清华大学版理论力学课后习题答案大全 第6章刚体平面运动分析

6－1 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度0= 0，转角0= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。

解：xA(Rr)cos yA(Rr)sin

为常数，当t = 0时，0=0= 0 （1） （2）

12t 2（3）

起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记OAP，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过

A

因动齿轮纯滚，故有CP0CP，即 Rr RRr， A rr

习题6-1图

（4）

将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：

2x(Rr)costA22 yA(Rr)sint

21Rr2tA2r

6－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。

解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为

B C h B C h A vo P   vC AB A v0

ABvvcosv0cos00APACh

2

习题6－2图

习题6－2解图

6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度A与B有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。

vAv RRvv BB

2R2RA2B

解：AvB = v B A

习题6-3图

习题6-3解图

vA = v

6－4 直径为603mm的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。

— 1 —

解：杆BC的瞬心在点P，滚子O的瞬心在点D vBBDBCvBBD BPBPO P B C vB O  BC B C    12603cos30 270sin308rad/s

 D vC  vCBCPC

80.27cos301.87m/s

习题6-4图

习题6-4解图

6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。

D A A B C O O1 B C O 习题6-5图

 O1 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。

图（b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。

vD vB B vA A D vA A vB O1 B 习题6-5解图

vC C O vC C O  O1 (a) (b) P

6－6 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =

1AB，曲柄OA的角速度= 3rad/s。试求当示。= 90°2AA而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。

解：杆AB的瞬心在O

ABvA3rad/s OAvB35.2rad/s l

习题6-6图

ABlO2lBB vB3l O1B

O1O1B

习题6-6解图

— 2 —

6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？

解：如图

vA0.81.333rad/s

0.90.30.68 vO0.9O0.91.2m/s

6 O卷轴向右滚动。

习题6-7图

6－8 图示两齿条以速度v1和v2作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，求齿轮的角速度及其中心O的速度。

解：如图，以O为基点： v1vOOr

A O v1 A O v1 vO v2vOOr

解得：

O v1v2 2vvO12

2rvOB v2 B v2 习题6－8图 习题6－8解图

6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 20037mm。

vAAO

习题6－9图

解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1．当= 90°，270°时，OA处于铅垂位置，图（a）表示= 90°情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0

同理，= 270°时，vDE = 0

2．= 180°，0°时，杆AB的瞬心在B = 0°时，图（b），vCvA（↑） 此时CD杆瞬时平移

vDEvDvCvA4m/s（↑） 同理= 180°时，vDE = 4m/s（↓）

1212C90ovCvBDBE

vA(a)

OvCACvDvDEDBE

(b)

习题6－9解图

6－10 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。

— 3 —

解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点P OvO2040rad/s r0.5B OA vO A B vB OvO A vA A C O vAO2r202m/s

ABvA202sin45AP1.5cos102=14.1 rad/s

AB 习题6－10图

P 习题6－10解图 vBcosvAcos(45)

vB202(cos45sin45tan)12.9m/s

6－11 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。

解：轮B瞬心在F点 vE = vC BvE60210311 vDvBvEvC0.06m/s

22

0.121rad/s 0.12F

习题6－11图

6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CA⊥DE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 2003mm。试求当= 90°时（这时OA与CA成60°角）F、G两点的速度的大小和方向。

FF

DD Cr60O

EGG

E

习题6－12图

习题6－12解图

解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。

πn1.4π10.7m/s vevAπm/s 30323v0.7π7π7π eerad/s vEvD0.254em/s

CA30.41248eAeA vAOA0.2 vGvEcos30

7π30.397m/s（→） vFvG0.397m/s（←） 4826－13 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA水平，其角速度 = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：

（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB的角加速度。

— 4 —

解：

（1） 圆轮的角速度和角加速度

vAOA40cm/s

杆AB瞬时平移，AB = 0

B vB O A vA C aA B aBA tC vBvA40cm/s

vBB8rad/s

rnaBaBA0

aBB0

r（2）杆AB的角加速度。

(a) O 习题6－13解图

aA (b)

A

ttaAOA280cm/s2 aAaBA0，aBAAB

taBA4rad/s2 AB6－14 图示机构由直角形曲杆ABC，等腰直角三角形板CEF，直杆DE等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE杆绕D轴匀速转动，角速度为0，求图示瞬时（AB水平，DE铅垂）点A的速度和三角板CEF的角加速度。

解：

（1）求点A的速度

O vEDE0a0三角板CEF的速度瞬心在点F

vC

vE

n aFan EaFE t aFt aFEaE

vA

vCvEa0

曲杆点O

ABC的速度瞬心在

(a)

(b)

习题6—14解图

vAvCOA2a0 OCtntnaFaFaEaFEaFE

（2）求三角板CEF的角加速度

将上式沿水平方向投影

ntaFaFE0（因为vF = 0）

CEF

taFE0 FE 6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C以铰链与CD相连接，DE杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度ω8rad/s，且OA25cm，DE100cm，若当B、E两点在同一铅垂线上时，O、A、B三点在同一水平线上，CDE90，求杆DE的角速度和杆AB的角加速度。

