大学高等数学所有公式(打印版

大学高等数学所有公式(精心整理版)

导数公式：

(tgx)sec2x(arcsinx)1(ctgx)csc2x1x2(secx)secxtgx(arccosx)1(cscx)cscxctgx1x2(ax)axlna(arctgx)11x2(log1ax)xlna(arcctgx)11x2基本积分表：

tgxdxlncosxCdxsec2ctgxdxlnsinxCcos2xxdxtgxCsecxdxlnsecxtgxCdxcsc2sin2xxdxctgxCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdx1cscxctgxdxcscxCa2x2aarctgxaCdx1axdxaxlnaCx2a22alnxaxaCshxdxchxCdx1axa2x22alnaxCchxdxshxCdxa2x2arcsinxaCdx2x2a2ln(xx2a)C22Innnsinxdxcosxdxn100nIn2x2a2dxxx2a2a2ln(xx2a222)Cxa2dxx22xa2a222lnxx2a2Ca2x2dxx2a22ax22arcsinxaC三角函数的有理式积分：

sinx2u1u2x1u2，　cosx1u2，　utg2，　dx2du1u2

1

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一些初等函数： 两个重要极限：

双曲正弦:shxexex2limsinx x0x1 双曲余弦:chxexex2limx(11x)xe2.718281828459045...

shxex :thxex双曲正切chxexex arshxln(xx21） archxln(xx21) arthx11x 2ln1x

三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossinsinsin2sincos()coscossinsin2cos2tgsinsin2costg()tg1tgtg2sin2coscos2cosctg()ctgctg12cos2ctgctgcoscos2sin2sin2

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·倍角公式：

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2sin33sin4sin3ctg2ctg21cos34cos33cos2ctgtg33tgtg3tg22tg13tg21tg2

·半角公式：

sin1cos122　　　　　　　　　　　　cos2cos2tg21cos11coscossin1cos1cossinsin1cos　　ctg21cossin1cos·正弦定理：asinAbsinBcsinC2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC

·反三角函数性质：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n(uv)(n)Ck(nk)(k)nuvk0

u(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)vn(n1)(nk1)u(nk)v(k)uv(n)2!k!中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)柯西中值定理：f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：

弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：Ks.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。M点的曲率：Klims0sddsy(1y2)3.

直线：K0;半径为a的圆：K1a.定积分的近似计算：

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b矩形法：f(x)ban(y0y1yn1)ab梯形法：f(x)ban[12(y0yn)y1yn1]

ab抛物线法：f(x)ba[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3a3nyn1)]定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpA引力：Fkm1m2r2,k为引力系数

b函数的平均值：y1baf(x)dxab均方根：1baf2(t)dta空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：dM21M2(x2x1)2(y2y1)(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。PrjaPrjau(1a2)1Prjaabab2cosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbza2222xayazb22xbybzijkcabaxaya,cabsin.例：线速度：vwrz.bxbybzaayaz向量的混合积：[abc](ab)cxbxbybabczcos,为锐角时，cxcycz 代表平行六面体的体积。 4

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平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyzabc1平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2空间直线的方程：xxxx0mt0myy0nzz0pt,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntzz0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z2a2b2c21x2、抛物面：2py222qz（,p,q同号）3、双曲面：单叶双曲面：x2ay2z22b2c21双叶双曲面：x2ay2z22b2c2（马鞍面）1

多元函数微分法及应用

全微分：dzzzxdxydy　　　duuxdxuydyuzdz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：zf[u(t),v(t)]　　　dzzuzvdtutvt　zf[u(x,y),v(x,y)]　　　zzuzvx　uxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuxdxuydy　　　dvvvxdxydy　隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)0，　　dyFxd2yFFdydxF，　　dx2(x)＋(x)yxFyyFydx隐函数F(x,y,z)0，　zFzFyxxF，　　zyF

z 5

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F隐函数方程组：x,y,u,v)0FF((F,G)uvG(x,y,u,v)0　　　J(u,v)GFuFvGGuGvuvux1J(F,G)v1(F,G)(x,v)　　　　xJ(u,x)

u1(F,G)v1(yJ(y,v)　　　　yJF,G)(u,y)微分法在几何上的应用：

x(t)空间曲线y(t)在点M(x)处的切线方程：xx0yy0zz00,y0,z0z(t)(t0)(t0)(t0)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0若空间曲线方程为：F(x,y,z)0FyFy0,则切向量T{FzFzFxFxG(x,y,z)GyG,zGzG,xGxG}y曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)03、过此点的法线方程：xx0yy0zz0Fxx(0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：ffflxcosysin其中为x轴到方向l的转角。函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)fxifyj它与方向导数的关系是：f

lgradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的单位向量。fl是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CACB20时，A0,(x0,y0)为极大值A0,(x0,y0)为极小值则：ACB20时，　　　　　　无极值

