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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积及其应用
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·海门模拟）向量a＝（3,4）在向量b＝（1，－1)方向上的投影为________． 解析：∵向量a＝(3，4),b＝（1，－1）， ∴向量a在向量b方向上的投影为 ｜a|cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!. 答案:－错误!
2．（2018·江苏百校联盟联考)已知平面向量a,b的夹角为错误!，且a·（a－b)＝8，｜a|＝2，则｜b｜＝________.
解析：因为a·(a－b)＝8,所以a·a－a·b＝8, 即｜a｜－|a｜|b｜cos
2
a，b＝8，
所以4＋2|b｜×错误!＝8，解得|b｜＝4。 答案：4
3．(2018·苏州期末）已知a＝(m，2），b＝(1，n），m＞0，n＞0，且|a｜＝4，|b|＝2，则向量a与b的夹角是________．
解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈［0，π］，
∵a＝(m，2），b＝（1,n)，m＞0，n＞0，且|a｜＝4，｜b|＝2， ∴m＋4＝16,1＋n＝4，解得m＝2错误!，n＝错误!. ∴a·b＝m＋2n＝4错误!＝4×2×cos θ， ∴cos θ＝错误!，则向量a与b的夹角是错误!。 答案：错误!
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4．(2018·滨海期末）已知向量a＝(－1，3),b＝(3,t),若a⊥b，则｜2a＋b｜＝________。 解析：∵向量a＝（－1，3），b＝(3,t)，a⊥b， ∴a·b＝－3＋3t＝0，解得t＝1, ∴b＝(3，1）,2a＋b＝(1，7）, 故｜2a＋b|＝错误!＝5错误!. 答案：5错误!
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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 5．（2018·淮安高三期中）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ABC＝60°,则
错误!·错误!＝________.
解析:由题意得错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·(错误!＋错误!)＝错误!＋
错误!·错误!＝4＋2×1×cos 120°＝3。
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答案:3
6．(2018·南通一调)已知边长为6的正三角形ABC，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!,AD与BE交于点P,则错误!·错误!的值为________．
解析：如图,以D为原点,以BC为x轴，AD为y轴，建标系，则B(－3，0），C（3,0)，D（0,0)，A(0，33）,E(1， 所以错误!·错误!＝｜错误!｜＝错误!＝错误!。
答案：错误!
二保高考，全练题型做到高考达标
1．（2018·淮安调研)已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x）,若2a－b与b垂直,则|a|＝________。
解析：由已知得2a－b＝（3,x),而（2a－b)·b＝0⇒－3＋x＝0⇒x＝3，所以|a|＝错误!＝错误!＝2.
答案：2
2．(2019·如皋模拟）已知平面向量a与b的夹角为60°， a＝（3,4），|b|＝1,则|a－2b｜＝________。
解析：∵a＝（3，4),∴｜a｜＝3＋4＝5,
又｜b|＝1,∴a·b ＝|a|·｜b|cos 60°＝5×1×错误!＝错误!, ∴｜a－2b|＝a＋4b－4a·b＝25＋4－10＝19， 则|a－2b|＝错误!. 答案：19
3．(2018·苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a｜＝｜b｜＝|a＋b｜，则a与2a－b夹角的余弦值为________．
解析：因为非零向量a,b满足|a|＝|b｜＝|a＋b|,所以a＝b＝a＋2a·b＋b,a·b＝－
错误!a＝－错误!b，所以a·（2a－b）＝2a－a·b＝错误!a，｜2a－b|＝错误!＝错误!＝错误!｜
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立平面直角坐2错误!)，P错误!，
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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 a·2a－b
a|，cos〈a,2a－b>＝＝错误!＝错误!＝错误!。
|a|·|2a－b｜
答案:错误!
4．（2018·泰州中学高三学情调研)矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足
PA＝3，PC＝4，矩形对角线AC＝6,则错误!·错误!＝________。
解析：由题意可得错误!·错误!＝（错误!＋错误!)·（错误!＋错误!)＝错误!＋错误!·错误!＋
错误!·错误!＋错误!·错误!＝9＋错误!·(错误!＋错误!）＋0＝9＋错误!·错误!＝9＋3×6×cos
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（π－∠PAC)＝9－18×错误!＝9－18×错误!＝－错误!.
答案：－错误!
5．（2018·苏锡常镇调研）已知菱形ABCD边长为2,∠B＝错误!，点P满足错误!＝λ错误!，
λ∈R，若错误!·错误!＝－3，则λ＝________.
解析：法一:由题意可得错误!·错误!＝2×2cos 错误!＝2，
错误!·错误!＝(错误!＋错误!） ·(错误!－错误!)
＝（错误!＋错误!)·［（错误!－错误!）－错误!] ＝（错误!＋错误!）·［(λ－1)·错误!－错误!］
＝(1－λ）错误!－错误!·错误!＋（1－λ)错误!·错误!－错误! ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， 所以λ＝错误!。
法二：建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(2,0），C（1，错误!），D(－1，错误!)．
令P（x，0），由错误!·错误!＝(－3，错误!）·（x－1，－3＝－3x＝－3得x＝1.
因为错误!＝λ错误!，所以λ＝错误!. 答案:错误!
6．(2018·苏北四市调研）如图,在平面四边形ABCD中，且OA＝3，OC＝5.若错误!·错误!＝－7,则错误!·错误!＝
－3）＝－3x＋3
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O为BD的中点,
________.
解析:错误!·错误!＝（错误!－错误!）·(错误!－错误!）＝（错误!＋错误!）·(错误!－错误!)＝错误!－错误!，同理，错误!·错误!＝错误!－错误!＝－7，所以错误!·错误!＝错误!－错误!
