排列组合问题

排列组合问题：6位新教师全部分给4所学校，每校至少1人，共有多少种不同的分配方安？ 给每个学校分一个老师先，其分配方案为：

第一个学校有6种可能，第二个学校有5种可能，第三个学校有4种可能，第四个学校有3个可能，即： A1=6*5*4*3；即A64（打不出来那种符号，理解便可）； 然后是把两个老师分到4个学校的问题了，即：

剩下的两个人每一个都有4种可能，他们可以去四所学校的任一学校

A2=4*4； 总的方案为：A=A1*A2；

1.3名医生和6名护士被分配到3所所为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ） （A）90种 （B）180种 （C）270种 （D）540种 【解析】

三名医生各自去一所学校，即对医生或者学校其中一个全排列即可，A33=6种

护士是每所学校去2名，即2，2，2的分配，因此是C62*C42/A33，然后对医院全排列，即A33，所以护士是C62*C42

（知识链接参考苹果分盘子问题） A33*C62*C42=540

2．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ） （A）480 （B）240 （C）120 （D）96

【解析】

分配的方法是：1，1，1，2 根据从左往右法直接列式 C52*A44=240

3．编号为1，2，3，4，5的五个人分别去坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，至多有两个号码一致的坐法种数为（ ） (先看29题)

（A）90 （B）105 （C）109 （D）100

【解析】

至多有两个号码一致，要分情况考虑

没有号码一致：即都不正确的方法是：44（全排错，对应元素有5个）

只有一个号码一致：其他4个不正确的方法是：C51*9（全排错，对应元素有4个） 只有两个号码一致：其他3个不正确的方法是：C52*2（全排错，对应元素有3个） 44+C51*9+C52*2=109

4．若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（ ）。 （A）19 （B）20 （C）119 （D）60

【解析】

先对5个元素全排列，然后除去3个元素相同的情况，最后再减去正确的拼写方法一种即可 A55/A33-1=19

5．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积分33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况有（ ） （A）6 种 （B）5种 （C）4种 （D）3种

【解析】 33=11*3+4*0

33=10*3+3*1+2*0 33=9*3+6*1+0*0 3种

6. 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有（）种。 【解析】 分类考虑：

从6台原装计算机里面取2台，再从5台组装计算机里面取3台，C62*C53 从6台原装计算机里面取3台，再从5台组装计算机里面取2台，C63*C52 C62*C53+C63*C52=350

7. 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种. （A） 24 （B） 64 （C） 81 （D） 6

【解析】

每一项比赛的冠军都可以是甲乙丙三个人中的任意一个 3^4=81

8.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 【解析】

对8个元素全排列，然后除去3个同色和5个同色的全排列即可 A88/A33*A55

或者在8个元素里面选出3个或者5个同色的即可 C83=56

9.某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种. （A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630

【解析】

“苹果分盘子的变形”

将7天看成“苹果”，3个人看成是3个“盘子” 一周7天各不相同，人与人也不相同 可以分配的方法是：2，2，3 根据从左往右法直接列出式子 C73*C42/A22*A33=630

10. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ） （A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个 【解析】

分四位数和五位数考虑，72

11.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）

(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 【解析】

“插板法”的运用

除了100元，其他的人民币都可以有选取或者不选取这两种，2^9 100元有三种，不选取、选取1张、选取2张，3 再除去都不取的情况1种，答案即出来 2^9*3-1=1535

12. 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.

【解析】

“捆绑法”的运用

将甲乙丙三人“捆绑”成一个元素，那么总的元素变成6个，A33*A66 然后用总的8个元素全排列去减即可 A88-A33*A66

13.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）

（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种 【解析】

“逆向思维”来考虑

不考虑甲厂必须要有班级的情况

3个班级，每个班级都可以选择4家厂中的任意一个，4^3 都不取甲厂的情况：3^3 4^3-3^3=37

14、7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？【解析】“捆绑法”的运用将甲乙捆绑成一个元素，总的元素变成6个A22*A66

15、7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？【解析】“插孔法”的运用7个人，除去甲乙2人，剩下5个人，有6个空在6个空中插入甲乙2人，C62*A22=A62然后对那5个人全排列即可A55*A62

16、正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个。【解析】7个点，任取3个，C73然后除去三个点在一条直线的即可C73-3

17、1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种。 【解析】

5个人全排列，然后去掉老师在两端的情况即可 A55-2A44

18、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种。【解析】三名主力在一、三、五位置上全排列即可，A33然后在剩下的7名非主力中选取2人分在二、四位置上即可A33*A72=252

19、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A.42 B.30 C.20 D.12【解析】“插孔法”的运用5个节目，有6个空，插

入一个即，6种6个节目，有7个空，插入一个即，7种6*7

20、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ） 【解析】

“苹果分盘子”的运用 分配方法：4，4，4 根据从左往右法即可 C（12，4）*C（8，4）

21、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 【解析】

先从除了黄瓜以外的其他三种蔬菜中取出2种，C32 再对取出的3种蔬菜全排列即可 C32*A33=18

22、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。 【解析】

“插板法”的运用

先给编号是1，2，3的阅览室分别给予0，1，2本书 那么还剩下10-0-1-2=7本书

题目转化成：7本相同的书，分到3个阅览室，每个阅览室至少有一本书的情况。 7本书，6个空，2块板将其分成3分 C62 23、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。A.24个 B.30个 C.40个 D.60个

【解析】 分类考虑即可 4*3+2*3*3=30

24、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种。 【解析】

“捆绑法”的运用

数学书、外语书，看成2个元素，那么总的元素变成5个，全排列 再对数学书和外语书分别排列即可 A33*A22*A55

25、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个。 【解析】

1与2相邻，2与4相邻，那么情况要么是124，要么是421这两种 5月6相邻，那么全部元素变成5种：124，3，56，7，8

因为7、8不能相邻，那么124，3，56这3个元素全排列，A33

对56全排列，A22

然后在124，3，56三个元素的4个空中插入7、8即可，A42 2*A22*A33*A42=288

26、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？【解析】甲乙丙的顺序确定，那么对6个元素全排列后再除去3个元素的全排列即可A66/A33

