归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.

关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

前言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\\物理\\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义[1]

设fx,y是定义在可求面积的有界区域D上的函数. J是一个确定的数,若对任给的正数

,总存在某个正数,使对于D的任意分割T,当它的细度T时,属于T的所有积分和

都有

f,iii1niJ,

则称fx,y在D上可积,数J称为函数fx,y在D上的二重积分,记作

Jfx,yd,

D其中fx,y称为二重积分的被积函数, x,y称为积分变量, D称为积分区域.

1.2二重积分的若干性质

1.21若fx,y在区域D上可积, k为常数,则kfx,y在D上也可积,且 kfx,ydkfx,yd.

DD 1

1.22 若fx,y,gx,y在D上都可积,则fx,ygx,y在D上也可积,且

[fx,ygx,y]dfx,ydgx,yd.

DDD1.23 若fx,y在D1和D2上都可积,且D1与D2无公共内点,则fx,y在D1可积,且

D1D2D2上也

fx,ydfx,ydfx,yd

D1D2d1.3在矩形区域上二重积分的计算定理

设fx,y在矩形区域Da,bc,d上可积,且对每个xa,b,积分fx,ydy存

c在,则累次积分badxfx,ydy也存在,且

cbdacdDfx,yddxfx,ydy.

b 同理若对每个yc,d,积分fx,ydx存在,在上述条件上可得

a

Dfx,yddyfx,ydx

cadb2.求的二重积分的几类理论依据

二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X型\\Y型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算

X型区域: DY型区域: Dx,yyxyyx,axb

12x,yxyxxy,cyd

12定理:若fx,y在X区域D上连续,其中y1x,y2x在a,b上连续,则

fx,ydDbadxy2xy1xfx,ydy

即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y型,有

2

Dfx,yddxcdx2yx1yfx,ydy

例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解：设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为 x2y2a2与x2z2a2.

只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以

za2x2为曲顶,以四分之一圆域D:

0ya2x2, 0xa,为底的曲顶柱体,所以

aa2x2a1222Vaxddxa2x2dy(a2x2)dxa3

00083D于是V163a. 3另外,一般常见的区域可分解为有限个X型或Y型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.

2.2 二重积分的变量变换公式

定理: 设fx,y在有界闭域D上可积,变换T: xxu,v, yy(u,v)将平面uv由按段光

滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域

D,函数

xxu,v,yy(u,v)在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 Ju,v则

x,y0, u,v,

u,vfx,ydxdyfxu,v,yu,vJu,vdudv.

D 用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化. 例1 求

eDxyxydxdy,其中D是由x0,y0,xy1所围区域.

11(uv),y(uv),则 22解 为了简化被积函数,令uxy,vxy.为此作变换T:x 3

1Ju,v212即

1210. 122uveDxyxyuv11111ee11v dxdyedudvdveduv(ee)dv0v02224例2 求抛物线y2mx，y2nx和直线yx，yx所围区域D的面积(D)

(0mn,0)．

解D的面积(D)dxdy．

D为了简化积分区域，作变换T： x面上的矩形区域m,n,．由于

uu

，．它把xy平面上的区域D对应到uv平y2vv

1v2Ju,v1v所以

2uuv340，u,v， uv2vn2m233dvnu (D)dxdy4dudv4udu33vmv6D2.3 用极坐标计算二重积分

xrcos定理: 设fx,y在有界闭域D上可积,且在极坐标变换T： 0r，

yrsin02下，xy平面上有界闭区域D与r平面上区域对应，则成立

fx,ydxdyfrcos,rsinJ(r,)drd．

D其中J(r,)cossinrsinrcosr．

当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为fx,y换．

二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：

22时，采用该极坐标变

4

（i）若原点OD，且xy平面上射线常数与D边界至多交与两点，则必可表示成

r1()rr2()，，

于是有

Df(x,y)dxdydr2()r1()f(rcos,rsin)rdr

类似地，若xy平面上的圆r常数与D的边界多交于两点，则必可表示成

1(r)2(r)，r1rr2，

所以

Df(x,y)dxdyrdrr1r22(r)1(r)f(rcos,rsin)d.

（ii）若原点为D的内点，D的边界的极坐标方程为rr()，则可表示成0rr()，

02.

所以

Df(x,y)dxdyd02r()0f(rcos,rsin)rdr.

(iii)若原点O在D的边界上,则为0rr(),, 于是

f(x,y)dxdydDr()0f(rcos,rsin)rdr

例1 计算Ie(xD2y2)d,其中D为圆域: x2y2R2.

解 利用极坐标变换,由公式得

I20R0rerdr(1eR).

