2020年广东省高考数学一模试卷答案解析

2020年⼴东省⾼考数学⼀模试卷答案解析⼀、选择题（共12题，共60分）

1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），则A∪B＝（﹣1，3]，故选：B．

2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为1．故选：B．

3．某⼯⼚⽣产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利⽤如下随机数表从中抽取5个进⾏检测．若从表中第1⾏第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）

34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．07

【解答】解：根据随机数的定义，1⾏的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．

4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．

5．若双曲线（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离⼼率为（）A．B．C．D．2

【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的⼀条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上，∴．

则该双曲线的离⼼率为e＝．故选：C．

6．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．

【解答】解：因为tanα＝﹣3，则＝cos2α＝＝＝＝．故选：D．

7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．21

【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝?（﹣2）r x7﹣2r，则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为?4＝84，故选：B．

8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象⼤致为（）A．B．C．D．

【解答】解：，故排除CD；

f（﹣1）＝ln|e﹣2﹣1|+1＝ln（1﹣e﹣2）+lne＝，故排除B．故选：A．

9．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某四⾯体的三视图，则该四⾯体的外接球表⾯积为（）

A．B．32πC．36πD．48π

【解答】解：根据⼏何体的三视图转换为⼏何体为三棱锥体A﹣BCD：如图所⽰：

设外接球的半径为r，

则：（2r）2＝42+42+42，解得r2＝12，所以：S＝4π×12＝48π．故选：D．

10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆⼼，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最⼤值为（）A．2B．4C．8D．16

【解答】解：由椭圆的⽅程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2，

由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最⼤值⽽|F2M|+|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最⼤值为4，

故选：B．

11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三⾓形的外⼼、重⼼、垂⼼依次位于同⼀直线上，且重⼼到外⼼的距离是重⼼到垂⼼距离的⼀半．此直线被称为三⾓形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外⼼、垂⼼，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．

【解答】解：如图所⽰的Rt△ABC，其中⾓B为直⾓，则垂⼼H与B重合，

∵O为△ABC的外⼼，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，⼜∵M为BC中点，∴，

∵M为BC中点，∴＝＝＝．故选：D．

12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最⼤值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1

【解答】解：∵定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最⼤值为，∴0＜≤1，解得0＜ω≤3，∴≤ωx﹣≤．

①0＜ω≤时，则sin（ω﹣）＝，

令g（ω）＝sin（ω﹣）﹣，y＝sin（ω﹣）在（0，]上单调递增，∵g（0）＝﹣＜0，g（）＝1﹣＝＞0，因此存在唯⼀实数ω，使得sin（ω﹣）＝．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝．综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个．故选：C．

⼆、填空题（共4题，共20分）

13．若x，y满⾜约束条件，则z＝x﹣2y的最⼩值为﹣3．【解答】解：画出x，y满⾜约束条件，表⽰的平⾯区域，如图所⽰；结合图象知⽬标函数z＝x﹣2y过A时，z取得最⼩值，由，解得A（1，2），

所以z的最⼩值为z＝1﹣2×2＝﹣3．故答案为：﹣3．

14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝63．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，由于S n＝2a n﹣n，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1）②，

①﹣②得：a n＝2a n﹣1+1，整理得（a n+1）＝2（a n﹣1+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为⾸项，2为公⽐的等⽐数列．所以，整理得．所以．故答案为：63

15．很多⽹站利⽤验证码来防⽌恶意登录，以提升⽹络安全．某马拉松赛事报名⽹站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增⼤的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某⼈收到了⼀个“递增型验证码”，则该验证码的⾸位数字是1的概率为．

【解答】解：基本事件的总数为，其中该验证码的⾸位数字是1的包括的事件个数为．∴该验证码的⾸位数字是1的概率＝＝．故答案为：．

16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意⼀点P都满⾜：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最⼤值为．【解答】解：由点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣），可得M，N在直线y＝x﹣上，联⽴曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3），可得x2＝﹣，⽆实数解，由y＝+x的导数为y′＝x+1，

可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，可得切线的⽅程为y＝﹣，

即有与直线y＝x﹣的交点E（0，﹣），同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，

切线的⽅程为y＝4x﹣，联⽴直线y＝x﹣，可得交点F（，），此时可设M（0，﹣），N（，），则由图象可得|m﹣n|的最⼤值为﹣0＝，故答案为：．

三、解答题（共70分）

17．已知△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的⾯积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；

（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，

所以2ab cos C＝ab sin C，即sin C＝2cos C＞0，sin2C+cos2C＝1，cos C＞0，解可得，cos C＝，

（2）∵a cos B+b sin A＝c，

由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B），故sin A cos B+sin B sin A＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin A＝cos A，∵A∈（0，π），所以A＝，

