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第一册等差数列

2021-09-19 来源:客趣旅游网

  §3.2.1等差数列

  目的:1.要求学生掌握等差数列的概念

  2.等差数列的通项公式,并能用来解决有关问题。

  重点:1.要证明数列{an}为等差数列,只要证明an+1-an等于常数即可(这里n≥1,且n∈N*)

  2.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d (n≥1,且n∈N*).

  3.等到差中项:若a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且

  难点:等差数列“等差”的特点。公差是每一项(从第2项起)与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

  等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说,等差数列的首项和公差已知,那么,这个等差数列就确定了。

  过程

  一、引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10,……

  3,0,-3,-6,……

  , , , ,……

  12,9,6,3,……

  特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”

  二、得出等差数列的定义: (见P115)

  注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。

  1.名称:AP     首项   公差

  2.若   则该数列为常数列

  3.寻求等差数列的通项公式:

  由此归纳为     当 时  (成立)

  注意:  1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数

  2° 如果通项公式是关于 的一次函数,则该数列成AP

  证明:若

  它是以 为首项, 为公差的AP。

  3° 公式中若  则数列递增, 则数列递减

  4° 图象: 一条直线上的一群孤立点

  三、例题: 注意在 中 , , , 四数中已知三个可以

  求出另一个。

  例1 (P115例一)

  例2 (P116例二)  注意:该题用方程组求参数

  例3 (P116例三)  此题可以看成应用题

  四、  关于等差中项: 如果 成AP 则

  证明:设公差为 ,则  

  ∴

  例4  《教学与测试》P77 例一:在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP,求此数列。

  解一:∵   ∴ 是-1与7 的等差中项

  ∴    又是-1与3的等差中项

  ∴

  又是1与7的等差中项  ∴

  解二:设  ∴

  ∴所求的数列为-1,1,3,5,7

  五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

  1.定义法:即证明

  例5、已知数列 的前 项和 ,求证数列 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。 

  解:                      

  当 时  

  时 亦满足  ∴

  首项     

  ∴ 成AP且公差为6

  2.中项法: 即利用中项公式,若 则 成AP。

  例6   已知 , , 成AP,求证 , , 也成AP。

  证明: ∵ , , 成AP  

  ∴ 化简得:                                       

  =

  ∴ , , 也成AP

  3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。

  例7  设数列 其前 项和 ,问这个数列成AP吗?

  解: 时        时

  ∵    ∴    

  ∴ 数列 不成AP   但从第2项起成AP。

  五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法

  六、作业 : P118 习题3.2    1-9

  七、练习:

  1.已知等差数列{an},(1)an=2n+3,求a1和d   (2)a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及a100.

  2.在数列{an}中,an=3n-1,试用定义证明{an}是等差数列,并求出其公差。

  注:不能只计算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。

  3.在1和101中间插入三个数,使它们和这两个数组成等差数列,求插入的三个数。

  4.在两个等差数列2,5,8,…与2,7,12,…中,求1到200内相同项的个数。

  分析:本题可采用两种方法来解。

  (1)用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发,根据

  相同项,建立等式,结合整除性,寻找出相同项的通项。

  (2)用等差数列的性质来求解。关键要抓住:两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数。

  5.在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中Sn=a1+a2+…+an.证明数列是等

  差数列,并求Sn。

  分析:只要证明 (n≥2)为一个常数,只需将递推公式中的an转化

  为Sn-Sn-1后再变形,便可达到目的。

  6.已知数列{an}中,an-an-1=2(n≥2), 且a1=1,则这个数列的第10项为(  )

  A  18       B 19       C 20       D21

  7.已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为(    )

  A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1

  8.已知m、p为常数,设命题甲:a、b、c成等差数列;命题乙:ma+p、 mb+p 、mc+p

  成等差数列,那么甲是乙的(   )

  A 充分而不必要条件    B 必要而不充分条件

  C 充要条件            D既不必要也不充分条件

  9.(1)若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=       

  (2)首项为-12的等差数列从第8项开始为正数,则公差d的取值范围是      

  (3)在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是      

  10.已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。

  11.设数列{an}的前n项Sn=n2+2n+4(n∈N*)

  (1)   写出这个数列的前三项a1,a2,a3;

  (2)   证明:除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。

  12.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,问它们有多少个共同的项?

  13.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可以组成首项为 的等到差数列,求a+b 的值。

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