彭洪江;陈盛双;曾延安
【摘 要】Through comparatively analysing traditional denoising algorithms of soft and hard threshold function,it is found that the hard threshold function has discontinuity points,while the soft threshold function causes the loss of part of high frequency information in the area where absolute value of the wavelet coefficients is large.To solve the above problems,we present a new improved threshold function denoising algorithm.By making use of classical threshold denoising procedure,it employs new threshold function to retain or shrink the wavelet coefficients derived from decomposition,and then reconstructs the image using new wavelet coefficient derived.Different types of noise are added to verify the improved algorithm.Experimental results show that the new threshold function denoising algorithm is more effective than ordinary ones,and the image obtained from new threshold function denoising has greater PSNR and smaller MSE.The value of PSNR improved 1.97 times and the one of MSE declined by 54.4%.%通过比较分析传统软、硬阈值函数降噪的算法发现：硬阈值函数存在间断点的问题，而软阈值函数在小波系数绝对值较大的区域引起部分高频信息损失。针对以上问题，提出一种新的阈值函数降噪算法。利用传统的阈值降噪步骤，使用新阈值函数将分解得到的小波系数进行保留或者收缩处理，然后将得到的新小波系数进行图像的重构。添加不同类型的噪声对改进的算法进行验证。实验结果表明，新的阈值函数降噪算法比普通算法更有效，通过新的阈值函数降噪
得到的图像，有更大的峰值信噪比（PSNR）和更小的均方误（MSE），PSNR 的值最大提高了1．97倍，MSE 的值最大下降了54．4％。 【期刊名称】《计算机应用与软件》 【年(卷),期】2015(000)010 【总页数】4页(P188-191)
【关键词】阈值函数;图像降噪;小波分析 【作 者】彭洪江;陈盛双;曾延安
【作者单位】武汉理工大学理学院 湖北 武汉 430070;武汉理工大学理学院 湖北 武汉 430070;华中科技大学光电学院 湖北 武汉 430074 【正文语种】中 文 【中图分类】TP391.41
随着小波分析近几年的快速发展，小波降噪在图像处理领域占有非常重要的地位。目前国内外研究图像降噪的方法大部分都围绕在小波域的降噪方面，小波域的降噪性能优于基于平滑模块的空域滤波和传统的基于傅里叶变换的频域滤波［7－10］。小波降噪的方法主要有三大类，即模极大值法、小波系数相关法、阈值降噪算法等。阈值降噪是一种非常简洁，而且效果明显的降噪算法，针对阈值函数的研究也是学者们研究的重点。自从1995年，Donoho等人提出使用小波降噪的方法可以得到更好的信号降噪效果［1，2］。但硬阈值函数由于存在间断点，在图像的某些区域会出现不连续的现象，而软阈值因为把含有较多的图像信息较大的小波系数收缩后，造成部分高频信息的损失。针对以上的缺点，随后，Bruce等人在其基础上提出一种半软阈值改进算法［3］。半软阈值在一定程度上解决Donoho等人提出的