ACB20时,　　　　　　　不确定重积分及其应用：

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f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD22曲面zf(x,y)的面积A1zzDxydxdyx,y)d,y)d平面薄片的重心：xMxx(DM(x,y)d,　　yMyy(xDMD(x,y)d

D平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴IyDx2(x,y)dD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx,y)xdxf(，　　FyfD(x,y)yd(x,y)xd33，　　Fzfa3(x2y2a2)2D(x2y2a2)2D(x2y2a2)2柱面坐标和球面坐标：

xrcos柱面坐标：yrsin,　　　f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,zz其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)xrsincos球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrr2sindrddzrcos2r(,)f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrddF(r,,)r2sindrd0d00重心：x1Mxdv,　　y1Mydv,　　z1Mzdv，　　其中Mxdv转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　I22y(x2z)dv，　　Iz(xy2)dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：x(t)y(t),　　(t),则：f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt　　()　　特殊情况：xtLy(t) 7

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L的参数方程为x(t)y(t)，则：P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(QDxPy)dxdyPdxQdy格林公式：L(QPDxy)dxdyPdxQdyL当Py,Qx，即：QxPy2时，得到D的面积：Adxdy1D2xdyydxL·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且Qx＝Py。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在Qx＝Py时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)(xP(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。0,y0)曲面积分：

对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z22x(x,y)zy(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；Dxy

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds高斯公式：

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(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz高斯公式的物理意义——通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...通量：AxyzndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(RQPRQyz)dydz(zx)dzdx(xPy)dxdyPdxQdyRdzdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQPyz，　zx，　xy

旋度：rotAijkxyzPQ向量场AR沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds常数项级数：

qq2qn11qn等比数列：11q等差数列：123n(n1)n2 调和级数：111123n是发散的级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1设：limn时，级数收敛nun，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1

设：limUn1nU，则时，级数收敛1时，级数发散n1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limnsn存在，则收敛；否则发散。交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：如果交错级数满足unun1limsu1,其余项rn的绝对值rnun1。nun0，那么级数收敛且其和绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；　　级数：1n2收敛；　　p级数：1ｐ１时发散np　　p1时收敛幂级数：

1xx2x3xn　　x1时，收敛于11xx1时，发散对于级数(3)a0a1x　a22xanxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定0时，R1求收敛半径的方法：设liman1na，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rn时，R0

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函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)f(xf(xn)0)2f((x0)0)(xx0)2!(xx0)n!(xx0)nf(n1)余项：R()n(n1)!(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limnRn0

x0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xf(0)2f(n)(0)n02!xn!x一些函数展开成幂级数：

(1x)m1mxm(m1)2!x2m(m1)(mn1)n!xn　　　(1x1)2n1 sinxxx33!x55!(1)n1x(2n1)!　　　(x)欧拉公式：

eixeixeixcosxisinx　　　或cosx2 eixeixsinx2三角级数：

f(t)Aa00Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnxn12)n1其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。傅立叶级数：

(x)a2f0(ancosnxbnsinnx)，周期2n1a1nf(x)(n0,1,2)其中cosnxdx　　　bn1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)11211112221　3582232426（相加）1221421622241112122324212（相减）正弦级数：a2n0，bnf(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)bnsinnx是奇函数0余弦级数：b2n0，anf(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a002ancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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(x)af0nxnx2(ancosbnsin)，周期2ln1lla1lnxnf(x)dx　　　(n0,1,2)

其中lcoslllb1f(x)sinnxnldx　　　(n1,2,3)ll微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dyf(x,y)(x,y)，即写成y的函数，解法： dxx设uyx，则dydxuxdudx，ududx(u)，dxduyx(u)u分离变量，积分后将x代替u，即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dydxP(x)yQ(x)当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dx

当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)eP(x)dxdxC)eP(x)dx2、贝努力方程：dydxP(x)yQ(x)yn，(n0,1)全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：uxP(x,y)，uyQ(x,y)

u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

d2yf(x)0时为齐次dx2P(x)dydxQ(x)yf(x)，f(x)0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

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中南大学高等数学所有公式(精心整理版 via beauty) 从前有棵树很高…. r(*)式的通解 1，r2的形式 两个不相等实根(p24q0) yc1x2x1erc2er 两个相等实根(p24q0) y(c1c2x)er1x 一对共轭复根(p24q0) yex(c1cosxc2sinx) r1i，r2ip4qp2 2，2二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；

f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

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