2014-2015学年江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高二(下)
第二次质检数学试卷(文科)
一、填空题(共14小题,每小题5分,满分70分) 1.(2014春•徐州期末)函数y=4sin(3x﹣
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为解答: 解:函数y=4sin(3x﹣故答案为:
.
)的最小正周期为
,计算求得结果. ,
)的最小正周期为 .
点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数y=Asin(ωx+φ)的周期为
,属于基础题
2.(2011•太原模拟)函数f(x)=lg(x+1)的定义域是 (﹣1,+∞) .
考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题.
分析: 函数给出的是含对数式的复合函数,求其定义域,需保证真数大于0. 解答: 解:由x+1>0,得x>﹣1,所以原函数的定义域为(﹣1,+∞). 故答案为(﹣1,+∞).
点评: 本题考查了函数定义域及其求法,解答的关键是保证构成函数式的每一部分都有意义,属基础题. 3.(2014春•扬州期末)“φ=0”是“函数(fx)=sin(x+φ)为奇函数”的 充分不必要 条件.(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”中选择适当的填写)
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据φ=0,得函数f(x)=sin(x+φ)=sinx,运用奇偶性定义判断,再由函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数得出sinφ=0,即,φ=kπ,k∈z, 可以判断答案.
解答: 解:∵φ=0,∴函数f(x)=sin(x+φ)=sinx, f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sin(x)=﹣f(x) ∴f(x)为奇函数,
∵函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数, ∴sin(﹣x+φ)=﹣sin(x+φ)
sinφcosx﹣cosφsinx=﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ sinφcosx=﹣cosxsinφ, 即sinφ=0,φ=kπ,k∈z,
根据充分必要条件的定义可判断:
“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的充分不必要条件, 故答案为:充分不必要.
点评: 本题考查了函数的奇偶性的判断,充分必要条件的判断,属于容易题.
4.(2014春•扬州期末)函数y=e在x=1处的切线的斜率为 e .
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用.
分析: 求出原函数的导函数,得到函数y=e在x=1处的导数,即函数y=e在x=1处的切线的斜率.
xx
解答: 解:由y=e,得y′=e, ∴y′|x=1=e.
x
即函数y=e在x=1处的切线的斜率为e. 故答案为:e.
点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题.
5.(2014秋•零陵区校级期中)如果幂函数f(x)=x的图象经过点(2,值等于 2 .
考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 求出幂函数的解析式,然后求解函数值即可.
a
解答: 解:幂函数f(x)=x的图象经过点(2,), 所以
,解得a=.
a
x
x
x
),则f(4)的
函数的解析式为:f(x)=f(4)=
=2.
.
故答案为:2.
点评: 本题考查幂函数的解析式的求法,函数值的求法,基本知识的考查.
6.(2014春•徐州期末)若cosθ=﹣,tanθ>0,则sinθ= ﹣ .
考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.
分析: 依题意,可得θ在第三象限,利用同角三角函数基本关系即可求得sinθ的值.
解答: 解:∵cosθ=﹣,tanθ>0, ∴θ在第三象限, ∴sinθ=﹣
=﹣,
故答案为:﹣.
点评: 本题同角三角函数基本关系的运用,判断得到θ在第三象限是关键,属于中档题.
7.(2014春•海安县校级期末)已知f(x﹣1)=x﹣3x,则函数f(x)的解析式f(x)= f
2
(x)=x﹣x﹣2 .
考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题.
22
分析: 由已知中f(x﹣1)=x﹣3x,我们可将式子右边凑配成a(x﹣1)+b(x﹣1)+c的形式,进而将(x﹣1)全部替换成x后,即可得到答案.
2
解答: 解:∵f(x﹣1)=x﹣3x
2
=(x﹣1)﹣(x﹣1)﹣2
2
∴f(x)=x﹣x﹣2
2
故答案为:x﹣x﹣2
点评: 本题考查的是函数解析式的求解及其常用方法,其中本题使用的凑配法,是已知复合函数解析式及内函数的解析,求外函数解析式时常用的方法,属于基础题.