软、硬阈值算法缺点，但并未解决硬阈值间断点的问题。近几年，赵银善等人也提出改进的阈值算法［6，7，14］，对传统的硬阈值降噪方法进行了平滑，使得部分信号有更好的连续性；刘卫东等人在针对局部放电信号的噪声特性，提出双变量阈值函数的改进方法［15］，使得阈值降噪在局部放电信号的处理中发挥很好的作用。但始终没有一种最好的方法能解决阈值算法存在的这些问题，只能争取到最优。本文在总结了软硬阈值算法的优缺点和国内外几种改进的阈值函数基础上，提出一种新的阈值函数降噪算法，它解决了硬阈值存在间断点的问题，同时使得高频信号损失更少，对比传统软、硬阈值函数和两种改进的阈值函数的降噪效果。 设一副图像的灰度值为f（x，y），则含有加性白噪声的图像可以表示为： 其中s（x，y）是表达图像信息的函数，n（x，y）则是代表噪声的函数。 对式（1）进行小波变换得到一系列的小波系数，阈值降噪算法的原理就是对这些小波系数进行处理，设置一个门限为T，当小波系数大于门限值时，就对其进行保留或者收缩处理，小于T的小波系数就置为0，然后将新的小波系数进行重构得到新的图像。
小波阈值降噪算法最初由Donoho等人提出［8］，在发展初期，两种普遍被学者们接受的算法是硬阈值和软阈值函数降噪方法。其中硬阈值法表示为：
硬阈值法在理论上能很好地去除噪声，但同时将丢失更多细节的信息，而软阈值法可以弥补这一缺点，软阈值法表示为：
但是软阈值在去噪方面表现不如硬阈值法好。很多学者在对图像进行降噪研究的时候力求兼顾两种方法的优点，同时使得以上两种方法的缺点得到弱化。因此很多人在研究小波阈值降噪的时候选择的软、硬阈值的折中［9，14，15］。 2.1 阈值函数的提出
目前提出的改进阈值函数中，很大一部分归结起来都是软硬阈值折中，而没有考虑在小波系数较小的部分更应该使用接近软阈值函数降噪，同时能够克服硬阈值函数
存在间断点的问题，在小波系数较大的一部分区域内使用硬阈值降噪以求保留更多的细节信息。基于以上问题，本文提出一种新的阈值函数会使得小波降噪有更优良的效果。改进的方法如下：
下面证明：新的阈值函数f（x）在小波系数较小的区域接近于软阈值函数，而在小波系数较大的区域接近于硬阈值函数。 当x∈［T，＋∞）且a＞0时，令g（x）＝exp 2.2 阈值的选取
阈值的设定可分为全局阈值算法和分层阈值算法。全局阈值算法顾名思义就是在使用小波进行图像降噪时，在所有尺度上使用同一阈值［2］。小波分解尺度的增大使得图像的信号信息小波系数增大，而噪声则相反，它随着尺度增大而使得含有噪声的小波系数减小［16］。所以使用全局阈值算法不能在低尺度层去除更多噪声，相反，在高尺度层信号信息也会丢失。所以本文采用分层阈值算法。首先，通过各层的高频系数得到噪声的方差估计：，这里Dj为j层对角细节分量的系数。然后根据选取由Donoho等人提出的多分辨率阈值Tj＝σ作为判决阈值。 2.3 算法步骤
新阈值函数的提出，使得小波阈值降噪领域多了一个可供选择的性能较好的阈值选择函数。算法步骤如下：
1）读取原始图像并且对该图像添加高斯白噪声；
2）确定小波母函数、确定小波分解的层数，对含噪图像进行小波分解； 3）估计第一层噪声的方差，并确定阈值门限，使用新的阈值函数对分解的小波系数进行阈值变换；
4）重复第3步直到小波分解的最后一层； 5）使用小波函数对图像进行重构； 6）结束。
算法的基本步骤与一般的小波分解与重构步骤类似，本文的核心部分在于算法的第3步阈值函数的改进。
在MATLAB的实验环境中，进一步验证改进的阈值函数的去噪性能，我们选取lena作为实验的标本。图片尺寸为256× 256。使用小波函数‘db4’对图像进行3层分解，使用新阈值函数对小波系数进行变换之后，得到重构图像。
