从非负数说起

1、 非负数a2 ；a ；a。 2、从 a20,(ab)20 出发！

依据：a2b22ab(a,bR) 变式：ab2ab(a,bR)；

aba2b2ab(a,bR)；

22ab(ab2) 2讲解：上面这些不等式看似平凡！其实它们的用处可大了！

第一：比较大小

例1、 已知a1比较下列式子的大小 （1）a2和2a1 （2）

例2、a0,b0，比较(ab)(ab1)和22(abba)

2a和1 2a1第二：判定大小关系

例3、设a,bR，则下列不等式是否成立

112ab1a2b2ab 2 (4)(1(ab)()4(2) 2ab(3)ababababab

例4、设a1,a2,,an为互不相等的正整数，求证证明：记bnan111a1a2a31。 2222123n123nana1a2a31111，构造对偶式， dn2222123na1a2a3an则

aa11a21a3111111bndn222n2， 2n1231a12a23a3nan当且仅当aiiiN,in时，等号成立。又因为a1,a2,,an为互不

相等的正整数，

所以dn11111111，因此bn。 123n123n评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

第三：求最值

例5、若0a1,0b1,且ab，则ab,2ab,a2b2,2ab中最大的是 .

例6、已知x,y,0,

281，求xy的最小值。 xy例7、设x1，求函数yx5x2的最小值。

x1分析：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的

形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。

1、(1)设x，y0，xy4,求x,y的值，使xy值最小.

(2)设x,y0，xy4,求x,y的值，使xy值最大.

2、若x0时，x12 x3、求证：对于任意实数a、b、c，有a2b2c2abbcca，当且仅当abc时等号成立.

aba2b2ab4、设a、bR，则（调和均值几何均值1122ab2算术均值平方均值），当且仅当ab时等号成立.

5、A组题

3，求yx(32x)的最大值. （配系数） 232（2）已知x，求yx的最小值. (添项)

22x3（1）已知0xx23x6（3）已知x2，求y的最小值. （拆项）

x2（4）已知正数x,y满足2xy1,求B组题

（1）已知正数x,y,z满足xyz1，求

12“1”的代换） 的最小值. （

xy149的最小值. （“1”的代换） xyzx1的最大值. （换元） 2x5x8acac（3）已知abc,求w的最小值. （换元） abbc（2）已知x1,求y（4）已知正数x,y,z满足xyz1，求2x12y12z1的最大值.

（对称性）

一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.

探索提高

已知x0,y0且xyxy8,

(1)求xy的取值范围；（2）求xy的取值范围.

高考演练

（2010重庆理数7）已知x0,y0，x2y2xy8,求x2y的最小值.（2010浙江文数15）

若正实数x,y满足2xy6=xy,则xy的最小值为 .