8.(2014春•扬州期末)函数f(x)=sinx﹣cosx的值域为
考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由f(x)=sinx﹣cosx=解答: 解:f(x)=sinx﹣cosx=∵
∈[﹣1,1].
,即可得出.
=
,
.
2
∴. ∴函数f(x)=sinx﹣cosx的值域为. 故答案为:.
点评: 本题考查了两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性,属于基础题.
9.(2014秋•溧阳市期中)设a=0.3,b=2,c=log>a (用“<”号连结)
考点: 对数值大小的比较.
2
0.3
2,则a,b,c的大小关系为 c>b
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<a=0.3<1,2>b=2>1,c=log
2
0.3
2=2,
∴c>b>a.
故答案为:c>b>a.
点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.
10.(2015•甘肃一模)若tanθ+
=4,则sin2θ= .
考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值.
分析: 先利用正弦的二倍角公式变形,然后除以1,将1用同角三角函数关系代换,利用齐次式的方法化简,可求出所求. 解答: 解:若tanθ+sin2θ=2sinθcosθ=
=4,则
=
=
==,
故答案为 .
点评: 本题主要考查了二倍角公式,以及齐次式的应用,同时考查了计算能力,属于中档题. 11.(2014春•海安县校级期末)方程lgx=x﹣5的大于1的根在区间(n,n+1),则正整数n= 5 .
考点: 函数零点的判定定理;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 将“方程lgx=x﹣5的根”转化为:“函数f(x)=lgx,y=x﹣5的交点”,在同一坐标系内作出两函数的图象,由数形结合求解. 解答: 解:令:f(x)=lgx,y=x﹣5 由图象知,lgx=x﹣5的大于1的根x0>5 又∵f(5)>0,f(6)<1, 故x0∈(5,6), ∴n=5,
故答案为:5.
点评: 本题主要考查方程的根的求解转化为函数图象交点求解的能力,函数,方程,不等式三者是密不可分的.属常考常新的问题,应熟练掌握.
12.(2010•南通模拟)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a= 4 .
考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题.
分析: 利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值,利用条件建立等量关系,解对数方程即可.
解答: 解:∵a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a,logaa=1, 它们的差为, ∴
,a=4,
故答案为4
点评: 本题考查了对数函数的单调性,以及函数最值及其几何意义,属于基础题.
13.(2012•天津)已知函数y=
的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点,则实
数k的取值范围是 (0,1)∪(1,4) .
考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 先化简函数的解析式,在同一个坐标系下画出函数y=﹣2的图象,结合图象,可得实数k的取值范围. 解答: 解:y=
=
=
的图象与函数y=kx
函数y=kx﹣2的图象恒过点(0,﹣2)
在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象
结合图象可实数k的取值范围是(0,1)∪(1,4) 故答案为:(0,1)∪(1,4)
点评: 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断,同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想,属于基础题. 14.(2015•高安市校级一模)已知函数f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对
22
于一切实数x,不等式f(cosx﹣b)≥f(sinx﹣b﹣3)恒成立,则实数b的取值范围是 .
考点: 函数单调性的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 根据函数f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cosx﹣b)≥f(sinx﹣b﹣3)恒成立,可得cosx﹣b≥sinx﹣b﹣3≥﹣4,即cosx﹣sinx≥b
2
﹣b﹣3且sinx≥b﹣1,从而可求实数b的取值范围.
解答: 解:∵函数f(x)是定义在[﹣4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不
22
等式f(cosx﹣b)≥f(sinx﹣b﹣3)恒成立,
22
∴cosx﹣b≥sinx﹣b﹣3≥﹣4,
222
∴cosx﹣sinx≥b﹣b﹣3且sinx≥b﹣1,
∵cosx﹣sinx=(cosx+)﹣∈[﹣,1],sinx∈[0,1], ∴b﹣b﹣3≤﹣且b﹣1≤0, ∴实数b的取值范围是故答案为:
.
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
点评: 本题考查函数单调性的性质,考查解不等式,转化为cosx﹣b≥sinx﹣b﹣3≥﹣4是关键.
