初二数学课外拓展练习题

A

B’ M

B C A’

2、等腰△ABC底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为 秒。

3、如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。(0º＜α＜90º)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.

(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明(△ABC与△A1B1C1全等除外)；

(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α； (3)当α＝60º时，求BD的长． 4、如图，已知△ABC中，∠ABC＝45º，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）

A．6

B．4

C．23

D．5

A 0’

E

H

C B D

5、已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.

2

6、某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m，面积为160m，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 m．

7、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m、8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

8、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．

9、如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.

(1) 求证：△ACD≌△BCE；

(2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP＝CQ＝5, 若BC＝8时，求PQ的长.

10、如图，在△ABC中，ACB90,D是BC的中点，DEBC，CE∥AD。若AC2，

CE4，求四边形ACEB的周长。

A

BCD

E

11、如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点

B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.

（1）如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝ °，猜想∠QFC＝ °；

（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB＝23，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

Q

Q

A

E B

F 图1

P C B F P

图2

C

A

E

12、在△ABC中，BC10，AB43，ABC30，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为 ．

△ABC中，ABC45°，CDAB于D，BE平分ABC，13、已知：如图，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G． （1）求证：BFAC；

A

1（2）求证：CEBF；

2D

（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论． F E

G

B C H

14、如图，在△ABC中，C2B，D是BC上的一点，且ADAB，点E是BD的中点，连结AE．

（1）求证：AECC （2）求证：BD2AC A （3）若AE6.5，AD5，那么△ABE的周长是多少？

B D C E

15、如图，点O是等边△ABC内一点，AOB110，BOC．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当150时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

110A D

O  C B （3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？

16、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．

17、在ABC中，M为BC中点，AN平分BAC,ANBN于N，且AB=10，AC=16，则MN等于（ ）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

ANBMC

18、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 B B M E E D F F D

P O

C A A N C

图① 图③ 图②

19、如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连结EF． （1）求证：EF⊥AD；

E（2）若DE∥AC，且DE1，求AD的长． AD

C BF

20如图，在Rt△ABC中，B90，BCAB．

（1）在BC边上找一点P，使BPBA，分别过点B，P作AC的垂线BD，PE，垂足为D，E．

（2）在四条线段AD，BD，DE，PE中，某些线段之间存在一定的数量关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含有其中的2条或3条线段），并说明等式成立的理由．

21、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，

则线段BD的长为 。

22、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ） ．．．．．

BA 23、如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

A D Q

B C P

24、如图，△ABC中，AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,点E在边AC上，以CE、CD为邻边作平行四边形CDFE，过点C作CG∥AB交EF与点G。连接BG、DE。 （1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由。 （2）求证：△BCG≌△DCE.

1

25、如图，直线l1的解析表达式为y＝x＋1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A，B，

2

直线l1与l2交于点C． y B （1）求直线l2的函数关系式； l2 5 l1 （2）求△ADC的面积；

C （3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP

与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． ．．A D 4 x －1 O

26、如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x＋12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过

点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． （1）求直线AM的解析式；

（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点P的坐标；

（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、

H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

27、已知△ABC，∠BAC90，ABAC4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．

（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；

（2）求直线BD的函数关系式；

（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． y B

C x A D

28、如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为1，3，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以

3

(长度单位/秒)3

的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．

y 请解答下列问题：

B （1）过A，B两点的直线解析式是 ；

（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ；

当t ﹦ ，点P与点E重合；

（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中， 若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？ E F l

A x P O

30、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF． ⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。 ①求证：DF＝EF；

②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）

A P(O) D F C 图1

B 图2

A P O D F E C B 图3 O P B C

31、如图，点M是直线ｙ＝2ｘ＋3上的动点，过点M作MN垂直ｘ轴于点N，ｙ轴上是否存在点P，使以M、N、P为顶点的三角形为等腰直角三角形。小明发现：当动点M运动到（－1,1）时，ｙ轴上存在点P（0,1），此时有MN=MP，能使△MNP为等腰直角三角形。在Y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M。请你写出其他符合条件的点P的坐标 。

A D 29、在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标;

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．

yCDBPO

Ax

32、如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y3x交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）． （1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；

（3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为

等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y y

F

83 Bl 83 BDCy3x y3x CEAP8Ox O备用图1A8x