均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡方法(最终)

LU Ai-zhong, ZHANG Ning

Institute of Hydroelectric and Geotechnical Engineering, North China Electric Power University,

Beijing 102206, China

摘要：本文假定坡体滑动前为只受到重力作用的弹性体，在坡体应力分布已知的情形下，根据坡体滑面所满足的Mohr-Coulomb准则，利用极限平衡法对坡体进行稳定分析。所提出的方法与以往方法不同，不用将滑体划分成垂直条块，不用假定滑面上的法向应力分布形式，而是直接利用坡体的弹性应力解进行求解。当已知坡体的容重、粘聚力c、内摩擦角、坡角和坡高H时，可以获得求解最小安全系数Fs*及相应滑面位置的显式表达式；当已知坡体的、c、时，若给定设计坡角及安全系数Fs*(1)，则可以通过显式表达式求出坡体所能达到的最大坡高Hmax，由此式推演的直立坡体极限高度及相应滑面位置与Terzaghi和塑性理论获得的结果完全相同，并通过获得的公式证明了：只有当坡角大于坡体的内摩擦角时，边坡才有发生滑动的可能，这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的；当已知坡体的、

c、时，若给定设计坡高H及安全系数Fs*(1)，则可以通过一个非线性方程求出坡体所能达到的最大坡角max。

关键词：边坡稳定分析；弹性极限平衡法；安全系数；最大坡高；最大坡角；解析解

1、引言

极限平衡法是边坡稳定性分析中最早出现的方法。早期的极限平衡法主要有:Fellenius法(1936)、Bishop法(1965)、Janbu法(1973)、Morgenstern-Price法(1965)、Spencer(1967)、Sarma法(1973，1974)。几十年来，极限平衡法一致被广泛应用。极限平衡法的基本假设是边坡变形破坏时，滑面为平面或圆弧面，滑面满足Mohr-Coulomb破坏准则。计算时，将滑动体一般划分成若干个垂直条块，并假定每个条块为刚体，各种方法的主要区别在于相邻条块之间内力的假定不同。方法的实质是通过各条块的静力平衡方程对边坡安全系数进行求解。

极限平衡法自提出以来，得到了不断的改进和发展。Maslov(1990), Zhu (2002), Zheng (2009) sequentially proposed some analytical methods that satisfies the conditions of equilibrium and permits calculation without dividing the sliding mass into vertical elements (columns or slices)；All methods are based on different assumption regarding the normal stress distribution along the slip surface. Espinoza and Muhunthan(1994), Zhu(2003)试图建立一个统一的框架来包容所有的极限平衡法。

极限平衡法虽然有很好的应用价值，但在理论上存在一定的缺陷，譬如：将坡体视为不可变形的刚体，这与实际情形不符，实际边坡从变形到破坏的整个过程中都是一个变形体；相邻条块之间内力或the normal stress distribution along the slip surface假定是否合理？求解时只是利用了平衡方程，是否满足变形协调方程？这是经典极限平衡法无法问答的问题。

Zhang(1999)提出了Slope stability analysis based on the ideas of the limit analysis and the rigid finite

element method to avoid条块间内力假定的drawbacks。Jiang and Magnan(1997)将limit analysis与methods of slices进行了比较。

随着计算技术的发展，有限元法在边坡稳定性分析中得到了应用，这类方法将边坡视为可变形的弹性体，可以采用精确的本构关系，避免了极限平衡分析法中将滑体视为刚体而过于简化的缺点。这可以保证边坡在滑动前不但满足平衡方程，而且满足变形协调方程，但传统的有限元法不能直接求得边坡安全系数。Giam and Donald(1988)提出了一种由有限元计算得到的应力场确定临界滑动面及最小安全系数的模式搜索方法；Kim and Lee(1997)也提出了相应的方法。Ugai(1989)，Matsui and San(1992)，Griffths(1999)利用强度折减法通过不断增大折减系数，直至边坡发生失稳破坏，将此时的折减系数定义为边坡的安全系数。但此

类方法计算工作量较大，定义的安全系数物理含义也不够明确。

能否如何寻求一种物理意义明确、假设条件较少，计算工作量又小的边坡稳定分析方法，这正是本文要研究的问题。

2、弹性极限平衡方法原理

本文假定坡体只受到重力作用，坡体滑动前为弹性体。将坡体视为平面应变问题，在坡体应力分布已知的情形下，根据坡体滑面所满足的Mohr-Coulomb准则，利用极限平衡法对坡体进行稳定分析。Hou(2009)最早利用坡体弹性应力解，在假定滑面为平面的情形下用算例对坡体进行了稳定分析，但没有获得便于应用的解析解，并且文中定义的安全系数为抗滑力矩和滑动力矩之比，这也值得商榷，对平面滑动应该利用抗滑力和滑动力定义安全系数。