二、解答题(本大题共6小题,共90分). 15.(2013春•扬州期末)已知α,β均为锐角,且cosα=,tan(α﹣β)=﹣.
(1)求cos(α﹣β)的值; (2)求sinβ的值.
考点: 两角和与差的余弦函数;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值.
分析: 根据平方关系和α是锐角即可得出sinα,再利用基本关系式即可得出tanα,利用两角和的正切公式即可得出tanβ,利用基本关系式可得sinβ,cosβ,利用两角和的余弦公式展开即可得出. 解答: 解:(1)法一∵∴
=.
,
,∴
=,
22
∵,解得tanβ=.
联立,解得.
∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=法二:令α﹣β=θ,那么θ∈(﹣由tanθ=
2
2
=
,0)
.
=﹣得:sinθ=﹣cosθ
∴cosθ+cosθ=1 ⇒cos(α﹣β)=(2)由(1)可得
.
点评: 本题中考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法,属于基础题.
16.(2015春•睢宁县校级月考)已知f(x)=x+2ax+2 (1)当a=﹣1时,求函数的最小值;
(2)求a的取值范围,使得函数在区间[5,+∞]上为单调增函数;
2
(3)试求函数在区间[1,2]上的最小值.
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.
分析: (1)将a=﹣1代入,结合二次函数的性质,从而求出函数的最小值; (2)先求出函数的导数,结合函数的单调性得到不等式,解出即可;
(3)先求出函数的对称轴,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出函数的最小值.
22
解答: 解:(1)a=﹣1时,f(x)=x﹣2x+2=(x﹣1)+1, ∴f(x)的最小值是1; (2)f′(x)=2x+2a,
若函数在区间[5,+∞]上为单调增函数, 只需f′(x)=2x+2a≥0在[5,+∞)恒成立, 即a≥﹣x在[5,+∞)恒成立, ∴a≥﹣5;
(3)函数f(x)的对称轴是:x=﹣a,
①当﹣a≤1,即a≥﹣1时,f(x)在[1,2]递增, f(x)最小值=f(1)=2a+3,
②当1≤﹣a≤2,即﹣2≤a≤﹣1时,
f(x)最小值=f(﹣a)=﹣a+2,
③﹣a≥2,即a≤﹣2时,f(x)在[1,2]递减,
f(x)最小值=f(2)=4a+6.
点评: 本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性问题,考查导数的应用,是一道中档题. 17.(2015春•睢宁县校级月考)已知函数f(x)=sinx﹣cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
2
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f(x)的最小正周期和最大值. (2)若f(x)=2f′(x),求
的值.
2
考点: 导数的运算.
专题: 导数的概念及应用;三角函数的求值.
分析: (1)先求导,再根据三角函数的倍角公式,和差公式,化简得到F(x)=1﹣(2x+
),即可求出最小正周期和最大值;
sin
(2)由题意化简得到tanx=﹣3,化简=,再带值就计算.
解答: 解:(1)f′(x)=cosx+sinx,
22
∴F(x)=f(x)f′(x)+f(x)=(sinx﹣cosx)(cosx+sinx)+(sinx﹣cosx),
22
=(sinx﹣cosx)+(1﹣2sinxcosx), =1﹣cos2x﹣sin2x, =1﹣
sin(2x+
),
∴函数F(x)最小正周期为π,最大值1+(2)∵f(x)=2f′(x), ∴sinx﹣cosx=2(cosx+sinx), 得到sinx+3cosx=0, 即tanx=﹣3, ∴
=
=
;
=﹣2.
点评: 本题考查二类导数的运算法则,和三角函数的和差公式,倍角公式,属于中档题. 18.(16分)(2014春•扬州期末)如图,某市新体育公园的中心广场平面图如图所示,在y轴左侧的观光道曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),x∈[﹣4,0]时的图象且最高点B(﹣1,4),在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧. (1)试确定A,ω和φ的值;
(2)现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO(单位:米),在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米),从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米).设∠DCO=θ(弧度),试用θ来表示修建步行道的造价预算,并求造价预算的最大值?(注:只考虑步行道的长度,不考虑步行道的宽度)
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值. (2)由题意可得CD造价预算为
,取CO中点F,求得圆弧段万元,可得步行道造价预算
造价预算为
万元,直线段
,
. 再利用导数求出函数g(θ)的单调性,从而求得g(θ)的最大值.