27、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。 【解析】

女生的顺序确定，那么对7个人全排列后再除去3个元素的全排列即可 A77/A33

28、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？ 【解析】

7个人可以任意坐，直接对人全排列即可 A77

29、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（ ）A．6 B.9 C.11 D.23【解析】元素是1个：0种元素是2个：1种元素是3个：2种元素是4个：9种元素是5个：44种元素是6个：265种…………本题的全排错元素有4个，故为9种 30、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解【解析】正整数就是除去0的自然数1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1211个加号，选取其中的3个加号即可C（11，3） 31、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．A．140种 B．80种 C．70种 D．35种【解析】先从4台甲型电视机中取1台，5台乙型电视机中取2台，C41*C52再从4台甲型电视机中取2台，5台乙型电视机中取1台，C42*C51加起来即可C41*C52+C42*C51=70 32、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。【解析】求和公式记住即可N^2=50^2=2500

33、六人站成一排，求

(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数

(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 【解析】

(1)六个人全排列－（甲在排头+乙在排尾）+甲在排头乙在排尾 A66-2A55+A44

(2)对除了甲乙的其他4个人全排列，A44 4个人有5个空

_ 人 _ 人 _ 人 _ 人 _

甲在第二个空时，乙可以在：1，3，4空 甲在第三个空时，乙可以在：1，2，4空 甲在第四个空时，乙可以在：1，2，3空 甲在第五个空时，乙可以在：1，2，3，4空 所以答案就是：A44*(3+3+3+4)=312

34、某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案有

A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 【解析】 正面法考虑：

一本的情况有：C31=3种 两本的情况有：C32=3种 三本的情况有：C33=1种 3+3+1=7种 反面法考虑：

随便拿的情况：2^3=8种

一本都不拿的情况：C30=1种 8-1=7种

35、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）

A.5^10种 B.10^5种 C.50种 D.以上都不对 【解析】

每个人都可以选择任何一个车站下车，5^10种

36、某高校从8名优秀毕业生中选出5名支援中国西部开发建设，某人必须当选的种数是（） A.35 B.56 C.21 D.36

【解析】

某人必须当选，这个人已经确定了，剩下7个人中选4个即可，C74=35

37、某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，但需进行科学测试才能区分出来，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况共有种数是（ ）

A.24 B.144 C.576 D.720

【解析】

第五个是次品,有4种情况，前面四个里面有3个是次品，因为各不相同，所以4*A43*6=576

38、甲、乙两人参加环保知识竞答，共有8道不同的题目，其中选择题5个，判断题3个，甲、乙二人依次各抽一题，甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是 【解析】 5/8*3/7=15/56

39、用0，1，2，3，4，5六个数码，可以组成无重复数字且被5整除的四位数的个数是（） 【解析】

被五整除，末尾是0或者5 当末尾是0时有：A53=60 当末尾是5时有：4*4*3=48

60+48=108

40、某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一个运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有（）种。 【解析】

10辆车，分配到7个车队，每个车队至少要有1辆车。满足插板法 10辆车，9个空，6块板将其分成7份 C96=84

41、10件新产品中有一等品7件，二等品2件，三等品1件，从中任取3件，一等品、二等品、三等品各一件的概率是（）。 【解析】

（C71*C21*C11）/C（10，3）=7/60

42、某班有12名工人，其中A型血3人，B型血3人，O型血4人，AB型血2人，随意抽取2人去验血，恰有2人是相同血型的概率是（）。 【解析】

（C32+C32+C42+C22）/C（12，2）=13/66

43、从3位老师和8位学生中，选派1位老师和2位学生一起参加某项活动，不同的选派方法的种数是（）。 【解析】

C31*C82=84种

44、有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码.一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码。 (1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法?

(1)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法?

【解析】

(1)总共有20+15+8=43个小球，那么就有43种取法 (2)20*15*8=2400种取法

45、5男5女共10个同学排成一行 (1)女生都排在一起，有几种排法? (2)女生与男生相间，有几种排法?

(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法? (4)5名男生不排在一起，有几种排法?

(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法? 【解析】

(1)5个女生捆绑在一起再加上5个男生，就是6个元素，A66*A55即可 (2) A55*A55*2即可

(3)5个女生6个空，A65*A55即可

(4)全排列－男生排在一起=男生不排在一起，A（10，10）-A66*A55即可 (5)分情况讨论

①甲在第一个位置时：甲 _ _ 乙 _ _ _ _ _ 男

甲乙排列，A22；中间两个女生排列，A52；接下去5个人全排列，A55;最后一个是男生，A31。即A22*A52*A55*A31=A33*A52*A55 ②甲不在第一个位置时：

“甲 _ _ 乙”看成一个元素，首尾有两个男生，即A22*A32*A52*A55 因此答案就是上面的相加即可

46、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法? (1)A、B、C三人必须入选 (2)A、B、C三人不能入选 (3)A、B、C三人只有一人入选 (4)A、B、C三人至少一人入选 (5)A、B、C三人至多二人入选 【解析】

(1)在除了ABC三人以外的其他9人中取2人即可，C92=36 (2)在除了ABC三人以外的其他9人中取5人即可，C95=126

(3)在除了ABC三人以外的其他9人中取4人即可，C31*C94=378 (4)正面法考虑：

三人中有一个的情况：

剩下9人中选取4人，C31*C94=378 三人中有两个的情况：

剩下9人中选取3人，C32*C93=252 三人中都有的情况：C92=36 378+252+36=666 反面法考虑：

除去三个人都没入选的情况：C（12，5）-C95=666

(5)正面法考虑：

没有一个入选的情况：C95=126

只有一个入选的情况：C31*C94=378 只有两个入选的情况：C32*C93=252 126+378+252=756 反面法考虑：

除去三人都入选的情况即可，C（12，5）-C92=756

47、有红、黄、绿三种颜色的卡片，每种颜色均有A、B、C、D、E字母的各一张，现每次取出五张，要求字母各不相同，三种颜色齐备，问有多少种不同的取法? 【解析】

分配方法：113和122 C53*3!=60

C52*C32/2*3!=90 60+90=150

48、将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）种。 【解析】

5封信都有3个选择，3^5

49、同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）种。 【解析】

全排错数列，元素有4个，对应9种

50、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（）种。 【解析】

办公室有5种选择，其他三个地方分别由A53种 答案就是：5*A53=300

51、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有（）种。 【解析】

千位数字为0时，百位取[0，9] 10个 千位数字为1时，百位取[0，9] 10个 千位数字为2时，百位取[0，9] 10个 千位数字为3时，百位取[0，9] 10个 ……

