湖北省十堰市2019届高三模拟试题文科数学学科(带解析)

文科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．[2019·台州期末]设复数z满足iz2i，其中i为虚数单位，则复数z对应的点位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限 B（ ）

2．[2019·合肥一模]集合Axx2x20，Bxx10，则AA．xx1

B．x1x1

C．xx2

D．x2x1

3．[2019·通州期末]设向量a3,4，b0,2，则与ab垂直的向量的坐标可以是（ ） A．3,2

B．3,2

C．4,6

D．4,6

24．[2019·黄山一模]直线2xy30与y轴的交点为P，点P把圆x1y236的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

5．[2019·揭阳毕业]若alog23，blog48，clog58，则a，b，c的大小关系为（ ） A．abc

B．acb

C．bac

D．cba

6．[2019·长沙一模]我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势即同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）

1

A．84π 3B．8π C．82π 3D．4π 2ππ7．[2019·恒台一中]将函数fxsin2x的图象向右平移个单位长度得到gx图像，则下列判断错误

32的是（ ）

ππA．函数gx在区间,上单调递增

122ππC．函数gx在区间,上单调递减

63B．gx图像关于直线x7π对称 12π

D．gx图像关于点,0对称

3

8．[2019·长沙一模]下面程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在◇和可以分别填入（ ）

两个空白框中，

A．A1000和nn1 C．A1000和nn1

B．A1000和nn2 D．A1000和nn2

π3π9．[2019·厦门质检]已知锐角满足cos，则sin2（ ）

653A．

12 25B．12 25C．

24 25D．24 2510．[2019·跃华中学]如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（ ）

2

A．31 2B．31 3C．23 2D．23 3x2y211．[2019·合肥一模]设双曲线C:221a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双

ab曲线左右两支于点M，N，连结MF2，NF2，若MF2NF20，MF2NF2，则双曲线C的离心率为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 x3a,x2x112．[2019·南阳质检]已知函数fx恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）

aex,2x0x21A．,

3312B．,2

3e11C．,2

ee11D．,

e3 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．[2019·西城期末]在△ABC中，a3，b26，B2A，则cosA______． 14．[2019·东台中学]已知平面，，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥，n∥，mn，则；②若∥，m∥，n∥，则m∥n； ③若m，n，mn，则；④若，m，n，则mn． 其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．

15．[2019·永春二中]甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．

16．[2019·清远期末]对于三次函数fxax3bx2cxda,b,c,dR,a0有如下定义：设fx是函数

fx的导函数，fx是函数fx的导函数，若方程fx0有实数解m，则称点m,fm为函数yfx的“拐点”．若点1,3是函数gxx3ax2bx5a,bR的“拐点”，也是函数gx图像上的点，

则当x4时，函数hxlog4axb的函数值是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

3

17．（12分）[2019·广东期末]已知数列an是递增的等差数列，a37，且a4是a1与27的等比中项． （1）求an； （2）若bn

18．（12分）[2019·鄂尔多斯期中]某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试，从中随机抽取100名学生的测试成绩，制作了以下的测试成绩X（满分是184分）的频率分布直方图．

1anan1，求数列bn的前n项和Tn．

市教育局规定每个学生需要缴考试费100元．某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工，划定的招聘录取分数线为172分，且补助已经被录取的学生每个人400100X172元的交通和餐补费．

（1）已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分，求技能测试成绩X的中位数，并对甲、乙的成绩作出客观的评价；

（2）令Y表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和，把Y用X的函数来表示，并根据频率分布直方图估计Y800的概率．

4

19．（12分）[2019·贵州联考] 如图，在底面是正方形的四棱锥中PABCD中，M是PB的中点，AB2，PA2，点P在底面ABCD的射影O恰是AD的中点．

（1）证明：平面PAB平面PAD； （2）求三棱锥MPDC的体积．

x2y21过点P2,1． 20．（12分）[2019·东城期末]已知椭圆C:22a（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；

5

（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．

21．（12分）[2019·东城期末]已知函数fxaxexx22x． （1）当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

