2015高考数学真题广东理科

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合Mxx4x10，Nxx4x10，则MA．1,4 B．1,4 C．0 D． 2．若复数zi32i（i是虚数单位），则z（ ）.

A．23i B．23i C．32i D．32i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.

N（ ）.

11x C．y2x D．yxex x24．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）.

A．y1x2 B．yxA．

51011 B． C． D．1 212121225．平行于直线2xy10且与圆xy5相切的直线的方程是（ ）. A．2xy50或2xy50 B．2xy50或2xy50 C．2xy50或2xy50 D．2xy50或2xy50

4x5y…86．若变量x，y满足约束条件1剟x3，则z3x2y的最小值为（ ）.

0剟y2A．4 B．

2331 C．6 D．

55x2y257．已知双曲线C:221的离心率e，且其右焦点为F25,0，则双曲线C的方程为

4ab（ ）.

x2y2x2y2x2y2x2y21 B．1 C．1 D．1 A．

43916169348．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）. A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5

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第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．在

x1的展开式中，x的系数为 ．

410．在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8 ． 11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a3，sinB1，C，则26b ．

12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）

13．已知随机变量X服从二项分布Bn,p，若EX30，DX20，则p ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sin为A22,2，点A的极坐标47，则点A到直线l的距离为 ． 4DEPAC15．（几何证明选讲选做题）如图所示，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则

BOOD ．

三、解答题:本大题共6小题，满分30分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m22,， 22nsinx,cosx,x0,

2（1）若mn，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为

，求x的值. 3专注数学 成就梦想 www.chinamath.net

17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表:

工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 44 40 41 33 40 45 42 43 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 31 38 39 43 45 39 38 36 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（2）计算（1）中样本的均值x和方差s2；

（3）36名工人中年龄在xs和xs之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？

18.（本小题满分14分）如图所示，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，

PDPC4，AB6，BC3，点E是CD的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且

AF2FB,CG2GB.

(1) 求证：PEFG；

(2) 求二面角PADC的正切值； (3) 求直线PA与直线FG所成角的余弦值.

PDAEFGBC专注数学 成就梦想 www.chinamath.net

19.（本小题满分14分）设a1，函数f(x)(1x2)exa. (1) 求f(x)的单调区间；

(2) 求证：f(x)在,上仅有一个零点；

(3) 若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点Mm,n处的切线与直线OP平行 （O是坐标原点），求证：m„

20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆C1:xy6x50相交于不同的两点A，

223a21. eB.

（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k,使得直线l:yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）数列an满足：a12a2+nan4（1）求a3的值；（2）求数列an的前n项和Tn； （3）令b1a1，bnn2,nN*. n12Tn11111ann…2，求证：数列bn的前n项和Sn满足n23nSn22lnn.