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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 22
＝错误!－错误!－7＝9。
答案：9
7．（2019·崇川一模）若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b｜＝2，|b｜＝1，则向量a与b夹角的余弦值为________．
解析：∵非零向量a与b满足｜a｜＝｜a＋b｜＝2，|b｜＝1, ∴|a|＝｜a＋b｜＝|a｜＋|b｜＋2a·b， 即a·b＝－错误!｜b|＝－错误!×1＝－错误!， 设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!， ∴向量a与b夹角的余弦值为－错误!. 1答案:－
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8．（2018·盐城期中）如图，在四边形ABCD中,A＝错误!，AB延长CB,CD至点E，F，使得错误!＝λ错误!,错误!＝λ错误!，其中
错误!·错误!＝15，则λ的值为________．
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＝2，AD＝3，分别
λ＞0,若
解析：∵错误!＝错误!－错误!＝λ错误!－λ错误!＝λ错误!＝λ（错误!－错误!)，
∴错误!·错误!＝λ（错误!－错误!）·错误!＝λ(错误!－错误!·错误!)＝λ（9－3)＝15， ∴λ＝错误!。 答案：错误!
9．（2019·通州调研)设两个向量a，b不共线．
(1）若错误!＝a＋b,错误!＝2a＋8b,错误!＝3(a－b），求证：A，B，D三点共线；
（2）若｜a|＝2，｜b｜＝3，a，b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k的值．
解:（1）证明：∵错误!＝错误!＋错误!＋错误! ＝（a＋b）＋(2a＋8b)＋3（a－b) ＝6(a＋b)＝6错误!,
∴错误!与错误!共线，且有公共点A， ∴A,B，D三点共线．
（2)∵ka＋b与a＋kb垂直，
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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 ∴(ka＋b）·(a＋kb)＝0,
∴ka＋(k＋1)｜a|｜b|·cos 60°＋kb＝0， 即3k＋13k＋3＝0， 解得k＝错误!。
10．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6,错误!＝2错误!. （1）若四边形ABCD是矩形，求错误!·错误!的值；
（2）若四边形ABCD是平行四边形，且错误!·错误!＝6,求错误!与错误!夹角的余弦值． 解：（1)因为四边形ABCD是矩形， ―→
所以AB⊥错误!，即错误!·错误!＝0, 又AB＝9，BC＝6，错误!＝2错误!，
所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，
错误!＝错误!＋错误!＝错误!－错误!错误!，
2
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所以错误!·错误!＝错误!·错误!
―→22
＝AD，－错误!错误!·错误!－错误!错误! 22
＝6－×9＝18.
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2
（2)设错误!与错误!的夹角为θ,由(1）得，
错误!·错误!＝错误!·错误!
＝错误!－错误!错误!·错误!－错误!错误! ＝6－ 错误!×9×6×cos θ－错误!×9＝6， 所以cos θ＝错误!.
故错误!与错误!夹角的余弦值为错误!。 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·徐州高三年级期中考试）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若错误!·错误!＝2，则错误!·错误!＝________。
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解析：如图,以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在
直线为y轴建立
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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 平面直角坐标系，则A（2，0)，B（0,2),设P(x，y),由错误!·错误!＝2，可得2x＝2，x＝1，
P为AB上的一点，所以｜错误!|＝2，所以P(1，错误!）,错误!＝(1，错误!)，又错误!＝（－2，
2)，所以错误!·错误!＝－2＋2错误!。
答案：－2＋23
2．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研）如图，已知△直平分线交AC于点P,交BC于点Q。若错误!＝3，错误!＝5，
错误!）·（错误!－错误!）的值为________．
ABC的边BC的垂
则（错误!＋
解析：法一：因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＝2错误!＋
错误!，而错误!－错误!＝错误!,由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误! ＝0，所以（错误!＋错误!）·(错误!－错误!）＝（2错误!＋错误!）·错误!＝2错误!·错误!，又因为Q是
BC的中点，
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所以2错误!＝错误!＋错误!，故2错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·(错误!－错误!)＝错误!－错误!＝9－25＝－16。
法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的,因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．
又|错误!｜＝3，|错误!｜＝5，所以｜错误!｜＝4，cos∠BAC＝错误!, 故错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!, ―→
从而(AP＋错误!）·（错误!－错误!） ＝错误!·（错误!－错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!·错误!－错误! ＝错误!×9＋错误!×3×5×错误!－25＝－16。 答案：－16
3．（2019·姜堰中学调研)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c,向量m＝(cos(A－B)，sin（A－B)），n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝错误!。
（1）求sin A的值；
（2)若a＝4错误!，b＝5，AD⊥BC于D,求错误!·错误!的值．
解:(1） 由m·n＝错误!，得cos（A－B）cos B－sin(A－B)·sin B＝错误!，所以cos A＝错误!.
因为0＜A＜错误!,
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（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（二十七）平面向量的数量积及其应用 文（含解析）苏教版 所以sin A＝1－cos2
A＝错误!。 (2)由正弦定理，得错误!＝错误!， 则sin B＝错误!＝错误!＝错误!. 因为0＜B＜错误!，所以B＝错误!，
所以sin C＝sin(A＋B）＝错误!（sin A＋cos A)＝错误!. 又｜错误!｜＝｜错误!｜sin C＝5×错误!＝错误!，
所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!）·错误!＝－错误!2
＝－｜错误!｜2
＝－错误!.
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