千位数字为9时，百位取[0，9] 10个 因此，共有10*10=100种

52、某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为（）。 【解析】

第一节课不安排体育和语文，那么第一节课有2种选择

第二节课不安排语文，那么第二节课有除去第一节课，剩下2种选择，这时要分类考虑： 第二节课是体育的话：第三节课有2种选择

第二节课不是体育的：第三节课有1种选择（只能上体育） 所以答案就是：2*（2+1）=6

53、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。 ①恰有两个空盒的放法有（）种；

②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有（）种 【解析】

① 分配方法有：0013和0022这两种，根据从左往右法：（C43+C42/A22）*A42=84

② 甲在第2号盒子的时候，乙可以在1、2、3号盒子，丙丁可以在1，2，3，4号盒子，所以有3*4*4=48种 甲在甲在第3号盒子的时候，乙可以在1、2、3号盒子，丙丁可以在1，2，3，4号盒子，所以有3*4*4=48种 因此答案为：48*2=96

54、设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（）种。 【解析】 全排错问题

至少有两个杯盖和茶杯的编号相同，分类

两个都相同，那么三个都不同：C53*2=20 三个都相同，那么两个都不同：C52*1=10 四个都相同，那么一个都不同：C51*0=0 五个都相同，那么没有都不同：1 20+10+1=31种

55、某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为（）。 【解析】

捆绑法、插空法的综合运用

连着命中的3枪和单独命中的1枪不能“相遇”，看成2份 因此在剩下没命中的4枪里，出现5个空，C52 然后对2份全排列即可，A22 答案就是：C52*A22=20

56、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数有（）种。 【解析】 正面考虑：

分配的情况是：1，1，2，2

出现两个连号的情况我们分类讨论： 12在一起：34，45，56 3种 23在一起：45，56 2种 34在一起：56 1种 3+2+1=6种

在4个人中选取两个人去拿2张票的情况，A42=12 再对拿两张票的人全排列，A22 因此答案就是：6*A42*A22=144种 反面考虑：

6张票分给4个人，利用插板法：C53*A44

分配的情况有：1，1，2，2和1，1，1，3这两种情况 因此只需要减去1，1，1，3这种情况即可

票出现3个连号的情况：123，234，345，456这4种，4*A44 因此：C53*A44-4*A44=144

57、某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有（）种。 【解析】 分类讨论：

没甲时，在剩下的4种里面取2种：A42=12种

有甲时，在除了乙以外的其他3种里选取2种：C32=3种 12+3=15种

58、某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有（）种。 【解析】

平均分配，那么甲乙各有4人

英语翻译人员：1，1 A22 电脑编程人员：1，2 A32 其他三个人员：2，1 C32

所以答案就是：A22*A32*C32=36

59、9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有（）种。 【解析】

总共有9个人，有6个懂英语、4个懂日语，那么9个人中有1个既懂英语又懂日语，即5人懂英语，3人懂日语，1人两样全懂。 正面法考虑：

全懂的去做英语翻译：C52*C32=30 全懂的去做日语翻译：C53*C31=30 全懂的没有参加：C53*C32=30 30+30+30=90 反面法考虑：

全部的情况－全懂的既做英语翻译又做日语翻译：C63*C42－C52*C31=120-30=90

60、从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有（）种。 【解析】 正面法考虑：

有2名女同学的情况：C52*C73=350 有3名女同学的情况：C53*C72=210 有4名女同学的情况：C54*C71=35 有5名女同学的情况：C55*C70=1 350+210+35+1=596 反面法考虑：

所有的情况－（没有女同学+有1名女同学的情况）即可 C（12，5）－（C50*C75+C51*C74）=596

61、4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有（）种。 【解析】

医生的分配：1，1，1，1 即全排列即可，A44

护士的分配：1，1，1，3和1，1，2，2 即（C63+C62*C42/A22）*A44 相乘得到：A44*（C63+C62*C42/A22）*A44=37440

62、10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢?

【解析】

①满足插板法的三个条件，C92=36 ②苹果转换法即可，C62=15

63、从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60

【解析】

先从6双中取出一双，C61 再从5双中取出2双，C52

然后取出的2双分别有2只，区分左右手，即2^2 因此答案就是：C61*C52*2^2=240

64、清明节三天假期，公司售后服务部要求必须每天有三人值班，而且每天必须有两名男职员，安排服务部的4男3女值班的方法有多少种？（） 【解析】

总共安排的总数有：C42*C31+C43*C30=18+4=22种 现在有3天，那么总的情况就是：22^3种

65、某单位今年新进了3个工作人员，可以分到3个不同的部门，但是每个部门最多只能接收两个人，问，共有几种不同的分配方案？ 【解析】

分配方式：0，1，2和1，1，1 根据从右往左法直接列式： （C32+1）*A33=24

66、5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? 【解析】

男生顺序已经确定，所以在全排列的基础上去掉男生全排列即可 A99/A55=A94

67、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？（08国考）

A.20 B.12 C.6 D.4

【解析】

插孔法：4*5=20

68、厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑选出3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴

A.131204 B.132132 C.130468 D.133456

【解析】

分别选取即可，根据乘法原理 C（12，2）*C（13，3）*7

69、有6个不同的徽章分给4个人有几种分法？有6个相同的徽章分给4个人有几种分法？ 【解析】 ①4^6

②插板法：C（9，3）

70、10个人坐成一个圆圈，问不同坐法有多少种？ 【解析】

十个人全排列：A（10，10）

因为ABCDEFGHIJ和BCDEFGHIJA等十个相同，故A（10，10）/10=A（9，9）即可

71、用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。 【解析】

对9个数字全排列，A（9，9），因为1不在2前面就在2后面 故答案为：A（9，9）/2

72、7个人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有多少排法。 【解析】

去掉甲乙丙三个人以外，剩下4个人，5个空 把甲乙丙按照一定顺序放进5个空中，C53 所以排法数就是：C53*A44

73、一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座，每人左、右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有几种 【解析】

甲乙丙顺序已定，剩下6个人中间有5个空，C53 乙丙全排列A22 答案就是：C53*A22

74、将9个学生分配到甲乙丙三个宿舍，每宿舍至多四人（床铺不分次序），则不同的分配方法有几种？ 【解析】

分配方法：1，4，4 2，3，4 3，3，3 根据从右往左法得到：

（C94*C54+C94*C53+C93*C63/A33）*A33

75、将 \" 一寸光阴一寸金 \" 全取重新排列，问 ①一任意排列有几种排法?

