高一分段函数函数解析式

1、点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )

A．(，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(-1，-3)

2、已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )

A．y= B．y= C．y=x D．y=x2

3、已知函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是（ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4、函数的定义域是_____________________．

5、设函数则实数的取值范围是_______________

）

题型三：抽象函数的单调性 例1 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R上的增函数；

2

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)＜3.

例2 定义在区间（0，+∞）上函数f(x)满足f(

x1)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)x2＜0.

（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

变式：已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2.

3

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性； （2）求f(x)在［-3，3］上的最值.

变式2：函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.

（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；

2

（2）若f(1)=1,解不等式f［log2(x-x-2)］＜2.

课后练习与作业 1. f(x)4xmx1，当x2时递增 ，当x2时递减，则f(1)的值等于（ ） A. 13 B. 1 C. 21 D. 3 2. 函数y21k (k1)在(,0)，(0,)上都是增函数，则k的取值范围（ ）

xA. (,1)(1,) B. (,0) C. (,1) D. (1,)

3. f(x)在(4,7)上是增函数，则yf(x3)的增区间是（ ） A. (2,3) B. (1.10) C. (1,7) D. (4,10) 4. 函数yx21的递增区间是 。

25. 要使函数y＝x2bx5在(2, 3)上为减函数, 则b的取值范围是 .

6.若函数f(x)是R上的增函数，且f(xx)f(xa)对一切xR都成立，则实数a的取值范围是 。 7. 函数y

2ax2在(2,)上单调递增，求实数a的取值范围。 x2

必修系列复习之——函数的奇偶性与周期性

知识点一、函数的奇偶性 1.关于函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x： ⑴f(x)f(x) f(x)是偶函数； ⑵f(x)f(x)f(x)奇函数； 2.函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； ③、可逆性：f(x)f(x) f(x)是偶函数；f(x)f(x)f(x)奇函数； ④、等价性：f(x)f(x)f(x)f(x)0；f(x)f(x)f(x)f(x)0 ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； ⑥、f(x)为奇函数，定义域为D，若0D,则必有f(0)0；

⑦、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函

数、非奇非偶函数。

3.函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f(x)是否与f(x)、f(x) 相等，判断步骤如下：

①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系f(x)f(x)哪个成立；

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则,在一个关于原点对称的定义域上， 奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数

知识点二、函数的周期性 4.函数周期性的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

5.关于周期函数的几种判定方法 ①、对于函数f(x)定义域中的任意的x，总存在一个非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则T是函数f(x)的一个周期。

②、若函数f(x)满足f(xa)f(xa)(a0)，则T2a是它的一个周期 ③、若函数f(x)满足f(xa)f(x)(a0)，则T2a是它的一个周期 ④、若函数f(x)满足f(xa)1(a0)，则T2a是它的一个周期

f(x)⑤、若函数f(x)满足f(xa)1(a0)，则T2a是它的一个周期 f(x)1f(x)(a0)，则T2a是它的一个周期

1f(x)⑥、若函数f(x)满足f(xa)

函数的性质：奇偶性

知识点：

奇函数：关于原点对称。（做题时可考虑特殊值法），f（0）=0）。F（-x）= -f（x） 偶函数：关于y轴对称。F（-x）=f（x）

例1.已知定义在[-5，5]上的奇函数f(x)的部分图像如右图所示： 则满足f(x)0的x的集合为_________；

2例2..已知f(x)axbx3ab是偶函数，定义域为[a1,2a].则a ，b

二、利用函数的奇偶性求值

例3. 设f（x）是定义在R上的偶函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____

_。

例4. f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=___；若有f(2)3，则f(2)___；

若f(5)7；则f(5)___；

例5．已知函数f(x)a1(xR),若f(x)为奇函数，则a___； x21

三、利用函数的奇偶性和单调性比较值的大小

例6．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，则下列各式成立的是：（ ）

A.f(2)f(0)f(1) B.f(2)f(1)f(0)

C.f(1)f(0)f(2) D.f(1)f(2)f(0)

例7. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间7,3上

是（ ）

A．增函数且最小值是5 B．增函数且最大值是5 C．减函数且最大值是5 D．减函数且最小值是5 四、利用奇偶性求函数解析式

例8：若f(x)是定义在（-∞，0）（0，+∞）上的奇函数，当x<0时，f(x)x(1x)，

求当x0时，函数f(x)的解析式。

例9.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时，f(x)2x3x1，试求函数f(x)的解析式。

【提高练习】

1.已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,)上为减函数，且 有f(2)0，则满足f(x)0的x的集合为_________；

2.已知函数yf(x)为R上的奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)____； 3.已知偶函数f(x)在区间[2,4]上为减函数且有最大值为5，则f(x)在区间[4,2]上为

2____函数且有最___值为____；

若是奇函数f(x)在区间[2,4]上为增函数且有最小值为5，则f(x)在区间[4,2]上为____函数且有最___值为____。

22f(x)(m1)x(m2)x(m7m12)为偶函数，则m的值是（ ）4.已知函数

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.若偶函数f(x)在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

33f()f(1)f(2)f(1)f()f(2)22A． B． 33f(2)f(1)f()f(2)f()f(1)2 D．2C．

6.函数yf(x)是R上的偶函数，且在(,0]上是增函数，若f(a)f(2),则实数a的取值范围是 （ ）

A.a2 B.a2 C.2a2 D.a2或a2

求函数的解析式的五种方法 一、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与

配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例1、已知f(x1)x2x，求f(x1)

例2、求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)； (2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).

思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.

举一反三： 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

，求f[f(-1)].

二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例3 、设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)

举一反三： 1．设二次函数y=f (x)的最小值为4，且f（0）=f（2）=6，求f(x)的解析式。

2、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；

3、若二次函数

的图象与x轴交于

，且函数的最大值为，

则这个二次函数的表达式是_______________．

三、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数yxx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式

2四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构

造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)

1x

举一反三： 已知

f(x)f(x)x1，求f(x)的解析式

五、配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容

易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。

11)x22 (x0) ，求 f(x)的解析式 xx1121解：f(x)(x)2， x2

xxx例2 已知f(x f(x)x22 (x2)

总结升华：求函数解析式常用方法：

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.

函数的图象 例：作出下列函数的图象.

(1)

； (2)

；

(3)； (4).

思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数. 解：(1)

，∴图象为一条直线上5个孤立的点；

(2)为分段函数，图象是两条射线；

(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；

(4)图象是抛物线.

所作函数图象分别如图所示：

分段函数 例1： 已知

举一反三：

，求f(0)，f[f(-1)]的值.

【变式1】已知的值.

，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}

例2：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

举一反三： 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，

Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？

Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

学习成果测评

1．根据下列条件，求函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)； (3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).