抽象函数性质

抽象函数性质综述

抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质得代数表述,综合考查学生对于数学符号语言得理解与接受能力,考查对于函数性质得代数推理与论证能力,考查学生对于一般与特殊关系得认识.

函数得周期性、对称性一般与抽象函数结合,综合函数得其它性质一起考查。

函数得周期性要紧扣周期函数得定义.要注意,函数得周期性只涉及到一个函数、

函数得对称性比较复杂,要分清就是一个函数得对称性,还就是两个函数得对称性;分清就是轴对称还就是中心对称.

一、基本定义

1、定义1:(周期函数)对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域得每一个值时,都有,那么,函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数得周期。

2、定义2:(同一函数图象得对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点仍在函数得图象上,则称函数得图象关于点(或直线)对称、

3、定义3:(两个函数图象得对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点在函数得图象上;反过来,函数图象上任一点关于点(或直线)得对称点也在函数得图象上,则称函数与得图象关于点(或直线)对称.

二、关于周期性、对称性得几个基本结论及证明

１、若函数得定义域为,且恒成立,则函数就是以为周期得周期函数;

２、若函数得定义域为,且恒成立,则函数得图象关于直线对称;

3、若函数得定义域为,且恒成立,则函数得图象关于点对称;

4、若函数得定义域为,且恒成立,则函数就是以为周期得周期函数;

5、若函数得定义域为,则函数与得图象关于直线对称;

６、若函数得定义域为,则函数与得图象关于点对称。

略证:1、,函数就是以为周期得周期函数.

2、函数图象上得任一点(满足)关于直线得对称点为,

点仍在函数得图象上,从而函数得图象关于直线对称、

３、函数图象上得任一点(满足)关于点得对称点为,

点仍在函数得图象上,从而函数得图象关于点对称、

４、

,函数就是以为周期得周期函数、

５、函数图象上得任一点(满足)关于直线得对称点为,

点在函数得图象上;反之函数得图象上任一点关于直线得对称点也在函数图象上、从而函数与得图

象关于直线对称.

６、函数图象上得任一点(满足)关于点得对称点为,

点在函数得图象上;反之函数得图象上任一点关于点得对称点也在函数图象上、从而函数与得图象关于点对称。

三、关于周期性、对称性得若干易混淆得常用结论

１、若函数满足,则函数得图象关于轴对称;函数与函数得图象也关于轴对称、

2、若函数满足,则函数得图象关于原点对称;函数与函数得图象也关于原点对称、

3、若函数满足,则函数得图象关于轴对称;而函数与函数得图象关于直线对称。

4、若函数满足,则函数得图象关于原点对称、而函数与函数得图象关于点对称.

5、若函数满足,则函数得图象关于直线对称;而函数与函数得图象关于轴对称、

6、若函数满足,则函数得图象关于点对称;而函数与函数得图象关于原点对称、

7、若函数满足,则函数得图象关于直线对称;函数与函数得图象也关于直线对称、

８、若函数满足,则函数得图象关于点对称;函数与函数得图象也关于点对称、

9、若函数满足,则函数就是以为周期得周期函数;若函数满足,则函数就是以为周期得周期函数、

四、函数周期性与对称性得关系

１、定义在上得函数,若同时关于直线与对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数.

2、定义在上得函数,若同时关于点与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数.

３、定义在上得函数,若同时关于直线与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数.

略证:

１、＝

,函数就是以为周期得周期函数、

2、３同理可证。

五、函数周期性、对称性与奇偶性得关系

1、定义在上得函数,若同时关于直线与对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是偶函数。

2、定义在上得函数,若同时关于直线与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是奇函数、

3、定义在上得函数,若同时关于点与直线对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是偶函数。

4、定义在上得函数,若同时关于点与点对称,即对于任意得实数,函数同时满足,,则函数就是以为周期得周期函数,且就是奇函数、

5、若偶函数关于直线对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数.

6、若偶函数关于点对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数.

7、若奇函数关于直线对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数。

8、若奇函数关于点对称,即对于任意得实数,函数满足,则就是以为周期得周期函数、

略证:

1、由上述四中得第1点即可得函数就是以为周期得周期函数,

又

函数就是偶函数。

2、3、４同理可证、５、６、7、8可利用上述四中得结论证得、以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解。

六、其它结论

1、若函数为偶函数,则函数得图象关于直线对称、

2、若函数为奇函数,则函数得图象关于点对称.

注:上述两个结论可以通过图象得平移来理解、

３、定义在上得函数满足,且方程恰有个实根,则这个实根得与为。

4、定义在上得函数满足,则函数得图象关于点对称。

略证;任取,令,则,,

由中点公式知点与点关于点对称、由得任意性,知函数得图象关于点对称、

５、能得出函数为周期函数得常见结论还有:函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),

① ,则就是以为周期得周期函数;

②,则就是以为周期得周期函数;

③,则就是以为周期得周期函数;

④,则就是以为周期得周期函数;

⑤,则就是以为周期得周期函数.

⑥,则就是以为周期得周期函数。

⑦,则就是以为周期得周期函数.

注:上述结论可以通过反复运用已知条件来证明。