②二同字不相邻，则有几种排法?

【解析】

①：全排列，去掉“一”、“寸”各自排列即可，A77/A22/A22 ②：任意排列－“一”、“寸”分别相邻+“一”、“寸”都相邻 A77/A22/A22-2*A66/A22+A55

76、甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛等八人排成一列，若甲、乙不排首位，丙、丁不排末位，则有几种排法？ 【解析】

全排列－甲（或乙）在首位－丙（或丁）在末尾+甲（或乙）在首位、丙（或丁）在末尾 即：A88-4*A77+4*A66

77、设有相同的白球6个，红球7个，黑球8个，从中任取4个球 ①取法有几种？

②又排成一列有几种方法？ 【解析】 ①：分类讨论

一种颜色：3种

两种颜色：3*3=9种 三种颜色：3种

所以总共有：3+9+3=15种

或者，红白黑三种颜色的小球都大于4个，所以整个为一个重复组合 即H（4，3）=C（4，3+4-1）=C（4，6）=15种

②：因为每个位置上可以有3种选择，所以是3*3*3*3=3^4=81种

78、设x+y+z+u=12 ，求 ①正整数解有几组？ ②非负整数解有几组？ ③正奇数解有几组？

④x＞2，y＞3，z≥-4，u≥-5，之整数解有几组？ 【解析】

①：正整数解，则x、y、z、u都≥1，满足至少一个的情况，用插板法即可 C（11，3）

②非负整数解，则x、y、z、u都≥0，原式子化成（x+1）+（y+1）+（z+1）+（u+1）=16，这样满足插板法，C（15，3） ③：正奇数解，则（x+1）/2、（y+1）/2、（z+1）/2、（u+1）/2都是正整数解，原式子化成x+1）/2+（y+1）/2+（z+1）/2+（u+1）/2=8，满足插板法 C（7，3）

④：x＞2，y＞3，z≥-4，u≥-5，则x-2＞0，y-3＞0，z+5≥1，u+6≥1 原式子化成（x-2）+（y-3）+（z+5）+（u+6）=18，满足插板法 C（17，3）

79、四对夫妻参加一个舞会，试就下列情况求各有几种方法？ ①男女任意配对。

②有两位先生不以其妻为舞伴。 ③有三位先生不以其妻为舞伴。 ④位先生均不以其妻为舞伴。 【解析】

①：对男的全排列（或者对女的全排列即可），A44=24 ②：有两位先生不以其妻为舞伴，所以C42*1=6 ③：有三位先生不以其妻为舞伴，所以C43*2=8 ④：四位先生均不以其妻为舞伴，所以C44*9=9

80、爸爸、妈妈、哥哥与妹妹4人参加喜宴，与其他客人坐满一桌12个坐位。 ①若桌子为圆桌，且此12人任意围圆而坐，则有几种不同的坐法?

②若桌子为圆桌，而爸爸、妈妈、哥哥与妹妹4人坐位相邻且哥哥、妹妹夹坐于爸爸、妈妈中间，则有几种不同的坐法? ③若桌子为长桌，长边坐4人，短边坐2人，此12人任意围坐，有几种不同的坐法呢?

【解析】 ①：（12-1）！=11！

②：四个人捆绑成一个元素，剩下8个人，合起来就是9个元素，（9-1）！=8！，然后再对爸爸妈妈以及哥哥妹妹全排列即可，8！*2！*2！

③：将12人排成直线就是12！，然后因为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12和7，8，9，10，11，12，1，2，3，4，5，6是相同的，所以答案为：12！/2

81、设x+y+z＜12 ，求 ①正整数解有几组？ ②非负整数解有几组？ 【解析】 和78题类似 ①：C（11，2） ②：C（14，2）

82、设有四支相同的笔，分给甲、乙、丙、丁、戊、己，等六人， ①任意分有几种分法？

②甲至多一枝有几种分法？ ③每人至多一枝有几种分法？ 【解析】

①：“苹果转换法”，假设六个人已经没人都有一支相同的笔，那么笔的总数变成10支，10支笔9个空，找5块板将其分给6个人即可，C（9，5） ②：分类讨论

甲一支都没有时：同①，C（8，4） 甲只有一支笔时：同①，C（7，4） 答案加起来即可

③：分配方式为：0，0，1，1，1，1，就是6个人选4个人去拿苹果，C64

83、甲、乙、丙等9人，任选5人围圆桌而坐，其余4人围方桌而坐，而且甲、乙不能同桌，会有几种不同的坐法呢? 【解析】

“全排列”－“甲乙在一桌即可”

A（9，5）/5*A（4，4）/4－A（7，4）/4*A（5，5）/5-A（7，5）/5*A（4，4）/4=A94*A33-A73*A44-A74*A33

84、有不同色之珠子 10 颗，取六颗串成一项链，并从剩下的珠子里面取一颗放于环心，求其方法数。 【解析】

10颗里面取6颗，A（10，6） 再从剩下的4颗里面选1颗，C41 因为项链可以翻转，所以要*1/2

然后排列即可，答案为：A（10，6）/6*C41*1/2

85、设有七支相同的笔，分给甲乙丙三人，求 ①任意分有几种分法？

②甲至少一支有几种分法？ ③每人至少一支有几种分法？

④甲至少一支，乙至少二支有几种分法？ 【解析】 ①：C92 ②：C82 ③：C62 ④：C62

86、有一正三角柱，即顶面与底面为两全等正三角形，侧面为三全等矩形。 今欲从7种颜色中选取5种涂于此柱，各面异色，可得（ ）种不同的正三角柱。

【解析】

对取出的5种颜色全排列，因为旋转后侧面有3种相同，底面有2种相同，所以再/2*3=6即可，A75/2*3

87、一平面上有12点，其中有5点共线，其余任意三点不共线，问： ①这些点可以连成多少条直线? ②几个三角形? 【解析】 ①：逆向思维 2点确定一条直线

12个点可以有C（12，2）条直线 5个点可以有C（5，2）条直线

C（12，2）－C（5，2）+1 （+1是5个点共线的情况） ②：逆向思维

3点确定一个三角形

C（12，3）－C（5，3）

88、将18本不同的写真集，依

①6本、6本、6本分成三堆之方法有几种？ ②5本、5本、8本分成三堆之方法有几种？ ③5本、6本、7本分成三堆之方法有几种？ 【解析】

①：分配方法是6，6，6 C（18，6）*C（12，6）/A33 ②：分配方法是5，5，8 C（18，8）*C（10，5）/A22 ③：分配方法是5，6，7 C（18，7）*C（11，6）

89、从1到20的自然数中，选出相异三数，求下列组合数各为多少: ①三数中的最大数大于10?

