＡＥ２ｄ）ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ｔｈｅ ｓｔａｔｅｓ ．ｏｉ ｃｈａｏｔｉｃ ｏｓｃ。儿ａｔｏｒ，ａｎｄ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｃｈａｏｔｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ａｎｄ ＡＥ２ｄ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｄｉａｇｎｏｓｅ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇｓ ｆａｕ１ｔ． Ｂｙ ｕｓ ｎｇ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ ｏｆ ｃｈａｏｔｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ｂｅｉｎｇ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ ｗｅａｋ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｉｇｎａｌ，ａｎｄ ＡＥ２ｄ ｂｅｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｏ ｒｅｃｏｇｎｉｚｉｎｇ ｔｈ ｃｈａｎｇｅ ｏｉ ｃｈａｏｔｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ，ｔｈＰ ｆａｕｌｔ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄＤｉａｇｎｏｓｉｓ ｏｆ ｉｎｎｅｒ ａｎｄ ｏｕｔｅｒ ｒａｃｅ ｆａｕＩｔ ｏｆ ｒｏｌｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ ｃｏｎｆｉｒｍ ｔｈｅ ．ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｏｉｌｉｎｇ ｂｅａｒｉｎｇ；ｆａｕＩｔ ｄｉａｇｎｏｓｉｓ；ｃｈａｏｔｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ａＰＰｒｏｘｉｍａｔｅ ｅｎｔｒｏｐｙ；ｆｅａｔｕｒｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ 作者简介：￣（１９８２－－），男，博士研究生。电话：（０２２）２７４０２７７４；Ｅ—ｍａｉｌ：ｓｎｉｐｅｒ＠ｔｄｍｅｔｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ。 ．
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