坐标系与参数方程题型归纳学生版-文

坐标系与参数方程

题型一三类方程之间的互相转化

1x3t2例1（15年陕西）在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原

y3t2点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（I）写出

C的极坐标方程为23sin．

C的直角坐标方程；

（II）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．

例2（15年福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

x13costy23sint(t为参数).在

极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴

为极轴）中，直线l的方程为2rsinqm

4(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

.

例3(2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x2tx2y21，直线l：已知曲线C：（t为参数）.

49y22t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

例4(2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

. 2cos，0,2（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参

.

数方程，确定D的坐标.

练习1（2013年高考新课标1）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为

(为参数),以坐标原点为极点,

极坐标方程为

.

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的

(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

.

练习2（2014福建）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程

xa2tx4cos已知直线l的参数方程为，（t为参数），圆C的参数方程为，（为常数）.

y4ty4sin（I）求直线l和圆C的普通方程；

（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

题型二求轨迹方程

例1（2012·福建高考·Ｔ21）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为

23,)(2,0)32，圆C的参数l极轴建立极坐标系．已知直线上两点M，N的极坐标分别为,

(x22cosy32sin(为参数)． 方程

(Ⅰ) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； (Ⅱ) 判断直线l与圆C的位置关系．

.

例2（2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C的参数方程；

（2）设直线l:2xy20与C的交点为P1,P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

例3（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）选修4—4;坐标系与参数方程

已知动点

都在曲线

为参数

上,对应参数分别为

与

.

,

(Ⅰ)求(Ⅱ)将

为的中点.

的轨迹的参数方程; 到坐标原点的距离

表示为

的函数,并判断

的轨迹是否过坐标原点.

练习1（2012·江苏高考·Ｔ21）在极坐标系中，已知圆C经过点

sinP2，4，圆心为直线

332与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．



.

练习2（2011·新课标全国高考·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

x2cos（为参数）M是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2 y22sin(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为3A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

题型三求交点坐标

例1（15年新课标2）在直角坐标系xOy中，曲线C1：xtcos（t为参数，t ≠ 0），

ytsin其中0 ≤ α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：

23cos。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

.

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值。

例2（2013年高考新课标1）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为

(为参数),以坐标原点为极点,

极坐标方程为

.

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的

(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

.

练习1（2012·辽宁高考文科·T23）与（2012·辽宁高考理科·T23）相同

C1:x2y24C2:(x2)2y24xOy在直角坐标中，圆，圆.

(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆出圆

C1,C2C1,C2的极坐标方程，并求

的交点坐标(用极坐标表示)；

的公共弦的参数方程.

(Ⅱ)求出

C1与C2题型四直线与圆的位置关系问题

例1（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学）坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,

以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为(2,),直线

4的极坐标方程为cos()a,且点A在直线上.

4(1)求a的值及直线的直角坐标方程;

x1cos(2)圆C的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.

ysin

.

例2（河南商丘2014高三第三次模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C(2,)，半径r=3．

4（ I）求圆C的极坐标方程；

x2tcos（Ⅱ）若0,，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、

4y2tsinB两点，求弦长|AB|的取值范围．

例3（15年福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

x13costy23sint(t为参数).在

极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为2sin(4)m

(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

.

(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

1x3t2例4例2（15年陕西）在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以

y3t2原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（I）写出

C的极坐标方程为23sin．

C的直角坐标方程；

（II）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．

.

练习1（2014福建）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程

xa2tx4cos已知直线l的参数方程为，（t为参数），圆C的参数方程为，（为常数）.

y4ty4sin（I）求直线l和圆C的普通方程；

（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

练习2(2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)已知曲线

(t为参数) (为参数)

（Ⅰ）化

，

的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.

，

.

练习3(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试) 已知曲线C的极坐标方程是

．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

直线的参数方程是(t是参数) ．

(I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；

(Ⅱ) 若直线与曲线C相交于A，B两点，且

，试求实数m的值．

练习4(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为线

的参数方程为

的中点

，点

是曲线

上的一动点.

，曲

（Ⅰ）求线段

的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.

.

题型五直线与曲线相交--------两点之间、点线之间的距离问题 例1(2014福州高中毕业班质量检测)在平面直角坐标系极轴建立极坐标系，已知曲线

的极坐标方程为

中, 以

为极点,

轴非负半轴为

, 直线l的参数方程为:

(为参数) ，两曲线相交于

（Ⅰ）写曲线

, 两点.

, 求

的值．

直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若

例2(2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 23) 在直角坐标系中，曲线C的参数方

程为（为参数）. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，

.

直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；

的值.

(Ⅱ) 设直线与曲线的两个交点为、，求

练习1（2011·新课标全国高考·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

x2cos（为参数）M是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲线C2 y22sin(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为3A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

.

练习2（15年新课标2）在直角坐标系xOy中，曲线C1：xtcos（t为参数，t ≠ 0），其

ytsin中0 ≤ α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：

23cos。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值。

2x3t,2练习3（2010·福建高考·Ｔ21）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为(t为y52t2参数)。在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；

(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B．若点P的坐标为(3，5)，求PAPB．

5sinθ。

.

题型六 曲线上一动点到一定点或定直线的距离问题

例1 (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x2tx2y21，直线l：已知曲线C：（t为参数）.

49y22t(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

例2（2011·福建高考·Ｔ21）（2）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C

x3cos的参数方程为. （为参数）ysin .

（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正

π半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l位置关系；

2（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.

练习1（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高考理科·Ｔ23）相同

x2cos(为参数)已知曲线C1的参数方程是y3sin，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时

(2,)3. A针次序排列，点的极坐标为

（1）求点A,B,C,D的直角坐标； （2）设P为C1上任意一点，求

PAPBPCPD2222的取值范围.

.

练习2（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）选修4—4;坐标系与参数方程

已知动点

都在曲线,

(Ⅰ)求(Ⅱ)将

练习3(2014江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系

中，已知直线的参数

为

的中点.

为参数

上,对应参数分别为

与

的轨迹的参数方程; 到坐标原点的距离

表示为

的函数,并判断

的轨迹是否过坐标原点.

方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐

标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.

.