②三数中的最大数大于17且最小数小于3? 【解析】

①：任意取3个数，C（20，3）

再选取都小于10的情况，C（10，3） 所以是C（20，3）-C（10，3） ②：分类讨论

最小数在[1，2]时，其他两个在[18，20]，有2×3=6种 最小和第二小数在[1，2]时，最大数在[18，20]，有1×3=3种 最小数在[1，2]，中间数在[3，17]，最大数在[18，20]时，2×15×3=90种 所以答案就是：6+3+90=99种

90、假设某餐厅备有肉4种，鱼3种，蔬菜5种，有位客人预计各点一种肉、鱼、和蔬菜，问他可有几种点菜的方法？ 【解析】

4种肉中选1种，C41 3种鱼中选1种，C31 5种蔬菜选1种，C51

答案就是：C41*C31*C51=60

91、一兔穴有进出口4处，问由不同进出口进出的方法有几种？

【解析】

入口有4种选择，出口有3种选择 4×3=12种

92、某商店贩卖 5 家厂商出品的牙膏，而每一家厂商出品的牙膏都有3种大小不同的包装，又每种包装均分含有氟化物及不含氟化物的2种，今某人欲在此商店选购一支牙膏，问方法有几种？ 【解析】

乘法原则：5×3×2=30种

93、由 1,2,3,4,5,6,7,8,9 九个数字所构成的三位数有多少个? 其中数字可以重复出现。 【解析】

三位数，每个位有9种选择，9^3=729

94、将5个不同的球放入4个不同盒子中，每个盒子装球的数量不限，试问共有几种放法? 【解析】

每个小球有4种选择，4^5

95、某地共有6家饭店，今有3人欲投宿至此地之饭店，试问共有几种投宿法? 【解析】

每个人有6种选择，6^3

96、有5件奖品要分给7个人，每人可拿超过一件，试问共有几种方法? 【解析】

每件奖品有7种选择，7^5

97、将4种酒倒入3个不同的酒杯，每杯都要倒酒，且只能倒一种酒，试问共有几种倒法? 【解析】

3个酒杯都有4种选择，4^3

98、将3颗不同的珠子(红、黄、蓝)，作成一条手鍊，可作成几条不同的手鍊呢？ 【解析】 2！/2=1

99、有10颗不同的珠子

①全部串成一条项鍊，有多少种不同的串法?

②取出 6 颗串成一条项鍊，有多少种不同的串法? 【解析】 ①：9！，然后因为项链可以翻转，所以再*1/2即可，9！/2 ②：A（10，6）/6，同上，A（10，6）/6/2

100、用9粒不同色钻石，取5粒做项鍊，问有多少种不同的串法? 【解析】

A（9，5）/5/2

101、有红、黄、蓝等20颗不同色的珠子，串成一个项鍊，若红、黄、蓝三色相邻，可串成几种不同的项鍊?

【解析】

红、黄、蓝捆绑成一个元素，剩下17颗珠子，所以共有18个元素

所以对（18-1=17）全排列，再对红黄蓝全排列，最后因为翻转再*1/2即可 17！×3！/2

102、有四种不同顏色的珠子，每种顏色均有大小各一，共8颗串成一串珠鍊， 大小相隔且同色相邻，则可串成几种不同的珠鍊？ 【解析】

同色捆绑，捆成4捆，3！/2，再对同色排列即可 3！×2！/2

103、有10颗不同的珠子，取出其中 6 颗作一项圈，再取出另一颗放在项圈中心，若项圈可翻转，试问共有多少种不同的做法? 【解析】

A（10，6）/6×4/2

104、若要从 A,B,C,D,E 五个人之中不考虑次序选出三个人作為一组，参加三对三篮球赛， 将会有多少种选法?【解析】 C53=10

105、从6个男生，5 个女生当中选出五人组成一个委员会，但规定男女生至少各有2人，问有多少种选法? 【解析】

C62*C53+C63*C52

106、从6个男生，5个女生当中选出五人组成一个委员会，但规定最少要有一名女生委员，问有几种不同的选法? 【解析】

C（11，5）－C（6，5）

107、一副扑克牌共有 52 张，自一副扑克牌中任取5张，试求下列的情形各有几种: ①Full-house ( 5 张之中有 2 张同点数，另外 3 张亦同点数) ②Two-pairs(即点数如 (x,x,y,y,z) 的形式,但 x,y,z 是不同点数) ③同花顺

④同花(不含同花顺) 【解析】

①：A（13，2）×C42×C43 ②：A（13，3）×C42×C42×C41 ③：4×10 ④：4×[C（13，5）－10）]

108、自一副扑克牌中任取 13 张，试求13张牌中至少有一张黑桃的情况有几种? 【解析】

52张牌中选13张，C（53，13）

在没有黑桃的39张中选13张，C（39，13） 答案就是：C（53，13）－C（39，13）

109、右图是由三组平行线构成，试问： ①图中共有﹍﹍﹍个三角形

②图中共有﹍﹍﹍个平行四边形

③图中共有﹍﹍﹍个梯形（平行四边形不视為梯形） 【解析】

①：三边确定一个三角形，2×3×4=24 ②：四边确定一个三角形，C22×C32+C22×C42+C32×C42=27 ③：C22×C31×C41+C32×C21×C41+C42×C21×C31=72

110、试问下图中有多少矩形? 从左上角走到右下角，每次走一段，请问最捷径的方法有多少种？ 【解析】 1、C72×C62

2、向下走5段，向左走6段，总共需要走11段，C（11，5）种

111、同花色的13张扑克牌中，若把J,Q,K,A等四张表示的牌称為大牌，试求自此13张牌中任意抽出3张，其中恰含有二张大牌的组合数? 【解析】 C42×C91=54