OAxy=f(x)γσndxτndsdyBθ

图1 可能滑面AB上任一点所受到的法向正应力n和切向剪应力n

本文也假定滑面为平面，对于均匀岩质边坡，滑面一般为平面，定义抗滑力和滑动力之比为安全系数。对于岩质或土质边坡，只要其材料组成大致均匀，就可以简化成如图1所示的下部及右侧无限长的均质弹性体，其顶面水平，边坡倾角为。坡体只受到重力作用时，若岩体的容重为，则利用平面弹性力学的逆解法，可以求出坡体内每一点的应力分量为(Gu，1994)：

x121x2y,yy,xyy (1) tantantany本文规定以压应力为正。根据式(1)给出的x、y向的正应力x、y 及剪应力xy，可以求出曲线

yf(x)上任一点的法向正应力n和切向剪应力n(图1)：

nl2xm2y2lmxy,　nlm(yx)(l2m2)xy (2)

式中

ldydx,　m (3) dsds根据前面的定义，则安全系数Fs为

(ctan)ds (4)

dsAnBAnBFs式中c，分别为坡体的粘聚力和内摩擦角。(cntan)ds表示滑面yf(x)达到极限平衡状态时所能

AB提供的抗滑力，nds表示坡体AOB实际受到的滑动力。将式(1)-(3)代入式(4)，可得

ABFsFsy(x) (5)

式(5)是关于函数yf(x)的一个泛函，通过点B，使式(5)达到最小的曲线yf*(x)就是坡体的可能滑动面。若Fsy*(x)1，则坡体AOB必沿yf*(x)滑动；若Fs*y(x)1，则坡体AOB处于临界滑动状态；若则坡体AOB一定处于稳定状态。寻求yf*(x)的过程实际是一个泛函极值问题，yf*(x)的Fsy*(x)1，

形状取决于c，的大小。为了简单起见，本文只讨论滑面为一平面的情形，即yf*(x)为一直线。设可能滑面与水平面的夹角为(图2)，则式(5)关于函数yf(x)的泛函极值问题转化为关于待求变量的函数极值问题。

H/(1/tanα-1/tanθ)OAxy=-xtanα+H(1-tanα/tanθ)αθy图2 坡体的可能平面滑动位置

HB

3、坡体稳定系数Fs及相应滑面位置的确定

由图2可得可能滑面的直线方程为

tanyxtanH1 (6)

tan将式(1)，(2)代入式(4)，则式(4)中的nds为

22122ydxdydydxndsxyyds (7) 22tandsdstantands*将式(6)代入式(7)得

212tan(dy)tan(dx)2ndsx2x tanH1tandsx tanH1tands tantan2tantandxdy (8) x tanH1tands式(8)中

1dyds(dx)(dy)1dxdx，

cosdx222dydx(dx)dxdxdydydxcosdx,　　sindx

222dsds1tgdydy11dxdx2(dy)ds2(dy)22dydx1dxdydxdy2dxdy1dxdydxdx2dxdy1dx2tan2cosdx

将上面这些式子代入式(8)可得：

(ctg)ds(ctg)dsAnBnBA11HtantanHtancdx tancos tan2cos11HtantanHtan12tan2Htanx1dxtan22tantantan　　tancos11HtantanHtantan2tansinx tanH1dx　tantan11HtantanHtantanx tanH1dxtan(9)

cHH2tancosH2tancos　sin2tan2tan

同理可得式(4)中的nds为

sin2cos(1tan2)tantanndstanx tanH1xdx dx x tanH1tantantantantan由此可得

BAndsndsBAsintan11HtantanHtan11HtantanHtan22tantantanxxHtan1dxtantantantan22tan1tanxH1tan 1dxtancostan (10)

H2cos(tantan)2tan由式(4)，(9)，(10)可得安全系数为

Fs2ctantan (11) H(tantan)sincostan由式(11)可以看出：Fs是的函数，当和0时，Fs，这说明式Fs在(0,)区间具有极小值。图3给出了25KN/m3，c500KPa， 300，H300m，而分别取60，90二种坡角情形下，不同所对应的安全系数Fs。由图3的确可以看出：在(0,)内，Fs具有极小值。

9876543210θ=60°θ=90°Fs51020304050555966808589α(°)图3 分别为60，90时，不同所对应的Fs

令*时，Fs达到极小值，则由

dFsd*0可得

2ctantan(1tan2*)2tan*tan0 (12) H(tantan*)2当c,,,,H已知时，由式(12)可以求出使Fs达到极小的*，式(12)是关于tan*的一元二次方程，其解为

2ctanHtan tantan(1tan2)(4c22cHtan)tan*Htan2ctan2 (13)

由式(13)可以求出可能的滑面倾角*。将求得的*代入式(11)可得坡体的最小安全系数Fs*为

2ctan(1tan2*)tan (14) FH(tantan*)tan*tan**s当给定c,,,,H时，代入式(14)，可以求出Fs*，根据Fs*的大小可以判定坡体是否稳定。