解答: 解:(1)因为最高点B(﹣1,4),所以A=4;因为
.
,
,
代入点B(﹣1,4),可得又
.
(2)由(1)可知:,得点C即
,
取CO中点F,连结DF,因为弧CD为半圆弧,所以∠DFO=2θ,∠CDO=90°, 即
Rt△CDO中,所以步行道造价预算由=0, 当当
所以g(θ)在
时,g′(x)>0,即g(θ)在时,g′(x)<0,即g(θ)在时取极大值,也即造价预算最大值为(
上单调递增;
上单调递减 )万元.
,则圆弧段
造价预算为
万元.
万元, .
得,当
时,g′(θ)
,则直线段CD造价预算为
,
点评: 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.
19.(16分)(2011秋•苏州期末)已知函数(1)判断并证明f(x)的奇偶性; (2)求证:
(3)已知a,b∈(﹣1,1),且
考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 综合题.
; ,
,求f(a),f(b)的值. .
分析: (1)由
=
可得函数的定义域(﹣1,1),关于原点对称,再由
可判断函数奇偶性 可证
可得f(a)+f(b)=1
,f(a)+f(b)=2结合奇函数的性质可得f(﹣b)=﹣f
(2)分别计算 f(a)+f(b)与(3)由(2)
(b),从而可求 解答: 解:(1)由∵
=
=
可得函数的定义域(﹣1,1),关于原点对称
故函数f(x)为奇函数
(2)∵f(a)+f(b)=
==
∴(3)∵
∴f(a)+f(b)=1 ∴f(a)+f(﹣b)=2
∵f(﹣b)=﹣f(b), ∴f(a)﹣f(b)=2,解得:
=1
=2
点评: 本题主要考查了对数函数的定义域的求解,函数的奇欧性的判断及利用对数的基本运算性质证明等式,属于对数知识的综合应用.
20.(16分)(2013春•徐州期末)已知函数f(x)=ax+bxlnx,若f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x﹣2. (1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[,e]上的单调区间和最值; (3)若存在实数m∈[﹣2,2],函数g(x)=
x﹣(2m+n)x在(1,e)上为
3
3
2
单调减函数,求实数n的取值范围.
考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题: 导数的综合应用.
分析: (1)由题意利用导数的几何意义可得
,解得a,b即可.
(2)利用导数的运算法则可得f′(x).令f′(x)=0,解得x. 分别解出f′(x)>0与f′(x)<0,列出表格即可得出其单调区间及其最值. (3)求出g′(x),由题意可知g(x)在(1,e)上为单调减函数,可得:g′(x)≤0恒成立,即2m+n≥2xlnx.于是
2
2
.可得n≥﹣2m+2e.由存在实数
2
m∈[﹣2,2],使得上式成立,可得n≥(﹣2m+2e)min,即可得出n的取值范围.
2
解答: 解:(1)f′(x)=3ax+2bxlnx+bx,(x>0). ∵f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x﹣2, ∴
∴f(x)=2xlnx.
(2)由(1)可知:f′(x)=4xlnx+2x=2x(2lnx+1),令f′(x)=0,解得 x
.
2
,解得,
f′(x) ﹣ 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知:f(x)在[,e]上的单调递增区间为最小值为又(3)
=
=﹣,
,f(e)=2e,故最大值为2e.
,
2
2
2
,单调递减区间为.
由题意可知g(x)在(1,e)上为单调减函数,∴g′(x)≤0恒成立,即2xlnx﹣(2m+n)≤0,
2
∴2m+n≥2xlnx. ∴
2
.
∴n≥﹣2m+2e.
22
∵存在实数m∈[﹣2,2],使得上式成立,∴n≥(﹣2m+2e)min=﹣4+2e,
2
∴n的取值范围是[﹣4+2e,+∞).
点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能,属于难题.
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