22 与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：

xarcos 0r，02， T：ybrsin 5

J(r,)acosbsinarsinbrcosabr．

x2y2z2如求椭球体2221的体积时，就需此种变换．

abc2.4利用二重积分的几何意义求其积分

当f(x,y)0时，二重积分f(x,y)dxdy在几何上就表示以zf(x,y)为曲顶，D为底的曲

D顶体积．当f(x,y)1时，二重积分

f(x,y)dxdy的值就等于积分区域的面积．

D例6 计算：IDx2y2x2y2122d，其中D：221．

ababx2y2解 因为被积函数z1220，

abx2y2所以I表示D为底的z122为顶的曲顶柱体体积．

ab由平行xoy面的截面面积为

A(x)ab(1z)，(0z1)，

根据平行截面面积为已知的立体体积公式有

11Iab(1z)dzab

032.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算 ２.５１利用变量代换计算

设D为有界闭域，它的边界曲线，(t)且D(x,y)axb,cyy(x)，当xa时，t；当xb时，t。设f(x,y)在D上连续，且存在P(x,y)，(x,y)D使得

Pf(x,y)，则 yf(x,y)dxdy{P[(t),(t)]P[(t),c]}(t)dt

D'２.５２利用格林公式计算

定理 若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

6

(DQP)dxyLPdxQdy

这里L为区域D的边界线，并取正方向． 计算步骤： （１）

构造函数P(x,y)，Q(x,y)使应具有一阶连续偏导数；

（２）利用格林公式化曲线积分求之．

QPf(x,y)，但P(x,y)，Q(x,y)在D上xy例7计算x3y4dxdy，D是由椭圆xacos，ybsin所围成．

D解法一（利用变量代换）设D1为D在第一象限，则

425435a3b5352xydxdy4xydxdyxydx作变换xacos,ybsinabcossin(sin)d05564DD12424 解法二（利用格林公式）令PP125Qx2y4，0． xy，Q0，则yx512512a3b525 xydxdyxydx(acos)(bsin)(asin)dL05564D242.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 ２.７１积分区域关于坐标轴对称

性质１ 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则二重积分

满足下列性质：

D0,f(x,y)为关于（或xy）的奇函数 f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(x,y)为关于（或xy）的偶函数D1其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称子域之一． 例 计算

222xyR，其中是由所围成的闭区域． (h2x3y)dxdyDD解析 由于积分区域D关于x轴＼y轴均对称性，只需考虑被积函数f(x,y)h2x3y关于x或y的奇偶性．易见，f(x,y)关于x或y既非奇函数，也非偶函数．若记f(x)2x，

7

f(y)3y，则f(x,y)hf(x)f(y)且f(x)为x的奇函数，f(y)为y的奇函数．由此

dxdy0LDy0yxx由性质１，有

D142xyyy2cos(xy)cos(xy)0D1D22cos(xy)dxdy2dy2cos(xy)dx02，

1hdxdyhR0

D2故有

Df(x,y)dxdyDf(x)dxdy

Df(y)dxdy

hdxdyD2 hRhdxdyD２.７２积分区域关于某直线L对称

性质２ 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于L对称，则二重积分满足下列性质：

D0,f(x,y)为关于直线L的奇函数f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(x,y)为关于直线L的偶函数

D1其中D1为区域D被L所分割的两个对称子域之一． 例 求，其中D由直线y0，yx，x

2

围成．

解析 对任意(x,y)D，有0xy．而当0xy2时，cos(xy)0．当

2xy时，cos(xy)0．故作直线L：xy2，把D分成D1和D2两部分，而D1和D2关于直线L对称．又cos(xy)关于直线L偶对称．故

cos(xy)dxdy2cos(xy)dxdy2dy2cos(xy)dx4y2DD10y1

2.8 运用导数的定义求极限

例10 计算limln(hx)lnh(h0)

x0xx0思路：对具有limf(x)f(x0)f(x0h)f(x0)或lim形式的极限，可由导数的h0xx0h定义来进行计算. 解：原式=(lnx)'|xh1 h2.9运用定积分的定义求极限[3]

8

1例11 计算lim[1cos1cosn0nn21cosn] n11ni思路：和式极限，利用定积分定义limf()f(x)dx求得极限.

0n0nni1解：原式

1nilim1cosn0nni11011cos(x)dx2cos

x20dx222.10 运用微分中值定理求极限

exesinx例12：计算lim

x0xsinx思路：对函数f(x)在区间[sinx,x]上运用拉格朗日中值定理，即可求得. 解：原式lime1 （其中在[sinx,x]区间内）

0总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.

参考文献:

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