捕鱼业持续收获效益问题

天津师范大学数学科学学 ***************** 朱保军

摘要

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。而在社会经济生活中,我们要使商业活动在一段时期内达到最大收益,因此我们要合理的开发资源，这时,我们不仅要考虑商业活动的当前经济效益,还要考虑生态效益及由此产生的对整体经济效益的影响。本文就是对渔业这类可再生资源的开发问题进行研究，利用相关的数学软件matlab进行求解。

针对问题一，建立产量模型，在该模型中建立捕捞情况下鱼场鱼量方程xt'和捕捞方程Et，对方程xt和Et讨论其平衡点x0和稳定性Fx0如下： x0N(1

'E)， Fx0Er0 r针对问题二，对产量模型进行延伸可求出最大的持续产量情况下的稳定平衡

点x0*，最大持续产量hm和保持渔场鱼量稳定在x0*的捕捞率E*。再建立效益模型，可求出利润RE,最大捕强度ER，最大利润下的渔场稳定鱼量xR及单位时间的持续产量hR。最后，建立捕捞过度模型，可求出盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为xs。

1

稳定平衡点 持续产量 捕捞强度 产量模型 xNrN*02 hm4 Er2 效益模型 xNc22p hrNc2rcRR412N2 ER1 p2pN捕捞过度 x Scp EcSr1pN 

关键字：产量模型 效益模型 捕捞过度 matlab

一、问题提出

2

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

设渔场鱼量方程为：

.dxxxtrx(1)Ex dtN.其中x(t)表示t时刻鱼塘中的鱼数，r表示鱼的自然增长率，N为鱼塘中最大可容纳的鱼量， E为捕捞率。

问题一，建立关于E(t)的方程，求x(t)，E(t)的平衡点并讨论其稳定性。 问题二，将所得结果与捕捞的效益模型与过度模型进行比较。

综上所诉，本文要建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。最后研究所谓捕捞过度问题。

二、模型假设

1. 这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程； 2. 捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生； 3. 鱼群的死亡率已考虑种群的相互竞争及环境等因素；

三、字符说明

.

3

.xt：时刻t时，渔场中的鱼量 r：鱼的固有增长率

N：环境容许的最大鱼量

fx：单位时间的增长量 hx：单位时间的捕捞量 Fx：Fxfxhx

x0、x1：为方程Fx的解 x*0：稳定平衡点

hm：最大持续产量

E*：保持渔场鱼量稳定在x*0的捕捞率 p：鱼的销售单价

c：单位捕捞率的费用

T：单位时间的收人

S：单位时间的支出

RE：单位时间的利润

ER：最大捕强度

xR：最大利润下的渔场稳定鱼量 hR：单位时间的持续产量 ES:RE0的解

xS：盲目捕捞情况下的渔场稳定鱼量

四、问题分析4

问题一分析：主要是列出xt、Et的方程，可知是一阶微分方程的平衡

.点及稳定性分析，

当xt0时，xx0为方程xt的稳定点， 若F'x0，则x0对于方程是稳定的； 若F'x0，则x0对于方程是不稳定的。 同理对于Et的方程。

问题二分析：列出产量模型主方程xt，分析出最大的持续产量情况下的稳

...定平衡点x0*，最大持续产量hm和保持渔场鱼量稳定在x0*的捕捞率E*；再列出效益模型RE,分析出利润RE,最大捕强度ER，最大利润下的渔场稳定鱼量xR及单位时间的持续产量hR；最后，列出捕捞过度模型ES,分析出盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为xs及其

五、模型建立

问题一：

产量模型：在无捕捞条件下xt的增长服从logistic规律即 xtfxrx(1

.cccp2和p2时的情况。 NNNx) （1） N单位时间的捕捞量与渔场鱼量xt成正比，比例常数E表示单位时间捕捞

率，即Etcx(t)。

hxEx （2）

根据以上并记

5

Fxfxhx

得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 xtFxrx(1.x)Ex （3） N我们不需要解方程（3）以得到xt的动态变化，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，并由此来确定最大持续产量。为此可以直接求方程（3）的平衡点并分析其稳定性。令

Fxrx(1x)Ex0 N得到两个平衡点

x0N(1不难算出

E )，x10 （4）

rF'x0Er,F'x1rE

所以若

Er （5） 有F'x00,F'x10，故x0点稳定，x1点不稳定; Er，则结果正好相反。 又因为Etcx(t)，故Et同x(t)的平衡点及稳定性。 问题二：

产量模型的延伸：进一步讨论渔场鱼量稳定在x0的前提下，如何控制捕捞强

度E使持续产量最大的问题。用图解法非常简单地得到结果。

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作出抛物线yf(x)和直线yh(x)Ex，如上图。注意到yf(x)在原点的切线为yrx，所以在条件（5）下yEx必与yf(x)有交点P，P的横坐标就是平衡点x0。

由图立刻知道，当yExP点的纵坐标h为稳定条件下单位时间的持续产量，

与yf(x)在抛物线顶点P*相交时可获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为

x0N （6） 2且单位时间的最大持续产量为

hmrN （7） 4而由（4）式不难算出保持渔场鱼量稳定在x0*的捕捞率为

E*r （8） 2综上所述，产量模型的结论是将捕捞率控制在固有增长率r的一半，更简单一些。可以说使渔场鱼量保持在最大鱼量N的一半时，能够获得最大的持续产

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量。

效益模型：从经济角度看不应追求产量最大，而应考虑效益最佳。则

TphxpEx，ScE （9）

单位时间利润问

RTSpExcE （10）

在稳定条件xx0下，以（4）式代入（10）式，得 RET(E)S(E)pNE(1用微分法容易求出使利润达到最大的捕捞强度为

E)cE (11) rrcER1 (12)

