(整理)函数的最大值与最小值.

3.8 函数的最大值与最小值 (第一课时)

江西省信丰中学 涂晓蕾 341600

一、教学目标：

⒈使学生理解连续函数的最值问题，掌握用导数求闭区间上连续,开区间可导函数最值的方法和步骤 ;

2.培养学生观察事物的能力,能够发现问题,分析问题并最终解决问题.

二、教学重点：

1.利用导数求闭区间上连续,开区间上可导函数的最大值和最小值的方法; 2.了解最值的具体涵义,且与极值的区别和联系。

三、教学难点：

1.通过观察图象,归纳总结求最值的方法;

2.理解求闭区间上连续,开区间上可导函数的最值,并会求函数的最值 。

四、授课类型：新授课 。

五、教学方法：启发引导教学法,讲练结合教学法、变式教学法等。 六、教学过程:

(一)复习引入:

同学们，在上节课中，我们学习了函数的极值，知道它是一个局部的概念，是与极值点附近函数值比较而得，所以函数的极值可能是不唯一的。 分析： 那大家还记得怎样求一个函数的极值吗？检测一下 求导数y 练习：求函数yx4x8x2(xR)的极值 求方程y=0的根 432//解:y/4x312x216x检查y/在方程根左右值的符号 令y/0,解得x11,x20,x34 左负右正 极小值当x变化时,y,y/变化情况如下表:左正右负 极大值x y y /(-,-1) -1 — (-1,0) 0 0 极大值 2 (0,4) 4 0 极小值 -126 (4,+) + 0 极小值 -1 + — 所以，当x=-1时，y有极小值-1;当x=0时，y有极大值2;当x=4时，y有极小值-126。

极值与我们的生活密切相关，最值在生活中也随处可见。（举例），这个问题正是我们今天所要研究的函数的最大值与最小值问题。（书写标题）。

（二）讲授新课： 从导数角度学习函数的最值，仍以刚才的练习为例：已经求出了函数的极值，能否根据这个函数的极值情况，画出它的草图呢？ 精品文档

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y -1 -2 0 4 6 x 根据图形，发现：这是一个连续而且可导(利用求导数的根得到极值)的函数， 随着x时，函数值都，即此连续函数在整个定义域R上无最大值。 问1：连续函数要在怎样的一个区间里才一定有最大值和最小值呢？ （连续函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最小值）

问2：连续函数在开区间(a,b)上是否也一定有最大值和最小值呢？ （连续函数在开区间(a,b)上不一定有最大值和最小值）

例如：如连续，但无最大值与最小值；（如图）

再如y=tanx 在(0, （如图） 2)内连续，也无最大值与最小值。

y 0 2 x 所以，对于刚才的连续可导函数，将定义域R改为闭区间[-2，6]，那它就一定有最大值和最小值。

问3：此连续可导函数的最大值和最小值分别在哪些点上取得？ （最大值在闭区间的端点6处取得，最小值在极值点4处取得）

问4：你们是如何得到闭区间上这个连续可导函数的最值？（从单调性角度分析） 精品文档

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（只要比较它的所有极值与端点值的大小即可）

即：这个连续可导函数的最值就是通过比较它所有的极值和端点值的大小而得到的。 对于任意一个在[a,b]上连续，(a,b)内可导的函数，我们又如何求其最值？ 学生先归纳，后总结：

（P131）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求f(x)在(a,b)内的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值 （三）例题讲解：

例1：求函数yx2x5在区间[-2，2]上 的最大值与最小值。 解:y4x4x

/342令y/0,有4x3-4x=0,解得x=-1,0,1

当x变化时,y,y/变化情况如下表:x y /-2 (-2,-1) -1 0 + 0 1 — 0 2 (-1,0) (0,1) (1,2) — 0 + y 13 4 5 4 13 所以，最大值是13，最小值是4. 另外，大家思考一下，这道题除了导数法求最值，还有什么方法求最值呢？——换元、配方。

例2：若函数yxbxcx在区间(,0]及[2,)上都是增函数，而在(0,2)内是减函数，求此函数在[1,4]上的值域。

解：由函数在区间(,0]及[2,)上都是增函数，而在(0,2)内是减函数

可知0，2为方程y=0的两个根，而y3x2bxc 那么

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2b02b33cc0023 y'3x26x,yx33x2当x在[-1,4]变化时，y, y变化情况如下表：

/x -1 y/ (-1,0) 0 + 0 0 (0,2) 2 - 0 (2,4) 4 + y -4 -4 16 故，最大值为16，最小值为-4，值域为[-4，16]。 变式：将[-1，4]改为（-1，4），求函数的值域。 学生口答： [-4，16）

1、通过该题及其变式，使学生掌握值域、最值和定义域、单调性的关系，利于对知识之间内在联系的理解

2、求最大值时，也可把所有的极值点代入求出值，再与端点值比较，小题目用，能节省时间，但解答题要写过程，还是列表好。 （四）课堂练习：

1.求函数yx3x2x在[2,1]上的最大值与最小值.2.已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求常数a,b的值;(2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值与最小值.备用:求函数ysin2xx在[2,2]上的最值.

解:1.y/3x22x1(x1)(3x1)1

3当x变化时,y,y/变化情况如下表:令y/0,解得x11,x2x y y /1(-1,) (-2,-1) -2 -1 3 11 (,1) 33 0 1 + 0 1 - + -2 5 271 所以，当x=-1或1时,函数有最大值1，当x=-2时,函数有最小值-2.

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2.(1)f/(x)3x22ax,过P(1,0)的切线斜率kf/(1)32a又因为切线与直线3x+y=0平行,所以32a3,a3又点P(1,0)在函数图象上,所以f(1)0,即:a+b+1=0,b=2a3,b2,f(x)x33x22(2)由(1)知f(x)3x6x令f/(x)0得x0,2当x在区间[0,3]变化时,/2

由f(0)f(3)2,f(2)2得最大值为2,最小值为2

3.y/2cos2x1,]解得x1,x2 2266当x变化时,y,y/变化情况如下表:令y/0,x[x y y /(-,-)  2266(-,) 66 6(,) 62 2 -  2 0 3 26+ 0 - 3 26 2所以，当x=时,函数有最大值，当x=时,函数有最小值. 2222

（五）课时小结： 概念 整体概念，与整个定义域内的值比较而得，在定义域内最大值最小值至多各有一个。 ⑴求f(x)在(a,b)内的极值； 函 实际问题 数求最值方法 ⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比的较得出函数f(x)在a,b上的最值 最值 在[a,b]上连续 保证函数有最大值和最小值 求最值的前提 在(a,b)内可导的函数 用导数求解 精品文档 精品文档

（六）本节课使用的数学思想方法：

数形结合的思想方法；类比的思想方法、函数和方程的思想方法等。 （七）布置作业：

P134 习题3.8 1（1）（3）

（八）课后反思：

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