— 5 —

解：

（1）求杆DE的角速度

vAOA200cm/s

杆AB的速度瞬心在点B

vA

vC vD

aA

aA

n aBAt aBAaB

v vCA100cm/ s2对杆CD应用速度投影定理

vDvCsin3050cm/s

DE（2）求杆AB的角加速度

tvD0.5rad/s DEn(a)

(b)

习题6—15解图

aBaAaBAaBA 将上式沿铅垂方向投影

0a

tBA， ABtaAB0 AB 6－16 试求在图示机构中，当曲柄OA和摇杆O1B在铅垂位置时，B点的速度和加速度（切向和法向）。

2

曲柄OA以等角加速度0= 5rad/s转动，并在此瞬时其角速度为0= 10rad/s，OA = r = 200mm，O1B = 1000mm，AB = l = 1200mm。 解：1．v：vAr0

vA

vB

vB//vA ∴ AB0

vBr00.2102m/s （1） 2．a：aBaBaAaAaBA 上式沿AB方向投影得：

ntnttaBcosaAsinaAcos aBsintntnaBaAtanaAaBtanntnt

(a)

t aAt aBA即

2r00.169r02v0.169O1B2B

nA22

)0.1690.253.70m/s 10.20.2 （tan0.169）

221.41.20.2 (0.2102a

tn aA aB aAn aBt

(b)

n aB22

4m/s 1nB22a4m/s aB：aB（方向如图）

t2aB3.7m/s

6－17 图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等

角速度0转动，连杆AB长l = 4r。设某瞬时∠O1OA =∠O1BA = 30°。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度，并求连杆中点P的加速度。 解：1．v：vAr0

习题6－16解图

vB

由速度投影定理知：vB = 0 O1B0 ABr00vA ABl4(a)

vA

— 6 —

2．a：aBaBaAaBAaBA 上式向aA投影

aBcos60aAaBA

tn22 aB2(aAaBA)2(r0lAB)

222 2r04r(4)2r0

taBO1BtaB5r2cos30tntt aBAtnaB aA

n aBAt aPA05aA

OB1523r0t2acos30322B05r5r2n aPAaA

(b)

习题6－17解图

352532r0r0 224nt aPaAaPAaPA

ttaBAaBcos302 aAr0，aPA2rABn21t532r2taBAr0 0，aPA28812532222 aP(aAa)(a)(1)( )(r0)1.56r088n2PAt2PA

6－18 滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm，轮子半径r =200mm。当AB与铅垂线成角 =30时，求此时点A的加速度及连杆、轮子的角加速度。

解：1．v：点O为杆AB的速度瞬心

vvB ABB5rad/s

OBlsin 2．a：aAaABaAB

n2aABABl20m/s2 tnaABaABcot203m/s2

vA A r nt l B vB O (a)

t aAB ABtaAB20343.3rad/s2 l0.8aA A n aABr naABaA40m/s2

sin l AaA40200m/s2 r0.2B (b)

解图 习题6-18

6-19 图示曲柄摇块机构中，曲柄OA以角速度0绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动；摇块

及与其刚性连结的BD杆则绕B铰转动，杆BD长l。求在图示位置时，摇块的角速度及D点的速度。

— 7 —

解：

vA vAOA0

A vD D vBAvAsin30vA2

0 O vB 30 vA vBA B C

v摇块ACBA0

2OA4lvDDB摇块0

4

习题6-19解图

6-20 平面机构的曲柄OA长为2a，以角速度0绕轴O转动。在图示位置时，AB＝BO且 OAD = 90。求此时套筒D相对于杆BC的速度。

解：1．分析滑块B

vA2a0，vBea0

vA vBe vBa A vBavBe2a0 cos3034a0

3B vBr 60 D vDr vDe vDa C

0 O 2．杆AD作平面运动

vAvDacos30，vDa3．分析滑块D

习题6-20解图 vDevBa2a02a0，vDrvDavDe 33

6-21曲柄导杆机构的曲柄OA长120mm，在图示位置AOB=90时，曲柄的角速度 =4rad/s，角加速度 = 2 rad/s2。试求此时导杆AC的角加速度及导杆相对于套筒B的加速度。设OB=160mm。

解：1．v：分析滑块B（动系） A vAvAOA vavBvAcosOAcosvrvBAvAsinOAsin2 O   vB vBA B vBAOAsin2sinABOA 2．a：分析滑块B（动系）

tn2 aAOA，aAOA

vA (a) AC a A n aAtA vr C a B t aAnBA t aBA

aaaBaaaaCartAnAnBAatBA

O   将上式沿AC方向投影(tan1203)

1604 (b) ar aC aA naracosasinatAnAnBA2OAcosOA2sinACOAsin习题6-21解图

C

545.28mm/s2ttn将加速度的矢量方程沿垂直AC的方向投影：aBAaAsinaAcosaC

ttnaBAaAsinaAcosaC574.08mm/s2，ACaBA2.87rad/s2

tAB — 8 —