高一数学导学案教案-琴生不等式与不等式综合

第8讲 琴生不等式与

不等式综合

8.1琴生不等式

本讲首先一起来学习联赛中最后一个重要不等式：琴生不等式，随后我们将一起来研究几道不等式的综合问题.这些问题可能需要综合应用均值、柯西、排序及琴生不等式来解决.

首先给出琴生不等式.琴生不等式是关于凸函数的一个不等式，为此我们先研究函数的凸凹性质： 凸函数在数学上的定义如下：

设f(x)是定义在(a,b)内的函数，如果对于(a,b)内的任意两数x1,x2，都有

f(x1x21)(f(x1)f(x2)) 22那么称f(x)在(a,b)内为凸函数.如果x1x2时，上式等号不成立，则称f(x)在(a,b)内为严格凸的. 类似地，可以定义凹函数.

注：在有些书中，将凸（凹）函数根据其形状也形象地称为下凸（上凸）函数.

一般地，如果函数的二阶导数大于等于0，那么它就在定义域内为凸函数；因此我们可以方便地利用导数公式来推出函数的凹凸性质；但在未学习导数之前，我们暂时只能用基本的不等式知识来寻求凸函数的证明，这个证明过程大部分情况下会比较简洁，但也有个别函数证明起来较为困难(例如下面的例1). 琴生不等式：

设f(x)是(a,b)内的凸函数，则对于(a,b)内的任意n个实数x1,x2,,xn，都有

f(x1x2xn1)(f(x1)f(x2)f(xn))

nn等号成立当且仅当x1x2xn时成立.

【例1】 证明琴生不等式．

【例2】 证明下列函数为下凸函数：⑴f1(x)

11x(0x1)；⑵f2(x)x1x(0x1).

a【例3】 已知f(x)(x)p(x0)为凸函数，其中p是正整数，a是正常数. x1,x2,,xn是正数，满

x足x1x2xn1.证明：

1apapap1an2p[(x1)(x2)(xn)]() nx1x2xnn

kk【例4】 已知x1,x2,,xn是正数，满足x1x2xn1.k为正整数，证明：x1kx2xn1. k1n

【例5】 试利用琴生不等式证明幂平均不等式：

1a1a2ana1a2an*若0，aiR(i1,2,,n)，则()()；当且仅当

nna1a2an时等号成立.

1

【例6】 若,0，aiR*(i1,2,,n)，且，则

a1a2ana1a2ana1a2an. nnn

【例7】 已知x1,x2,,xn是正数，满足x1x2xn1.证明：

x11x1

x21x2xn1xnx1x2xnn1. 8.2不等式综合

【例8】 设P,2,,n的任意排列，求证：1,P2,,Pn是1

111n1. PPPPPPn21223n1n(2abc)2(2bac)2(2cab)2【例9】 设a,b,c是正实数，证明：2≤8.

2a(bc)22b2(ca)22c2(ab)2

a2b2c2d2abcbcdcdadab≥3【例10】 设a,b,c,d为正数，证明：．

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实战演练

【演练1】证明：f(x)x(pN),x[0,)为凸函数.

p*

【演练2】设A,B,C是三角形的三个内角，为非负常数，

求tanABBCCAtantantantantan的最大值． 222222

【演练3】已知正实数a,b,c满足abc3，求证：8a18b18c19．

149【演练4】已知a,b,cR，且abc1，求证：36≤．

abc

【演练5】设ab0，求证：2a3

【演练6】已知a,b0，ab1，求a4b4的最值．

310．

abb2

【演练7】设f(x)

a(axax)，其中a0且a1，证明：对正整数n2，有f(n)n． 2a1