112、有8位旅客搭乘一列掛有4节车厢的火车，试求： ①第一节车厢恰有2位旅客之坐法有几种? ②每节车厢皆有其中2位旅客之坐法有几种? 【解析】

①：8个旅客选2个进第一节车厢，C82

剩下6个人任意坐，每个人有3种选择，3^6 答案就是：C82×3^6

②：分配情况是：2，2，2，2 C82×C62×C42

113、从1到50之正整数中任意取出3个， ①若其和為3之倍数的共有几种？

②若三数相乘，其积為3之倍数的共有几种？ 【解析】

①：50/3=16……2

所以有17个除以3余1的数，17个除以3余2的数，16个除以3余0的数 三个数之和是3的倍数，组合的情况是：000、111、222、012这4种 000时：C（16，3） 111时：C（17，3） 222时：C（17，3） 012时：16×17×17

加起来就是答案：C（16，3）+ C（17，3）+ C（17，3）+16×17×17 ②：分类讨论

1张除以3余0的时候：13×C（34，2） 2张除以3余0的时候：C（13，2）×C（34，1） 3张除以3余0的时候：C（13，3）

114、如下图之街道图，某人欲从 A 走捷径至 B 但不经过 C，试问共有几种走法? 【解析】

A到B任意走的情况：（7+4）！/7！/4！=C（11，4） 经过C的情况：（3+1）！/3！×（4+3）！/3！/4！=C（4，3）×C（7，3） 减一下就是答案：C（11，4）－C（4，3）×C（7，3）=330－140=190

115、三个 \"1\"，二个 \"3\"，一个 \"0\" 及一个 \"8\"，共七个数字排成一列，试问可排成几个不同的7位数? 【解析】

任意排列：7！/3！/2！=420 0在首位：6！/3！/2！=60 420-60=360个

116、甲、乙、丙、丁、戊、己为三男三女，围一圆桌而坐，则男女相隔的坐法有几种? 【解析】

3个男生全排列：3！ 3个男生中间有3个空

3个女生放进去全排列：3！/3=2！ 所以是：3！×2！=12种

117、五对夫妇围一圆桌而坐，男女相间之坐法有几种? 【解析】

5个男士全排列：5！ 5个男士中间有5个空

5个女士放进去全排列：5！/5=4！ 所以是：5！×4！

118、甲、乙、丙、丁、戊、己6人围圆而坐，若甲乙两人相邻而坐，其坐法有几种? 【解析】

甲乙捆绑成一个元素，算上剩下的4个人，共有5个元素，5！/5=4！ 甲乙全排列：2！ 所以答案是：4!×2!

119、乙、丙、丁、戊、己6人围圆而坐，若甲、乙、丙三人相邻而坐，其坐法有几种？ 【解析】

甲乙丙捆绑，剩下3个人，组成4个元素：4!/4=3！ 然后对甲乙丙全排列：3！ 答案就是：3！×3！

120、甲、乙、丙三人一起去吃饭，他们挑了一正方桌而坐，每边至多坐一人，请想想他们三人会有几种不同的坐法呢？ 【解析】

将3个人和1个空位看成4个元素，4！ 方桌有4边，所以答案为：4！/4=3！

121、用六种颜色涂一正四面体，使其每面颜色均不同之方法数為何？ 【解析】

六种颜色涂四个面：A（6，4）

正四面体旋转有3种，然后有4个相同的面 所以答案为：A（6，4）/3/4=30种

122、用6种颜料涂一正方体之每边，且各面须异色，则可涂出若干种不同色彩之正方体? 【解析】

六种颜色涂六个面：6！

正方体翻转数有6，旋转数有4 所以答案为：6！/6/4=30种

123、若由10种颜料来涂此正方体，情形又如何? 【解析】

10种颜料涂六个面：A（10，6） 正方体翻转数有6，旋转数有4

所以答案为：A（10，6）/6/4=6300种

124、有一正三角柱，即顶面与底面为两全等正三角形，侧面为三全等矩形。 今有7种颜色，涂于此柱，各面异色，可得多少种不同正三角柱。 【解析】

7种颜色涂5个面：A（7，5） 正三角柱旋转数有3，翻转数有2 所以答案为：A（7，5）/3/2=420种

125、有一圆柱，今有 10 种颜色，涂于此圆柱上，各面异色，可得几种不同的圆柱? 【解析】

10种颜色涂3个面：A（10，3） 圆柱体旋转数为1，翻转数为2

所以答案为：A（10，3）/1/2=360种

126、用5种不同的颜色涂抹一直圆锥，规定每面仅涂一色， 而且相邻两面不能涂同色，则其涂法有几种 ? 【解析】

5种颜色涂2个面：A（5，2） 圆锥旋转数有1，翻转数有1

所以答案为：A（5，2）/1/1=20种

127、5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种. 【解析】

分配方法：1，1，1，2 C52*A44=240

128、六个人站一排

(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 【解析】

A66-2A55+A44=504

(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 【解析】

甲在第二个位置，乙可以在第四、五的位置 甲在第三个位置，乙可以在第一、五的位置 甲在第四个位置，乙可以在第一、二的位置 甲在第五个位置，乙可以在第一二三的位置

甲在第六个位置，乙可以在第一二三四位置 所以总的情况是：A44*（2+2+2+3+4）=312

129、从0，1，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数? 【解析】

出现0时，C41*C53=40，40*4*3*2=3840 没出现0，C42*C53=60，60*5*4*3*2=7200 3840+7200=11040种

130、电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法? 【解析】

分配方法：1，1，2，3 C73*C42*A（10，4）

131、某班的10人中恰有班干部和团干部各5名： （1）班干部不全排在一起； 【解析】 10！-5！*6！

（2）任何两名团干部都不相邻； 【解析】 5！*A65

（3）班干部和团干部相间排列。 【解析】 5！*5！*2

排列组合问题解析

2008年12月25日 星期四 09:36 P.M.

