第2讲 平面的基本性质与异面直线

第2讲平面的基本性质与异面直线

一、填空题

1．给出下列四个命题： ①经过三点确定一个平面； ②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． 其中正确命题的序号为________． 解析 ①④错误，②③正确． 答案 ②③

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α， n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是________．

解析我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.

答案①④

3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角

线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________． 解析如题图所示，

由A′O⊥平面ABCD， 可得平面A′BC⊥平面ABCD，

又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B， 即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°. 答案90°

4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则给出四个命题： ①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行； ②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直； ③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交； ④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面； 上述命题中正确的是________(填序号)．

解析 对于①，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．

对于②，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．

对于③，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条． 对于④，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条． 答案 ②

5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1

的中点，则以下结论：①EF与CC1垂直；②EF与BD垂直；③EF与A1C1异面；④EF与AD1异面，其中不成立的序号是________．

解析 连结A1B，在△A1BC1中，EF∥A1C1，所以①，②，④正确，③错． 答案 ③

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与直线A1D1，EF，CD均相交，故满足题意的直线有无数条． 答案无数

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．

解析 如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分图形．

同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG. ∴截面为六边形PQFGRE. 答案 六边形

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列四个结论：

①A1、M、O三点共线；②M、O、A1、A四点共面； ③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面． 其中正确结论的序号是________．

解析 因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以①②③正确． 答案 ①②③

9．如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不

同的两点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是________．

①当|CD|＝2|AB|时，M，N两点不可能重合

②M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

③当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 ④当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行

解析当M，N重合时，四边形ACBD为平行四边形，故AC∥BD∥l，此时直线AC与l不可能相交，②正确，易知①，③，④均不正确． 答案②

10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上1

的动点，且BE＝D1F＝λ0＜λ≤2，设EF与AB所成的角为α，与BC所成

的角为β，则α＋β的最小值________．

解析 当EF∥BD时，α＝β＝45°，α＋β＝90°即为a＋β的最小值，故填90°. 答案 90° 二、解答题

11．正方体ABCD－A1B1C1D1中．

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解(1)如图所示，连接B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体， 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.

12.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线． 证明 ∵M∈PQ，直线PQ⊂面PQR，M∈BC，直线BC⊂面BCD，

∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 即M在面PQR与面BCD的交线l上． 同理可证：N、K也在l上． ∴M、N、K三点共线．

13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线． 证明 ∵C1∈平面A1ACC1， 且C1∈平面DBC1，

∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点． 又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1. ∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，

∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点， ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线． ∵O为A1C与截面DBC1的交点， ∴O∈平面A1ACC1且O∈平面DBC1， 即O也是两平面的公共点，

∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．

14．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B，如图(2)．

(1)求异面直线AB与DE所成的角；

(2)若M、N分别为棱AC、BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值． 解 (1)如图，取BC的中点F，连结EF、DF，则AB∥EF，AB与DE所成的角即为EF与DE所成的角． ∵AD＝BD＝22，∠ADB＝90°， ∴AB＝4.∴EF＝2. 又∵DE＝DF＝2，

∴异面直线AB与DE所成的角为60°.

(2)如图是以C为顶点沿CD展开的侧面展开图，依题意即求DD1的长．

∵∠ACD＝∠BCD1＝45°，AC＝BC＝AB， ∴∠ACB＝60°.

22∴∠DCD1＝150°，CD＝CD1＝22.∴DD21＝(22)＋(22)－2×22

×22·cos 150°＝16＋83.