2pN将ER代入（4）式，可得最大利润下的渔场稳定量xR及单位时间的持续产量hR为 xRNc （13） 22pxRrNc2hRrxR(1) 122 （14）

N4pN将（12）~（14）式与产量模型中的（6）~（8）式相比较可以看出，在最大效益原则下捕捞率和持续产量有所减少，而渔场应保持的稳定鱼量有所增加，并且减少或增加的部分随着捕捞成本c增长而变大，随着销售价格p的增长而变小，这结果是符合实际情况的。

捕捞过度：上面的效益模型是以计划捕捞为基础的。如果渔场向众多盲目的

经营者开放，那么即使只有微薄的利润，经营者也会蜂拥而去，这种情况称为盲目捕捞。这种捕捞方式将导致捕捞过度，下面讨论这个模型。

（11）式给出了利润与捕捞强度的关系R(E),令R(E)0的解为Es，可得

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c ESr1 （15）

pN当EES时，利润RE0，盲目的经营者们会加大捕捞强度；若EES时，利润RE0，他们当然要减小强度。所以ES是盲目捕捞的临界强度。

ES也可由图解法确定。在下图中以E为横坐标，按（11）式画出TE和SE，

它们交点的横坐标即为Es。由（15）式或由图容易知道，Es存在的必要条件（即

Es0）是

pc (16) N即售价大于成本。并且由（15）式可知，成本越低，售价越高，则Es越大。

将（15）代入（4）式，得到盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为

xsc （17） p 9

xs完全由成本-价格比决定，随着价格的上升和成本的下降，xs将迅速减少，出

现捕捞过度。

比较（12）和（15）式知，ES2ER,即盲目捕捞强度比最大效益下捕捞强

度大一倍。

从（15）式和上图还可以得到，当

ccp2时，ERESE*,如图中ES1,NN称经济学捕捞过度;当p2 综上所诉得

c时，ESE*，如图中Es2，称生态学捕捞过度。 N稳定平衡点 持续产量 N 2hmrN 4捕捞强度 E*r 2产量模型 x0rNc2rc效益模型 xNc h1E1 RRR 2222p4pN2pN捕捞过度 xc Sp

六、模型改进

为了研究渔业的产量、效益及捕捞过度的问道，首先在对鱼的自然增长和捕

cESr1 pN捞情况的合理假设下，建立渔场鱼量的基本方程（3），并利用平衡点稳定性分析确定了保持渔场鱼量稳定的条件。产量、效益和捕捞过度的3个模型在稳定的前提下步步深入，数学推导过程十分简单，却得到了在定性关系上与实际情况完全符合的结果。但如果改变对鱼的自然增长和人工捕捞的假设，模型及结果将随之变化。

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七、参考文献

【1】赵静，但琦,《数学建模与数学实验（第3版）》高等教育出版社

【2】姜启源、谢金星、叶俊,《数学模型（第三版）》高等教育出版社，2003

【3】刘来福，《最优捕鱼策略问题答案评述》，数学的实践与认识,1997年1月

八、附录

图一 clc;clear;

ezplot('y=-x.^2+4*x',[0, 4],[0 ,5]) text(3.5,0.4,'y=f(x)') text(4,-0.3,'N') hold on x1=0:0.01:2 y1=4*x1

plot(x1,y1,'r:') text(1.2,4.5,'y=rx')

11

hold on x2=0:0.01:3 y2=2*x2 plot(x2,y2,'b') text(2.1,4.1,'P*') hold on x3=0:0.01:4 y3=x3

plot(x3,y3,'b') text(3.15,3,'P')

text(3.3,3.1,'y=h(x)=Ex') hold on x4=3 y4=0:0.05:3 plot(x4,y4,'r:') text(3.05,-0.2,'x0') hold on x5=2 y5=0:0.05:4 plot(x5,y5,'r:')

text(2.1,-0.3,'x0*=N/2') hold on

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x6=0:0.05:3 y6=3

plot(x6,y6,'r:') text(-0.2,3,'h') hold on x7=0:0.05:2 y7=4

plot(x7,y7,'r:') text(-0.3,4,'hm')

图二 clc;clear;

ezplot('y=-x.^2+4*x',[0, 4],[0 ,5]) text(4,-0.3,'r')

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text(3.5,1,'T(E)') hold on x1=0:0.01:2 y1=4*x1

plot(x1,y1,'r:') text(1.2,4.5,'pNE') hold on x2=0:0.01:3 y2=3*x2 plot(x2,y2,'b')

text(1.6,4.3,'S(E)=cE') hold on x3=0:0.01:4 y3=x3

plot(x3,y3,'b') text(3.1,3,'S(E)=cE') hold on x4=3 y4=0:0.05:3 plot(x4,y4,'r:') text(3.05,-0.2,'Es2') hold on

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x5=2 y5=0:0.05:4 plot(x5,y5,'r:')

text(2.1,-0.3,'x0*=r/2') hold on x8=1 y8=0:0.05:3 plot(x8,y8,'r:') text(1.1,-0.2,'Es1')

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