所以sin B＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，由正弦定理可得，b＝＝＝3．

18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底⾯ABCD是平⾏四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．

（1）求证：NC1∥平⾯BMD；

（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求⼆⾯⾓N﹣BD﹣M的正弦值．

【解答】解：（1）连接BD，AC交于E，取C1M的中点F，连接AF，ME，由C1M＝2MC，A1N＝2NA，故C1F＝AN，以且C1F∥AN，

故平⾏四边形C1F AN，所以C1N∥F A，根据中位线定理，ME∥AF，由ME?平⾯MDB，F A?平⾯MDB，所以F A∥平⾯MDB，NC1∥F A，故NC1∥平⾯BMD；

（2）AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由DB2＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，由AB2＝AD2+DB2，得AD⊥BD，

以D为原点，以DA，DB，DD?分别为x，y，z轴建⽴空间直⾓坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），M（﹣1，，1），N（1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣1，，1），＝（1，0，1），设平⾯MBD的⼀个法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，0，1），

设平⾯NBD的⼀个法向量为＝（a，b，c），由，得，由cos＜＞＝，

所以⼆⾯⾓N﹣BD﹣M为，正弦值为1．

19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的⽅程．

【解答】解：（1）将P（1，﹣2）代⼊抛物线C：y2＝2px⽅程，得p＝2，所以C的⽅程为y2＝4x，焦点F（1，0），设M（x0，y0），当λ＝3时，，可得M（2，2）．

（2）⽅法⼀：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由．可得（x0+1，y0﹣2）＝（λ，0），所以y0＝2，所以直线l的斜率存在且斜率，

设直线l的⽅程为y＝x+b，联⽴，消去y，整理得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，△＝（2b﹣4）2﹣4b2＝16﹣16b＞0，可得b＜1，则x1+x2＝4﹣2b，，，所以，

解得b＝﹣6，b＝2（舍），所以直线l的⽅程为y＝x﹣6．

⽅法⼆：设直线l的⽅程为x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联⽴⽅程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16m2+16n＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，则，

则M（2m2+n，2m），由．得（2m2+n+1，2m﹣2）＝（λ，0），所以m＝1，所以直线l的⽅程为x＝y+n，由△＝16+16n＞0，可得n＞﹣1，由y1y2＝﹣4n，得，所以，

解得n＝6或n＝﹣2，（舍去）所以直线l的⽅程为y＝x﹣6．

20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵⼊机体或者对机体发⽣作⽤起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时⽌的这⼀阶段称为潜伏期．⼀研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]

⼈数85205310250130155

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值作代表）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进⾏分层抽样，从上述1000名患者中抽取200⼈，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200

（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发⽣的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独⽴．为了深⼊研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的⼈数最有可能（即概率最⼤）是多少？附：

P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．

【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为

＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）6535100

50岁以下5545100总计12080200

根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；

（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发⽣的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的⼈数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝??，k＝0，1，2， (20)由，得，

化简得，解得≤k≤；

⼜k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的⼈数最有可能是8⼈．

21.已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是⾃然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；

（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．【解答】解：（1）易知，

①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）⽆极值点，即此时极值点个数为0；

②若a＞0，易知函数y＝e x的图象与的图象有唯⼀交点M（x0，y0），∴，

∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有较⼩值点x0，即此时函数f（x）的极值点个数为1；

综上所述，当a≤0时，函数f（x）的极值点个数为0；当a＞0时，函数f（x）的极值点个数为1；（2）证明：∵函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，∴存在为函数f（x）的极值点，由（1）可知，a＞0，且，即，两边取

⾃然对数得1﹣a+e﹣a＞lna，即1+e﹣a﹣lna＞a，要证+＞a，不妨考虑证，⼜易知e x≥1+x，∴，即，⼜，∴，∴，即，∴，∴+＞a．

22．在直⾓坐标系xOy中，直线C1的参数⽅程为（t为参数，α为倾

斜⾓），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直⾓坐标⽅程；

（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通⽅程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标⽅程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通⽅程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直⾓坐标为（﹣2，0）．

把直线C1的参数⽅程为（t为参数，α为倾斜⾓），代⼊C2⽅程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐⾓．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，

|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，

∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．

α满⾜0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数⽅程为：，可得普通⽅程：x﹣y+2＝0．

23．已知a，b，c为正数，且满⾜a+b+c＝1．证明：（1）≥9；

（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【解答】证明：（1）＝，

当且仅当时，等号成⽴；

（2）∵a，b，c为正数，且满⾜a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，

∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（﹣c），

∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成⽴．

1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1