高二数学教案：小结与复习_(二)

课 题： 小结与复习 教学目的：

(二)

1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项

公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题. 2.会利用二项式定理解决某些整除性问题 教学过程： 一、知识点：

1．二项式定理及其特例：

0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)， 1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn. rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）

(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3„时，

系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于两个数的和 5．二项式系数的性质：

二项式它肩上

012，Cn，Cn，„，(ab)n展开式的二项式系数是Cnnr．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图Cn象是7个孤立的点（如图）

mnm（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵Cn）． Cn直线rn是图象的对称轴． 2n2n（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项

Cn12n，Cn12取得最大值． n（3）各二项式系数和：

1rr∵(1x)n1CnxCnxxn，

令x1，则2CnCnCnCnCn n012rn二、讲解范例：

例1．①计算:(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)

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12n ②计算:12Cn 4Cn2nCn分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.

解： ① (x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)＝[(x1)1]511 ②

12n＝(12)n＝3n 12Cn4Cn2nCn0110例2． 证明恒等式:C10C10C10210

分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的a、b取某些特殊值.

0110证明：左边＝C10C10C10(11)10210＝右边

0n1n12n2n引伸:化简Cn xCnxCnx(1)nCn0n1n12n2n解: Cn＝(x1)n xCnxCnx(1)nCn例3． 求证32n28n9(nN*)能被64整除.

分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有82的式子.因此,可将32n2化成(32)n1(81)n1再进行展开,化简即可证得. 证明：∵32n28n9(81)n18n9

122nnn1＝(18Cn)8n9 18Cn18Cn182nnn1＝82Cn 18Cn182n2nn1＝82(Cn8C8) 1n1∴多项式展开后的各项含有82 ∴32n28n9(nN*)能被64整除.

引伸:①求证9231能被10整除;②求813除以9的余数. 例4. 求(1x)2(1x)5的展开式中x3的系数.

rnrr解:利用通项公式Tr1Cnab,则 r(1x)2的通项公式Tr1C2xr,r{0,1,2}

kkk (1x)5的通项公式Tk1C5(x)k(1)kC5x,k{0,1,2,3,4,5}

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k1或k2或k3 令kr3,则r2r1r01123 从而x3的系数为C5C2C5C55

引伸:求(1x3)(1x)10的展开式中x5的系数. ( 答案:207 ) 例5． 求(3x1x)15的展开式中的常数项和有理项.

解:设展开式中的常数项为第r1项,则

rTr1(1)rC15(3x)15r(1xr)r(1)rC15305rx6 (*)

由题意得

305r0,解得r6, 66所以展开式中的常数项为第7项T7T61(1)6C155005.

由题意可得

305rZ,即r是6的倍数,又因为0r15,所以r=0,6,12故展开式中的有60理项为T1(1)0C15x5x5,T75005,T13420x5.

三、课堂练习：

1.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种

分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平面相对有3种不同情况，中间可以夹剩下的4个中的任意一个，又有4种不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理答案选B.

2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_____种不同的排法. 分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了两端外，还有3

1个位置可排共有A3种排法，然后排学生共有A4种排法，由分步计数原理可得答案是72.

4（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选2人排在两端共有A4种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的位置共有A33种排法.由分步计数原理可得答案是72.

3. 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数. （1）求有3个偶数相邻的7位数的个数； （2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数.

答案：用捆绑法可得（1）为720个；用插空法可得（2）为1440个.

4. 从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）

A.100种 B.400种 C.480种 D.2400种

解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有

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224314 C5C4A4C5C4A42400（种）

5. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有________种.

解：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，因此宜用间接法：用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有三种可能第一类：四点共面于四面

4体的某一个面时，有4C6种取法；第二类：由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的

平面有6个；第三类：过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有3个.故

44取4个点不共面时的不同取法有C10(4C663)141(种)

6.已知碳元素有3种同位素C、C、C，氧元素也有3种同位素O、O、O，则不同的原子构成的CO2分子有（ ）

A.81种 B.54种 C.27种 D.9种

解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所以

111NC3C3C327（种）

121314161718

7.用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ） A.360个 B.180个 C.120个 D.24个

4解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有A4=24个.

8 .在代数式(4x2x5)(142215)的展开式中，常数项为_____.(答案:15) 2x34229.若(2x3)a0a1xa2xa3xa4x,则a0a2a4a1a3的值为 A.1 B.－1 C.0 D.2

解：题中的a0，a1，„，a4是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于C4，C4，„，C4令x＝1或－1可得它们的不同形式的代数和，于是可得结论答案选014A.

10．求(1xx2)10(1x)6展开式中各项系数的和.

11．若(12x)7a0a1xa2x2a7x7,则a0a1a7 , a0a2a4a6 ,a1a3a5a7 ,a0a1a7 . 12．(1x)(1x)2(1x)n的展开式中的各项系数之和为 . 13．设(x1)4(x4)8a0(x3)12a1(x3)11a11(x3)a12,

求:(1)a0a1a2a12的值;(2)a0a2a4a12的值. 答案：10. 令x1,得答案: 0 11. -1 12.2n12.

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13.令x2,得(1)428a0a1a2a12,即a0a1a2a1228256. 令x4,得(3)408a0a1a2a12,即a0a1a2a120,

故a0a2a4a12[(a0a1a2a12)(a0a1a2a12)](2560)128. 四、小结 ：1.二项式定理的应用:证明整除问题.

2.通项公式的应用:①通项公式是第r1项,而不是第r项;②运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项 五、课后作业：

21． 已知(x2)n的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3,

x1212求展开式中的常数项.

42解:由题意Cn:Cn14:3,即n25n500,∴n10或n5(舍去)

105r2r ∵Tr1C10(x)10r2r(2)rC102rxx,

由题意得105r0,得r2,

22∴常数项为第3项T3T21C1022180.

引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间项.

42解:由题意(16Cn):(4Cn)56:3,可得n10,展开式共11项,故展开式的中间项为第6项,

152即T68064x.

2.求(1x)(1x)2(1x)3(1x)10的展开式中含x2项的系数. 解:二项式(1x)2,(1x)3,„(1x)10展开式中x2项的系数分别为：

222C2,C3,,C10.

2223其和为：C2＝C11 C3C103∴(1x)(1x)2(1x)3(1x)10的展开式中含x2项的系数为C11 3. 若n是3的倍数，求证：31是13的倍数 n解：令n＝3k，k是整数，则

13n127k1261126kCk26k1Ckk126Ckk1k12626k1Ck26k1Ckk1.

6

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126k1Ck26k2Ckk1是整数，

3n1是13的倍数. 六、板书设计（略） 七、课后记：

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