对于图像降噪效果的评价，我们采取经典的峰值信噪比作为衡量指标，其中MSE＝，MSE的值越小，说明图像含有噪声越少，降噪的效果越明显，而峰值信噪比的数值则相反，PSNR越大，说明图像含有噪声越少，质量越好。
在MATLAB图片库中读取图像并添加噪声方差为20的高斯白噪声图像如图1所示。图2为本文算法的实验结果。
以上两幅图是新算法得到的降噪前后对比图。经过新的阈值函数处理之后，大部分噪声得到去除。软阈值降噪相对于硬阈值降噪算法来说，有更好的平滑性；但软阈值降噪使得图像边缘有一定的模糊，在人脸的眼角和鼻子下端等部位有一定程度的模糊。文献［4，6］以及本文提出的改进阈值算法都不同程度地解决了软硬阈值存在的缺陷。
在不同高斯噪声水平下，不同阈值函数的降噪能力也不同。通过对比其他阈值降噪方法得到如表1的结果。
在噪声一定的时候，当a＝850时，新的阈值函数获得最大的峰值信噪比。当噪声水平为15时，初始峰值信噪比为24.59，经过硬阈值处理，图像的峰值信噪比增加为28.15，能去除大部分噪声，图片质量得到改进。软阈值处理使得峰值信噪比增加到28.18，去除了更多的噪声。而文献［4，6］的改进阈值函数综合了软硬阈值的优势，经过处理之后能将峰值信噪比均比传统的软、硬阈值降噪算法大。通过对比发现，本文提出的改进阈值得到的峰值信噪整体比其他阈值降噪得到的峰值信噪比大，通过计算得到，另一衡量指标MSE在同样的噪声水平下由原始的
225.65下降为86.70，下降了54.4%。说明本文提出的方法能够取得更好的效果。如图3所示。
图中横坐标代表噪声方差水平，纵坐标表达峰值信噪比。从图中可以看出，硬阈值的降噪性能总体上不如其他阈值函数降噪性能好。从图中还可以发现在噪声水平从25变化到30的区域内，本文提出的阈值函数有更好的效果，说明在本文提出的阈值函数更能适用于噪声较大的情况下图像的降噪。
为了验证改进的算法在其他类型的噪声中也具有良好去噪性能，进行了另一组实验，在这组实验组添加了不同强度的乘性噪声得到结果如表2所示。
从表2中可以看出，对于被乘性噪声污染的图像，改进的算法得到峰值信噪比在原始峰值信噪比较高时（即噪声较小时），去噪能力与文献6中所提出的算法相差不大，但比文献［4］中提出的算法效果更明显。在噪声较大时，本文提出的算法均比文献［4］和文献［6］提出的算法有更好的效果。当原始峰值信噪比为16.75时，本文提出的改进算法得到的峰值信噪比为23.81，而文献［6］提出的算法的都的结果次之，为22.97。说明本文的改进算法在乘性噪声较大时也具有更好的降噪效果。
此外，对原始图像添加加性椒盐噪声，得到各算法如表3所示的结果。 从表3可以看出，本文改进的算法在被椒盐噪声污染的图像中去噪也能得到比普通算法更良好的效果。
对比表1和表2，小波阈值去噪算法对含有椒盐噪声图像的去噪能力比对高斯加性白噪声图像或乘性噪声图像的去噪能力弱。这主要是因为椒盐噪声表现为块状的亮斑或暗斑，在使用小波阈值去噪的过程中，这些块状的斑点边缘被认为是图像的边缘，而小波阈值去噪希望尽可能保留更多图像的边缘细节信息，这些椒盐噪声在去噪的过程中被保留下来。
为了更直观地比较改进的算法对含有椒盐噪声图像的去噪能力的区别，通过
MATLAB计算得到降噪后的峰值信噪比图像如图4所示。
从图4中可以知道，在同一原始峰值信噪比情况下，本文的改进算法对被加性高斯白噪声或乘性噪声污染的图像的去噪能力明显高于对被椒盐噪声污染的图像的去噪能力。
实验表明：本文提出的改进的阈值函数，不仅能在克服硬阈值函数存在间断点的问题和软阈值函数在小波系数较大的区域内造成高频信息丢失的问题，而且吸取了软、硬阈值函数的优点。本文还证明了，改进阈值函数在小波系数较小的区域内接近软阈值降噪，在小波系数较大的区域内，接近硬阈值降噪。利用客观的评价指标得到结果显示，对于不同类型的噪声，在噪声水平较大时，和其他阈值函数相比，本文提出的改进阈值函数有更好的降噪性能。
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