（2）当x0时，若曲线yfx在直线yx的上方，求实数a的取值范围．

6

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

xcosxt[2019·武汉六中]已知直线l：（t为参数），曲线C1:（为参数）．

ysiny33t7

（1）设l与C1相交于A，B两点，求AB； （2）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的

31倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是

22曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

[2019·厦门期末]函数fxax2，其中aR，若fxa的解集为2,0． （1）求a的值；

（2）求证：对任意xR，存在m1，使得不等式fx2f2xm

1成立． m18

答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的． 1．【答案】D 【解析】z2i12i，该复数对应的点为1,2，它在第四象限中．故选D． i2．【答案】C

【解析】解得集合Axx2x10x1x2，Bxx1， ∴ABxx2，故选C． 3．【答案】C

【解析】ab3,2；可看出4,63,20；∴4,6ab．故选C． 4．【答案】A

【解析】令x0代入2xy30可得P0,3，圆心坐标为1,0， 则P与圆心的距离为132，半径为6，

可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2． 故选A． 5．【答案】A

1【解析】由于blog48log28log28log29a，即ab．

211c，即bc．∴abc，故选A． 由于blog48log84log886．【答案】B

1【解析】结合三视图，还原直观图，故V23π1228π，故选B．

2

7．【答案】C

1

ππ【解析】由题意，将函数fxsin2x的图象向右平移个单位长度，

322π可得gxsin2x，

3πππ2ππx，则2x， 122233ππ则函数gx在区间,上单调递增是正确的；

1227π2ππ7π7π对于B中，令x，则gsin2sin1， 12321212对于A中，由

∴函数gx图像关于直线x对于C中，7π对称是正确的； 12ππ2πx，则π2x0， 633ππ则函数gx在区间,上先减后增，∴不正确；

63π2πππ对于D中，令x，则gsin20，

3333π∴gx图像关于点,0对称是正确的，故选C．

38．【答案】D

【解析】∵要求A1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“又要求n为偶数，且n的初始值为0，∴“∴D选项满足要求，故选D． 9．【答案】C

π3π【解析】∵锐角满足cos，∴也是锐角，

656”内不能输入“A1000”，

”中n依次加2可保证其为偶数，

ππ4由三角函数的基本关系式可得sin1cos2，

665πππ24则sin22sincos，故选C．

3662510．【答案】C 【解析】如图，

设一个内切圆的半径为r，则AHBG3r，

2

则MNGH2r，ABAHBGGH2正三角形MNP与正三角形ABC相似，

31r，

则在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是： PS△MNPS△ABCMNAB222r23．故选C．

231r211．【答案】B

【解析】结合题意可知，设MF2x，则NF2x，MN2x， 则结合双曲线的性质可得，MF2MF12a，MF1MNNF22a， 代入，解得x22a，∴NF12a22a，NF222a，F1NF245， 对三角形F1NF2运用余弦定理，得到

2a22a222a22c22a22a22acos45，

2解得ec3．故选B． a12．【答案】D 【解析】方程∴方程exx3a0x2①至多有一个零点， x1a02x0至少有两个零点． xa令gxex，2x0．

x若a0，则gx为2,0上的增函数， 故exa02x0至多有一个零点，舍去； xxax2exa若a0，则gxe2，

xx2令hxx2ex，则hxx22xex0，

hx为2,0上的减函数，故0x2ex若a4， e24，则gx0，gx为2,0上的减函数， 2ea故ex02x0至多有一个零点，舍去；

x4若2a0，则gx0在2,0有解xx0，

e当x2,x0时，g'x0；当xx0,0时，g'x0，

3

故gx在2,x0上单调递增，在x0,0单调递减， ∴exa02x0在2,0上只能有两个零点， xx0aex00412a0故e2，解得a2．

ee2ae02x2ex0a00又方程x3a213a0x2有一个零点，故2，故a， x13a13311综上，a，故选D．

e3

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6 3【解析】∵a3，b26，B2A，∴由正弦定理可得∴cosAb2666．故答案为． 2a2333abb， sinAsinB2sinAcosA14．【答案】③④

【解析】对于①，若m∥，n∥，mn，则∥或，相交， ∴该命题是假命题；

对于②，若∥，m∥，n∥，则m，n可能平行、相交、异面， ∴该命题是假命题；

对于③④可以证明是真命题．故答案为③④． 15．【答案】乙

【解析】先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，

（1）如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的， 丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请．