排列组合应用问题，题型繁多，解法独特，但经仔细分析研究，还是有一定规律可循。关键是掌握两个计数原理及排列组合的定义，了解一些基本题型及其解法，掌握基本的一些分析问题的方法。 一、基本题型及其解法 （1）纯排列问题

“从几个不同元素中取出m个元素的排列”是最简单的纯排列问题，但是它有三种题型变化，下面分别用例题予以说明。 例1 现有九位同学排成一行，试问：

①如果其中甲、乙两位同学必须排在两端，那么一共有多少种排法？ ②如果甲不能排在最左端，乙不能排在最右端，那么一共有多少种排法？

本例是属于“某些元素‘在’或‘不在’某几个位置上”的一种排列题型。“在”，一般用直接法解，即先取出这几个元素并让它们落在指定的位置上，然后再考虑其它元素；“不在”，一般用间接法，转化为“在”来求解。 例2 现有五位男同学，四位女同学排成一行，试问：

① 如果男女同学各自排在一起，那么一共有多少种排法？ ② 如果男女同学相间地排，那么一共有多少种排法？

本例是属于“某些元素‘相邻’或‘不相邻’的一种排列题型。“相邻”则将这要求“相邻”的m个元素捆绑起来看成一个整体（一个大元素）与另外（n-m）个元素进行全排列，再乘以这m个元素自身的全排列数即 种排法；“不相邻”，一般用插空法来解，即先将另外p(P≥m-1)个元素排好，留出（p+1）个空挡，再让这不能相邻的m个元素插进去，共有排法 （种）。

例3 现有五位男同学，四位女同学排成一行，试问：

① 如果其中甲、乙、丙三人次序一定，那么一共有多少种排法？

② 如果男同学次序一定，女同学次序也一定，那么一共有多少种排法？ 本例是属于“某几个元素“次序一定”的一种排列题型。它的解法是先将n(n>m)个元素全排列有 种，就其中m个元素而言有 种排法，但由于要求这m个元素次序一定，因此只能取 中的某一种排法，故共有排法 / 种，即顺序固定问题用除法。

（2）纯组合问题

“从几个不同元素中取出m个元素的组合”是最简单的纯组合问题，但是它有两种题型变化，下面分别用例题予以说明。 例4 现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中： ① 男甲、女A都必须当选，有几种选法？

② 男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？

本例是属于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一种组合题型。“含”则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从留下的元素中去取。

例5 现从五位男同学，四位女同学中选出5名代表，试问其中： ① 至少有一个女同学当选，有几种选法？ ② 最多有三个女同学当选，有几种选法？

本例是属于“‘至少’或‘最多’含有几个元素”的一种组合题型。用分类法或排杂法解都可以，但是解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，要保证分类合理，排杂准确，谨防漏解与重复。 （3）排列组合混合题

这类问题有两群之间的排列题和分配（分组）问题两类题型。

例6 ①用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数中，由两个偶数数字和三个奇数数字组成的有多少个？

②从n个不同元素里取出的m个元素的排列中，试问其中含有a1,a2,„„，ap(n>m>p)这p个元素且这p个元素排在一起的排列有多少种？

本例是典型的“两群之间的排列问题”，它的解法是根据公式 得来的，即从n个元素中取出m个元素的排列，可以分成两步来完成：取出( )—排好（ ）。

例7 、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ ① 平均分给甲、乙、丙三人。

② 甲得一本，乙得两本，丙得三本。

③ 一人得一本，一人得两本，一人得三本。 ④ 平均分成三堆（组）。

⑤ 一堆一本，一堆两本，一堆三本。

本例的①、②、③是属于“分配问题”，它有两种情况：一种是平均分配或者按某一种确定的分配方案分配（如②），那么只要一个一个地按要求去取，然后再将这些组合数乘起来即得；另一种是分配方案不确定的（如③），那么还要乘以分配人数的全排列数。

本例的④、⑤是属于“分堆（组）”问题，它有两种情况：一是平均分组，如有kn不同元素平均分成k组，那么分法有 种。另一种不是平均分组，那么其解法与分配问题的前一种情况相同。 二、解排列组合应用问题的一些分析方法

对于解比较复杂的排列组合应用题，往往比较困难，会有无从下手的感觉。为了提高分析问题和解决问题的能力，这里根据问题的不同特点，介绍五种分析方法。 （一）特征分析法

例8 从1，2，3，„„，100这一百个数中，任取两个不同的数相乘，其中积能被5整除的有多少个？能被5整除但不能被5n(n≥2,n∈N)整除的有多少个？ 解：两数中只要有一个是5的倍数，那么它们的积就能被5整除，而1到100中共有20个5的倍数的数，故共有取法 种；能被5整除而不能被5n(n≥2,n∈N)整除，那就是说这20个5的倍数的数中，不能取两个相乘；同时还不能取这20个数中本已含有52因数的数25，50，75，100，因此符合题意的积共有 (种）

例9 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的五位数，试问其中能被3整除的有多少？

分析：能被3整除的数的特征是各位数字之和是3的倍数，由1+2+3+4+5+6+7=28，又组成的是五位数，因此应从28中减去两个数字使其差为3的倍数，再由大到小依次考虑，便得到下面四种情况： 解①28-1-2=24，由2，4，5，6，7五个数字，可组成 个五位数。

②28-1-6=21或28-2-5=21或28-3-4=21，一共可组成 个五位数。 ③28-3-7=18或28-4-6=18可组成 个五位数。 ④28-6-7=15可组成 个五位数。

根据分类计数原理：可得能被3整除的五位数共有 =840（个）。

上面两例是抓住了能被5整除与能被3整除的数的特征，再进行有条理有次序（特别是例2）的分析而得出解答的。因此在解应用题时，必须十分注意题意的内含特征以及解题的条理性。 （二）排阵分析法

例10 从1到9这九个自然数中，每次取出不同的两个分别作为对数的底数与真数，问一共可以得到多少个不同的对数值？

分析：由于底数不能取1，因此底数可以从2到9这八个数字中任取一个；真数可以从留下的八个数字中任取一个，故有 个对数。但本题是问“有几个不同的对数值？”，显然 是相同的，只能算一个。那么另外有没有相同的对数值呢？那就要费一番周折了，而且一个一个地找很容易造成遗漏，再考虑到底数取法只有八种情况，当取某一值为底时，真数依次排上的次序性很强（如 等等），而且在排时若遇相同的值立即舍去，“重复取”的情况也就避免了，因此还是直接排出要方便些，可靠些。分别以2，3，4，„„，9为底直接排出，可得共有53个不同的对数值

例11 现在将准备从七个学校选出12人组成区篮球队，要求每校至少有一人参加，向各校分配到的队员人数，可能有几种不同情况？

解：由于每校至少要有一人参加，因此这一个名额不妨先分配下去，还余下五个名额，因为没有其他的分配要求，因此这5个名额分配时，可能有如下六种情况。

（注：记号“11111”表示将5个名额分成5个“1”，分配到七个学校中去，每校1人，其余类推）

①分成“11111”有 种分配法。 ②分成“2111”有 种分配法。 ③分成“221”有 种分配法。 ④分成“311”有 种分配法。 ⑤分成“23”有 种分配法。 ⑥分成“41”有 种分配法。 ⑦分成“5”有 种分配法。 因此共有 种分配法。