4、当给定c,,,Fs时，最大坡高Hmax的确定

当已知坡体的容重、粘聚力c、内摩擦角时，若给定设计坡角及安全系数Fs(1)，则为保持坡体稳定所能达到的最大坡高Hmax可以通过以下的过程进行求解。由(14)/(12)得：

tanFs*tan*tantan* (15) tan(1tan2*)2tan*tan(1tan2*)**由式(15)可以求出

tan*(1tan2)(Fs*tan2)tan tanFs*Fs*tantan2 (16)

由式(16)求出tan*后，则由式(14)可以得到最大坡高Hmax

Hmax2ctan(1tan2*) (17) (tantan*)(Fs*tan*tan)式(17)就是为保证安全系数Fs*1，坡体所能达到的最大坡高Hmax。 由式(17)可以看出：Fs*tan*tan0时，才能保证Hmax0，由此得：tan*又因*，所以

tan，若Fs*1，则*，*Fs (18)

即只有时，边坡才存在极限高度Hmax，而当时，边坡的极限高度可以为无穷大。也就是说，当 时，无论坡体多高，边坡总是稳定的。这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的。

式(16)，(17)适用于900，900时为直立坡体，为了与已有的解析结果进行比较，下面求出直立坡体的极限垂直高度和相应滑面的倾角。当900，Fs*1时，由(16)，(17)可得

tan*1tan2tantan450 (19)

2Hmax4c4ctan450 (20) 1tan2tan2即直立坡体达到极限高度Hmax时，滑动面与水平面的夹角为450塑性理论获得的结果完全相同。

2，式(19)，(20)与Terzaghi(1967)和根据

'由式(17)、(20)可以看出：Hmax与粘聚力c成正比，与成反比。令Hmax1Hmax，则由式(17)可得 2cH'maxtan(1tan2*) (21) (tantan*)(Fs*tan*tan)

通过算例可知，Hmax与成正变，与成反变关系。图4给出了25KN/m3，c400KPa，Fs*1，而分别取200，300时，H'max随坡角的增大而减小，随的增大而增大的变化规律。

876φ=20°φ=30°H'max/10543210405060θ(°)708090

图4 H'max随坡角的增大而减小，随的增大而增大的变化规律

5、当c,,H,Fs*已知时，最大坡角max的确定

当已知坡体的、c、时，若给定设计坡高H及安全系数Fs*(1)，则为保持坡体稳定所能达到的最

大坡角max可以通过以下的过程进行求解。 将式(14)，(16)中的换为max得：

(Fs*tan*tan)(tanmaxtan*)2c (22) tanmaxH1tan2*tan*(1tan2max)(Fs*tan2)tan tanmaxFs*Fs*tanmaxtan2 (23)

当c,,H,Fs*已知时，将式(23)代入式(22)，可以得到一个只含有max的非线性方程，利用数值方法可以求出最大的坡角max。在(0,　区间，只有当H90）最大坡角max都为90。

图4给出了25KN/m3，H100m时，而c，分别取c200KPa，200；c200KPa，=30°；；c400KPa，=30°四种情形下，安全系数Fs*随c，和坡角的变化规律。可以c400KPa，=20°

看出：当坡高H一定时，c，越大，稳定系数Fs*越大，而Fs*随坡角的增大而减小。 7654c=200KPa,φ=20°c=200KPa,φ=30°c=400KPa,φ=20°c=400KPa,φ=30°4c4ctan450时，tan450时，max才有解，而H22F*s321020304050θ(°)60708090 图5 安全系数Fs*随c,和坡角的变化规律

前三种情形都满足H4c则由式(22)，(23)可以求出Fs*1时所对应的最大坡角分别为：62.9°，tan450，

24c72.6°，86.4°，第四种情形满足H图5也可以看出这个结果。

，所对应的Fs*1.07，实际上由tan450条件，即最大坡角为90°

26、结论

对于岩质或土质边坡，只要其材料组成大致均匀，就可以简化成均质的楔形弹性体，若坡体只受到重力作用，则可利用弹性力学的逆解法，求出坡体的各个应力分量。本文基于坡体为弹性库仑材料的假定条件，提出了均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡方法，该方法物理意义明确，假设条件较少，不像以往的方法，将滑动体划分成垂直条块或假定滑面上的法向应力分布形式，而直接利用已有的坡体弹性应

力解，对坡体进行稳定分析。所得到的计算公式简单明了，大都为显式表达式，便于分析坡体各个力学参数和几何参数对坡体稳定性的影响。并通过获得的解析表达式证明了：只有当坡角大于坡体的内摩擦角

时，边坡才有发生滑动的可能，这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的；对于直立

坡体，获得的极限高度及相应滑面位置与Terzaghi和塑性理论获得的结果也是相同的。

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Contract/grant sponsor: Natural Science Foundation of China; contract/grant numbers: 50874047

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