（2）如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意． 故答案为乙． 16．【答案】2

4

【解析】gx3x22axb，gx6x2a， 由拐点定义知x1时，g162a0，解得a3， 而g13，即1ab53，解得b4， ∴hxlog43x4，h4log4162，故答案为2．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）an2n1；（2）2n33．

2【解析】（1）设an的公差为d，且d0，

a37a37据题意则有2，即， 2a27a41a3d27a32d∵d0，解得d2，∴ana3n3d2n1． （2）bn1anan11212n12n3122n32n1，

前n项和Tn1253752n12n12n32n1

2n33．

18．【答案】（1）中位数168.25，甲的成绩与中位数接近，乙的成绩超过中位数；（2）0.12． 【解析】（1）技能测试成绩X的中位数为x0分，

则0.050.074x01680.080.5，解得x0168.25， ∴甲的成绩与中位数接近，乙的成绩超过中位数．

160X172100,（2）根据题意可得Y，

400100X172,X172∵Y800X176，

由频率分布直方图估计X176的概率为0.0240.0140.12， ∴根据频率分布直方图估计得，Y800的概率为0.12． 119．【答案】（1）见解析；（2）．

3【解析】（1）证明：依题意，得PO平面ABCD， 又AB平面ABCD，∴POAB． 又ABAD，POADO，∴AB平面PAD．

5

又AB平面PAB， ∴平面PAB平面PAD．

（2）∵PO平面ABCD，O为AD的中点，∴△PAD为等腰三角形， 又AD2，PA2，∴PO1，PD2，S△BCD2．

∵点M是PB的中点，∴M到平面PDC的距离等于点B到平面PDC距离的一半， 1111111VMPDCVBPDCVPBCDS△BCDPO21，

22232331即三棱锥MPDC的体积为．

320．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

x2y21过点P2,1，可得a28． 【解析】（1）由椭圆方程椭圆C:22ax2y2631，离心率e∴ca2826，∴椭圆C的方程为．

8222222（2）直线AB与直线OP平行．证明如下： 设直线PA:y1kx2，PB:y1kx2， 设点A的坐标为x1,y1，Bx2,y2，

x2y21由8得4k21x28k12kx16k216k40， 2ykx2k18k28k28k28k2∴2x1，∴x1，同理x2，

4k2114k24k2116k∴x1x22，

4k18k2k1由y1kx12k1，y2kx22k1，有y1y2kx1x24k∵A在第四象限，∴k0，且A不在直线OP上．∴kAB又kOP1，故kABkOP，∴直线AB与直线OP平行． 28k， 4k21yy211， x1x2221．【答案】（1）yx；（2）1,． 【解析】（1）当a1时，fxxexx22x， 其导数fxexx12x2，f01．

又∵f00，∴曲线yfx在点0,f0处的切线方程为yx． （2）根据题意，当x0时，

“曲线yfx在直线yx的上方”等价于“axexx22xx恒成立”，

6

又由x0，则axexx22xxaexx10ax1， xex1恒成立； xex1x设gxx，则gxx，

ee则原问题等价于a又由x0，则g'x0，则函数gx在区间0,上递减， 又由g0若ax11，则有1， 1x0eex1恒成立，必有a1， ex即a的取值范围为1,．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）AB1；（2）236． 4【解析】（I）直线l的普通方程为y3x1，C1的普通方程x2y21． 13y3x1,联立方程组，解得l与C1的交点为A1,0，B，则AB1． 2222xy11xcos132cos,sin（2）曲线C2的参数方程为（为参数），故点P的坐标为2， 23ysin233cossin3222从而点P到直线l的距离是d3π2sin2， 44236π由此当sin1时，d取得最小值，且最小值为．

4423．【答案】（1）a2；（2）见证明．

【解析】（1）由题意知a0不满足题意，当a0时，由ax2a得aax2a， 21222a∴1x1，则，则a2．

aa120a（2）设gxfx2f2x2x24x2，

对于任意实数x，存在m1，使得不等式fx2f2xm1， m17

1只需gxminm，

m1min6x,x111∵gx2x4,x1，当x时，gxmin3，

2216x,x2由m11m113，仅当m2取等号． m1m1∴原命题成立．

8