通过上述两例的分析，可以看出“排阵分析法”主要有三个优点：①解题方法直观，易被接受；②条理性强，便于思考分析；③取舍明确，可避免漏解或重复。 （三）元素、位置分析法

例12 3封不同的信，投入4个不同的信箱，共有多少种不同的投信方法？ 解法一：元素分析法（以信为主）

第一封信有四种不同的投法，不论把它投入哪一个信箱里，第二封信还有四种投法，同理第三封信也有四种投法，根据分步计数原理，故共有投法4x4x4=64（种） 解法二：位置分析法（以信箱为主）

四个信箱中某一个信箱收到3封信的有 ；四个信箱中某一个信箱收到2封信的有 ；四个信箱中某三个信箱各收到1封信的，收信方法有 。因此收信方法 （种）

元素分析法（即以元素为主考虑各种可能性）与位置分析法（即以位置为主考虑多种可能性）是解排列组合应用题的两种常用方法，它的优点是研究对象清楚单一易于分析各种情况。

例13 三位教师分配到六个班里，各人数不同的班级，若每人都教两个班，有几种分配方法？ 解法一（以教师为主）

这是一个分配问题，第一位教师可从六个班中选二个有 ，第二位教师可从四个班中选二个有 ，第三位教师教余下的二班有 ，因此共有 种不同的分法。 解法二（以班级为主）

将六个班分成三组，每组两个班，共有 分组法，再将每种方法中的三组分配给三位教师有 种，因此共有 种方法。 （四）图形分析法

例14 用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，试问能组成多少个大于401325的自然数？

解：大于401325的数，必须是六位数；当最高位数字为5时，形如5xxxxx的数一定大于401325有 个；再看最高位是4时，形如下面的数也必须大于401325：

①41xxxx；42xxxx；43xxxx；45xxxx。共有 个。 ②402xxx；403xxx;405xxx共有 个。 ③4015xx共有 个。 ④401352共有1个。

综上得大于401325的自然数共有 个。

例15 一直线和圆相离，这条直线上有六个点，圆上有四个点，通过其中任意两点作直线，试问： ①最多可作几条直线？②最少可作几条直线？

解：①显然除了A1、A2、A3,„„A6 这六点共线外，其余无三点共线时，那以任取其中两点作直线必最多，共有 （条）

如图，由于B1,B2,B3,B4 在圆上，故四点

中任意三点均不共线，因此当过B1,B2,B3,B4 中任意两点的直线（共有 条）正好分

别通过A1、A2、A3,„„A6 这六个点时，则直线条数最少，共有 （条）。（如图B2 B4 A1 三点，原来过其中任意两点可作三条直线，而现在只能作一条，减少了两条）

从上两例可以看出，有时结合图形来分析比较直观，易于发现规律。 （五）减元分析法

例16 我们把元素和它的排列完全相同的行列式看成是相同的，否则就是不同的，用三个“1”和六个“0”作三阶行列式，试问能作成多少个不同的行列式？

分析：本题情况比较复杂，因此不妨先减元来分析一下，如两个“1”与两个“0”，作成二阶行列式有：

在排的过程中发现，当两个“1”排好位置以后，那两个“0”只能进入留下的空挡，因此实际上只要排好两个“1”的位置即可，而四个空挡中排两个“1”的方法共有 种，这与实际排出也是一致的，由此减元分析可得原题三阶行列式的个数是 个。

例17 ①将四个“十”号，六个“一”号排成“一十一一十十一十一一”时，符号改变了几次？ ②将八个“十”号，六个“一”号排成一列时使符号改变5次的排法共有多少种？ 解：①从左往右依次点算，可得符号共改变了6次。 ②通过对①的仔细观察分析可以发现：

（a）“十”号旁边排上一个或几个“一”号将使符号改变（“一”号旁边排上“十”号也同样） （b）两个“十”号之间插入一个或几个“一”号，将使符号改变2次。

（c）最左端那一个“十”号的左边加上一个或几个“一”号，使符号改变一次（最右端那个“十”号的右边加上一个或几个“一”号也同样）

由上述三点发现，再考虑到符号改变5次的要求，我们不妨先让八个“十”号排成一列，留出首尾空位和中间七个空挡，只要在中间的七个空挡中取出两个，各插入一个或几个“一”号，使符号改变4次；再在首或尾空位中放上留下的一个或几个“一”号使符号改变1次，那么问题的要求就满足了。 具体计算过程从略，符号改变5次的排法，共有 （种）

减元分析法是用在一时看不出眉目，或无从下手的排列组合应用题。这时不妨先减元排出，然后仔细观察，分析归纳，找出解题规律。

********************************************************** 试题

将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为 30

．考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：计算题；反证法．

分析：首先分析题目4个老师分到3个学校，每个学校至少分到一人，求甲乙两名老师不能分配到同一个学校的种数，考虑到应用反面的思想求解，先求出甲乙在一个学校的种数，然后用总的种数减去甲乙在一个学校的种数，即可得到答案．

解答：解：考虑用反证法，因为甲、乙两名老师分配到同一个学校有3×2=6种排法； 将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有C42•A33=36中排法； 故有甲、乙两名老师不能分配到同一个学校有36-6=30种排法； 故答案为30．

点评：此题主要考查排列组合及简单的计数原理的问题，其中涉及到用反面思想求解的方法，排列组合的问题在高考中多次出现属于重点考点，需要同学们掌握．

排列组合问题的类型及解答策略 学法指导

排列组合问题，联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。本文介绍十二类典型排列组合问题的解答策略，供参考。 一、相邻问题捆绑法

例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种 A. 720 B. 360 C. 240 D. 120

解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有 种排法；甲、乙两人之间有 种排法。由分步计数原理可知，共有 =240种不同排法，选C。

评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。

二、相离问题插空法

例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）

解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为 种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有 种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 种。

评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。 三、定序问题缩倍法

例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。

解：5面旗全排列有 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是 =10（种）。

评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。

四、标号排位问题分步法

例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）

A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种