导数与积分在经济分析中的应用

导数与积分在经济分析中的应用

随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数、积分等高等数学知识，都是经济分析中的重要工具。运用导数和积分等知识，可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者科学决策提供依据,本文着重讨论导数、积分等数学概念在经济分析中的简单应用。

标签： 经济分析数学应用导数积分

一、导数在经济分析中的应用

导数是函数关于自变量的变化率，在经济工作中，也存在变化率的问题，著名的边际分析就是用求函数导数的方法，解决边际变化问题的。在经济学中，如果某经济指标与影响指标的因素之间成立函数关系，那么称导数为的边际函数。

1.边际分析。在经济分析中，习惯用“平均”和“边际”两个概念来描述一个经济变量对于另一个经济变量的变化情况。平均的概念表示在自变量的某一个范围内的变化情况;边际概念涉及的某一值的“边缘上”的变化情况。显然，平均值随着的取值范围不同而不同，边际概念表示当的改变量趋于0时，的相应改变量与的比值的变化，即当在某一给定值附近有微小变化时，的瞬时变化率。在日常经济活动中涉及的边际变化有：边际成本、边际收益、边际利润等。

(1)边际成本分析。若生产某种产品q单位时所需要的总成本函数可导，则边际成本定义为。边际成本是总成本函数关于产量q的导数。其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位(即=1)所增加的总成本，因此，边际成本近似地表示为。假设某种产品成本函数C=（C为总成本，q为产量），其变化率=即称为边际成本，(q0)称为当产量为q0时的边际成本。西方经济学家对它的解释是:当产量达到q0时，生产q0前最后一个单位产品所增添的成本。

(2)边际收益分析。边际收益与边际成本类似，其定义为=，即边际收益是总收益函数关于销售量的导数。其经济含义是:当销售量为时，再销售一个单位（即=1）所增加的总收益△。

假如已知某企业某种产品的收益R(元)是销售量q(吨)的函数，，现欲知生产50吨该产品时的边际收益，那么，边际收益为,当=50时，。

其经济含义是:当销售量为50吨时，再销售一吨(即=1)所增加的总收益为199元。

(3)边际利润分析。边际利润与边际成本类似，其定义为总利润函数关于销售量q的导数，即。其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即=1）所增加的利润△L。

这里需要强调:边际利润与利润是不同的概念，即边际利润小于零，它意味着:当销售量为q时，如再销售一个单位(即=1)，则总利润将减少；此时，企业可能是亏损，也可能是盈利，即总利润减少不一定是亏损。而即利润小于零，则意味着：当销售量为q时企业是亏损的。

2.需求价格弹性分析。函数在点处的相对改变量与自变量的相对改变量之商的极限，称为函数在点处的弹性。弹性概念在经济分析中应用非常广泛。

经济学中，把需求量对价格的相对变化率称作需求弹性，也称其为需求的价格弹性。需求弹性是刻画当商品价格变动时需求变动的强弱。由于需求函数Q=Q为价格的单调减少函数，与 异号，p,q均为正数，于是皆为负数。为了将需求弹性表示为正数，于是采用需求函数相对变化率的反号数来定义需求弹性。

设某种商品的市场需求量为q，价格为p，需求函数Q=Q可导，则称为该商品的价格需求弹性。其经济含义是:当某种商品的价格上涨1％，需求则减少1％；价格下跌1％，需求则增加1％。

例如某商品需求函数为，为了说明价格与需求变动的关系，第一要解决的问题是求需求弹性函数；第二根据价格的不同，分别求出p=3，p=5，p=6时的需求弹性。解决的办法是：

第一,利用需求弹性定义，则；

第二,当p=3时，,。

其经济含义是：

(1)=1,说明当p=5时，价格与需求变动的幅度相同，即当 p=5时，价格上涨1%，需求则减少1%；价格下跌1%，需求则增加1%。

(2)=0.61.说明当p=6时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即p=6时，价格上涨1％，需求减少1.2％。

在市场经济中，企业经营者应充分了解所经营商品的需求价格弹性，正确把握商品的价格。这样既可以在激烈的市场竞争中立于不败之地，又可以为企业带来一定的经济效益。

二、积分在经济分析中的应用

在高等数学中，求积分与求导数或微分是互为逆运算。不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。积分在经济分析中也有广泛的应用。经济活动分析中，经常会遇到已知函数的导数或微分，求这个函数或求总量的问题，例如利用积分可以解决最值及资金流量的现值问题。

1.最值。在经济应用中，求平均成本最低或利润最大等都是最值问题。如已知边际成本，求产量为q时的总成本函数，即求原函数的问题,也就是求的不定积分（C0为固定成本）；由边际成本求产量由a增加到b时总成本的增量，就是求定积分。

同样道理：已知边际收益，求销售量为q时的总收益函数，即求原函数的問题，也就是求的不定积分，总收益，当销售量q=0时，总收益为零，从而积分中的常数为零，所以总收益函数为;由边际收益求产量由a增加到b时总收益的增量，就是求定积分。

同理:由边际利润，求总利润，是求不定积分；求由a到b利润的增量是求定积分。

2.资金流量的现值。如果某项投资的收益分若干期（通常是以一年为周期），那么每期期末的收益会有所不同。这种每期期末的收益就称为“资金流量”（或“收益流量”）。假设各期的收益流量分别为R1,R2…,Rn，那么对于第i期期末资金流量Ri，其现值Pr0是多少？亦即未来的收益现在值多少钱？假设利率为r，可得到如下结论：

(1)在离散情况下，第i期期末的收益流量Ri的现值为，全部n期的收益流量的现值应为和式i;

(2)在连续情况下，资金流量是时间t的函数。若t以年为单位，则第t年的资金流量为，在很短的时间间隔[t,t+dt]内的资金流量的近似值是dt，利率为r,其现值应为;到n年年末资金流量总和的现值就是t从0到n的定积分，即。应特别指出，当每年的收益流量不变时（记为常数Ａ），则。

在实际经济活动中，假设连续收益流量每年为a元，持续5年，且年利率为r，问其现值是多少？这样的问题可以用公式求得由0到5的定积分，如此便可以求得现值。

综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。

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